Schemi per la parte di teoria di Metodi statistici per la bioingegneria

Statistica descrittiva e probabilità

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Variabili e statistica

Variabile quantitativa: assume valori numerici continui o discreti.

Variabile qualitativa: assume valori non numerici ordinabili o non.

Statistica descrittiva: i dati vengono analizzati in modo da organizzarli e rappresentarli.

Uso: tabelle, numeri, idee e strumenti grafici.

Statistica inferenziale: i dati vengono analizzati per trarre caratteristiche della popolazione del campione.

Definire un modello probabilistico del fenomeno studiato.

Frequenze

Frequenza assoluta: il dato statistico si presenta un determinato valore per una data variabile.

Frequenza relativa: formula/puntini = ∑ su tutto * (∑) = Frequenza.

Es: Torta a fette 6/10.

Uso: l'istogramma per le frequenze, il grafico a torta per le relative.

Posso dividere un dato di frequenza con tre m.x.m.

Es: (4, 8, 15, 25, 25, 250, 231, 7, 30).

Le classi di frequenza sono = n_sig di un programma.

Indici di posizione

Indici di posizione: media, moda, mediana.

Media: ∑ valori, valore medio, valore medio pesato.

Il peso è la frequenza relativa.

Mediana: valore centrale di dati ordinati dal L al S.

In caso di 10 dati esistono 2: 18, 19; 30, 20; mediana: (16+17)/2 = 19.5.

Moda: valore con frequenza massima.

Es: 1212, 14, 14, 15, 12, 18, 20, 12, 13, 21 → moda: 14.

Ha senso solo per variabili discrete.

Indici di dispersione

Indici di dispersione: range, devianza, ricorrenza, deviazione standard, coefficiente di variazione.

Range: max - min ∈ {0, 10}, range = 10.

Devianza: ∑(Xi - x̄)², x̄ è la media.

Varianza: s_n-1² = ¹⁄_n-1∑(Xi-x̄)².

Somma delle devianze fratto n-1 campioni.

Deviazione standard: s = √s².

Sono tutti indici non negativi; sono = 0 se tutti i valori sono uguali.

Coeff. di variazione: CV = ^s⁄_|x̄|, quanto è grande la deviazione rispetto alla media in valore assoluto.

Percentili e quartili

k-esimo percentile: maggiore di una k% dei dati e minore di una % 100-k con k ∈ [0, 100].

Se n numero sono due, è la media tra essi.

25-esimo percentile = Q1 primo quartile p = 0,25.

50-esimo percentile = Q2 secondo quartile p = 0,5.

75-esimo percentile = Q3 terzo quartile p = 0,75.

IQR: Q3 - Q1, range interquartile.

Calcolo del k-esimo: p = ^k⁄₁₀₀; n∙p.

• Intero: k-esimo = media (posizione np e posizione np+1).
• Non intero: k-esimo = posizione np arrotondata per eccesso.

Esempio 10 dati:

DATI: 3, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 18, 20, 21, 25.

25-esimo: p = 0,25; n∙p = 2,5; posizione = 3 ob 6.

40-esimo: p = 0,4; n∙p = 4/ 4 posizione 4 + / 4 posizione 5 = ^{11 + 15}⁄₂ = ¹³⁄₂.

Box plot e scatter plot

Box plot.

• Outlier.
• Massimo.
• Q3.
• IQR.
• Mediana.
• Q1.
• Q3 + 1,5 IQR.
• Minimo.
• Q1 - 1,5 IQR.

Scatter plot.

Usato per verificare la dipendenza tra due variabili (x_i-y_i), con i=1,...,n.

r = _{Σi=1ⁿ (xi - X̄)(yi - Ȳ)}/^{(n-1) S_xS_y} = S_xy/^S_xS_y, coefficiente di correlazione campionaria ∈ [-1; 1].

S_x = Dev std X; S_y = Dev std Y; S_xy = Covarianza campionaria.

Se r ≥ 0 x,y sono correlati positivamente: x↑ = y↑ e viceversa.

Se r.

Se r ≈ 0 x,y non sono correlati: x↑ e y↑ o ↓ in modo casuale.

r misura la correlazione lineare, non durante rapporto di causa-effetto.

r non cattura relazioni non lineari.

Probabilità

Interpretazione frequentistica: la probabilità di un esito è considerata una proprietà dell'esito stesso.

n casi favorevoli.

n eventi totali.

Interpretazione soggettivista: livello di fiducia verso l'evento.

Se due eventi E,F sono: E∩F = ∅ sono disgiunti.

Assiomi di Kolmogorov:

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1.
2. P(Ω) = 1.
3. P(∪_i=1^∞ E_i) = Σ_i=1^∞ P(E).

P(E') = 1 - P(E).

P(E∪F) = P(E) + P(F) - P(E∩F).

P(E) = 1 evento certo, P(E) = 0 evento impossibile.

Odds = ^P(E)⁄_P(E').

Probabilità condizionata: P(E | F) = _{P(E ∩ F)}⁄^P(F) => P(E ∩ F) = P(E | F) · P(F).

Si estende per molte.