Riassunto esame Statistica, Prof. Emanuela Dreassi, libro consigliato Statistica Pearson, nona edizione, Paul Newbold, William Carlson e Betty Thorne

Statistica

Origini della statistica

Prof. Emanuela Dreassi - Università di Firenze - Facoltà di Economia

22/02/2023

Il termine "statistica" deriva da "stato", perché veniva utilizzata principalmente da chi governava lo stato per raccogliere dati relativi alla popolazione, al numero di cannoni e alla quantità di raccolto. Recentemente si è integrata con la matematica attraverso il calcolo della probabilità, nei primi anni del '900.

La statistica è un insieme di metodi che servono per estrarre informazioni dai dati osservati per aumentare la nostra conoscenza su un fenomeno. Viene utilizzata per fare previsioni, analizzare un fenomeno o prendere decisioni.

La statistica è sempre legata a un contesto. Ad esempio, una malattia con un tasso di mortalità pari a 0,1% implica che il numero di morti dipende dal numero dei malati.

Fasi del metodo statistico

• Disegno: come reperire le informazioni
• Descrizione: come sintetizzare e descrivere i dati raccolti
• Inferenza: si usa il metodo induttivo, cioè dal campione si riportano le informazioni su tutta la popolazione

La statistica si distingue in:

• Statistica descrittiva: descrive i dati (raccolta, presentazione e caratterizzazione)
• Statistica inferenziale: si occupa di un problema osservando solo un campione, per poi generalizzare sull'intera collettività

Termini statistici

• Popolazione o collettivo statistico: insieme che si vuole studiare, es. studenti italiani o edifici di Firenze.
• Unità statistica: un elemento della popolazione, es. uno studente italiano o ogni edificio.
• Campione: sottoinsieme della popolazione o insieme di unità statistiche, es. classe del corso C-E o insieme di edifici di Novoli.
• Dati: risultato della rilevazione-misurazione di caratteristiche delle unità statistiche, es. misuro l'altezza degli studenti del corso.
• Variabile: qualcosa che può variare, fenomeno su cui si sta facendo l'indagine, es. altezza dello studente.
• Modalità: valori distinti ottenuti dalla variabile, es. 166 cm.
• Parametro: quello che non conosciamo, es. altezza media degli studenti (parte inferenziale).
• Statistica: ciò che voglio osservare, es. media di altezza del campione (parte inferenziale).

Fonti di variabilità

La variabilità nei dati si riscontra:

• In due misurazioni dello stesso oggetto (es. due misurazioni contemporanee del battito cardiaco).
• Misurazione di due oggetti diversi (es. battito cardiaco di due persone oppure battito cardiaco della stessa persona in due momenti).
• Nei processi casuali (es. due estrazioni da un’urna contenente palline numerate da 1 a 20).

Matrice dei dati

Ha una forma rettangolare, dove ogni riga è riferita a un'unità statistica e ogni colonna alle variabili. Spesso le modalità delle variabili qualitative sono espresse tramite codici per facilitare la registrazione dei dati (es. 1 per maschio, 2 per femmina).

È importante controllare la coerenza dei dati (a livello concettuale, arrotondamenti ed errori di inserimento) e i dati mancanti (missing).

Descrizione grafica dei dati

23/02/2023

Tipi di variabili

• Quantitative o numeriche: Sono misurate in numero (es. numero di figli, altezza), e si distinguono in variabili continue (hanno un numero di modalità infinito non numerabile, es. altezza, peso) e variabili discrete (hanno un numero di modalità numerabili, es. conteggio, numero di figli). Entrambi i tipi di variabili quantitative possono essere ordinabili.
• Qualitative o categoriche: Esprimono qualità attraverso nomi, aggettivi, attributi (es. colore degli occhi, livello istruzione, matricola università, cap). Le variabili binarie hanno solo due modalità (voto di un partito: sì o no, maschio o femmina, testa o croce). Possono essere sconnesse o nominali (sesso o professione) o ordinali (votazione maturità, livello di istruzione, CAP, matricola università).

Es. 2.1 p. 12

a. Numero di telefonate effettuate giornalmente = quantitativa discreta (# telefonate)

b. Costo dei libri del semestre = quantitativa continua

c. Importo bimestrale della bolletta = quantitativa continua

d. Livelli gerarchici dei docenti uni = qualitativo ordinale

Es. 2.2 p. 12

Clienti che visitano un negozio di Starbucks:

a. Prima visita al negozio = qualitativa binaria sconnessa (sì o no)

b. Scala di gradimento = qualitativa ordinale

c. Quanto hai speso per la consumazione = quantitativa continua

Esempio:

- Variabile = colore degli occhi (qualitativa sconnessa)

- Modalità = neri, verdi, celesti, marroni

Statistica descrittiva

Sintetizza e descrive i dati attraverso:

• Grafici (diagrammi a barre, a torta, boxplot, ...)
• Tabelle (distribuzione di frequenza)
• Indici sugli aspetti più importanti (posizione es. