Schemi e formule per esame Modellistica e identificazione

ESERCIZI FINORA Il testo mi da σ —> popolazione NOTA

• • test di ipotesi semplice sulla media varianza della popolazione nota -> statistica del test é

una normale Il testo mi da solo i dati (σ lo devo calcolare io) —> popolazione NON NOTA

• • test di ipotesi semplice sulla media varianza della popolazione NON nota (ma dati gausssiani)

-> statistica del test una t-student

é

• • test ipotesi semplice sulla varianza -> statistica test una chi quadro

é

• • test ipotesi medie misure appaiate -> test ipotesi semplice sulla media delle differenze

(riconduco tutto ad un unico set di dati e faccio un test di ipotesi semplice) E[mud]=0 e E[mud]<>0

• • test ipotesi medie misure non appaiate -> ipotesi di gaussianeita, poi controllo, se i dati sono

omogenei con un test sulle varianza (fisher se i gruppi sono 2, altrimenti bartlett o levene), fisso quindi

la varianza in base al risultato e la statistica del test (sempre t di student cambiano i gradi di libertà)

ATTENZIONE la tua calcolatrice ti fornisce le deviazioni standard

Quando si inizia a confrontare le medie su più gruppi entro nell’ANOVA Più FATTORI diversi

ANOVA FISHER -> dati gaussiani e omogenei

ANOVA KRUSKAL WALLIS -> dati non gaussiani ma omogenei

ANOVA WELCH -> dati gaussiani ma non omogenei

FORMULE E TEORIA ESSENZIALI PER L’ESAME

TEST PER VERIFICARE LA GAUSSIANITÁ (test di ipotesi sulla forma della distribuzione)

• • test del chi quadro o

di Pearson

test usato se ho campioni di dati molto grandi

campione casuale

per funzioni sia continue che discrete

devo avere almeno 5 classi di dati e almeno 10 dati in ogni classe affinché il test sia “buono”

Vuol dire che per ogni classe devo

questa relazione deve valere per ogni classe almeno mediamente avere 10 dati

sperimentali al suo interno

fx (X) deve essere completamente specificata (nota la sua media e la sua varianza)

• • test di Kolmogorov

- Smirnov

se per N abbiamo da 30 a 60 dati -> non posso fare il test di Pearson ho troppi pochi dati

In questo caso non viene stimata la funzione di densità di probabilità ma la funzione di distribuzione della X

•test di Anderson Darling

STIMA PUNTUALE dei parametri di popolazione

TEST DI ACCURATEZZA

TEST DI PRECISIONE Questo test si può fare in forma parametrica se la X gaussiana (lo

é

suppongo dopo aver detto di aver fatto un test di gaussianita)

Essendo in questo caso la statistica non

simmetrica ho bisogno di 2 percentili

INTERVALLI DI CONFIDENZA PER LA MEDIA, VARIANZA DI POPOLAZIONE NOTA

INTERVALLI DI CONFIDENZA PER LA MEDIA, VARIANZA DI POPOLAZIONE NON NOTA

INTERVALLI DI CONFIDENZA PER LA VARIANZA

INTERVALLI DI CONFIDENZA PER UNA PROPORZIONE (Spesso chiede se un farmaco ha avuto effetto o cose del genere

TEST DI CONFRONTO TRA MEDIE MISURE APPAIATE in cui devo confrontare le medie tra gruppi di misurazioni diversi)

Tutte le volte che le misure dei due gruppi sono fatte sulla

misure appaiate

Test di confronto tra medie si trasforma in stessa unità statistica, e quindi quando si hanno 2 gruppi

di dati dipendenti a coppia, si ha un problema di misure

Test di ipotesi semplice sulla media delle differenze appaiate che viene risolto in questo modo.

I STEP verifico che

• il campione casuale o non casuale

sia

• le MISURE siano APPAIATE: campioni non indipendenti -> per ogni soggetto, le misurazioni (coppia) sono dipendenti, in

quanto effettuate sullo stesso soggetto

II STEP

Passiamo a un unico set di dati, misurando, per ogni soggetto, la differenza tra le varie coppie

otteniamo un campione casuale di differenze di X sappiamo che é una stima non

distorta della media delle differenze

Calcoliamo la media di queste differenze vere della popolazione

III STEP

faccio un test di ipotesi semplice sulla media delle differenze (al posto di farlo bilaterale di solito verifico quanto viene la

differenza dai dati sperimentali e faccio l’unilaterale in base a quanto sia venuta se >0 o <0)

(esempio: farmaco non ha avuto effetto la differenza tra prima e dopo nulla)

è

Dimensioniamo il set critico stabilendo l’errore di tipo 1: ovvero rifiutare l’ipotesi nulla quando vera

è

Scegliamo lambda in maniera tale che la probabilità di commettere l’errore di tipo 1 sia pari ad epsilon

• conduco un test di gaussianeita sui dati che ha esito favorevole dunque HP: dati gaussiani

Se l’insieme delle misure delle differenze soddisfa un test di gaussianitá:

TEST DI CONFRONTO TRA MEDIE MISURE NON APPAIATE

misure NON appaiate

Test di confronto tra medie si trasforma in In questo caso quindi la statistica del test

cambierà in base all’omogeneità dei dati.

Test di ipotesi semplice sulla media delle differenze

I STEP verifico che

• il campione causale o non casuale

sia

• le MISURE siano non appaiate: campioni indipendenti -> le misure sono fatte su gruppi di individui diversi.

II STEP

• • conduco un test di gaussianeita sui dati che ha esito favorevole dunque HP: dati gaussiani

• • devo ora stabilire se i dati siano omogenei, conduco un test di omogeneità quindi un test sulle varianze

per misure non appaiate la statistica del test diversa in base a se le misure sono omogenee o meno -> i dati

é

sono omogenei se hanno la stessa variabilità (sempre una t di student ma con gdl diversi)

Dunque prima di procedere devo effettuare un confronto tra le varianze per capire se i dati sono omogenei o meno

Test di confronto tra varianze di 2 gruppi -> test di fisher

• • HP: dati gaussiani Quando risolviamo un problema

con 2 gruppi, il confronto tra le

• • Statistica: varianze dei 2 gruppi VA

ESEGUITO

Test di confronto tra varianze di k gruppi Quando risolviamo un problema con k

Bartlett

-Se dati gaussiani X test (parametrico) di gruppi, il test NON VA ESEGUITO

veramente, ma dobbiamo dire di averlo fatto

Levene

-Se dati non gaussiani test (non parametrico) di e di aver concluso che i dati sono omogenei

III STEP

calcolo ora la media delle differenze facendo la differenza tra le medie (non posso fare come prima in cui mi riconducevo

tutti i dati ad un unico set di misurazioni calcolandomi le differenze e poi su queste fare la media poiché potrei essere nel

caso di gruppi sbilanciati: non ho lo stesso numero di misure nei due gruppi)

conduco un test di ipotesi semplice sulla differenza delle medie per misure NON appaiate.

In base a se i dati sono omogenei o meno posso fissare la statistica del test

dobbiamo calcolare la stima della varianza di

dati omogenei Pooled variance

dati non omogenei

Se i dati sono gaussiani dati omogenei dati non omogenei

Formula di Welch (si arrotonda all’intero superiore piu vicino)

la differenza tra i gruppi dovuta solamente

è

ANOVA a 1 fattore: confronto tra medie di più gruppi ad un attributo

DATI GAUSSIANI E OMOGENEI -> ANOVA FISHER

DATI NON GAUSSIANI MA OMOGENEI -> KRUSKAL - WALLIS

DATI GAUSSIANI MA NON OMOGENEI -> ANOVA WELCH

Per applicare il test di Anova ci sono delle ipotesi preliminari da verificare affinché abbia senso effettuare il confronto tra

medie

• • gruppi casuali indipendenti

• • gruppi bilanciati (ovvero hanno tutti lo stesso numero di ripetute, basta che le ripetute non differiscano di

troppo da gruppo a gruppo)

• • i dati devono avere tutti la stessa scala di variazione

Queste ipotesi e queste analisi sui dati vanno specificate all’esame se voglio fare un test di Anova!!! (ad esempio se vedo

che c’è un gruppo non bilanciato lo specifico e scrivo che lo elimino dall’analisi e continuo solo con gli altri gruppi)

TEST DI FISHER PER ANOVA

• • dati gaussiani (faccio test gaussianita)

• • dati omogenei (che verifico col test di Bartlett)

Media per ciascun gruppo:

Media totale di tutti i gruppi:

Sum of squares (totale) variazione nei gruppi (error) V

scarto della misura j-esima rispetto alla sua

media (del gruppo i-esimo) = var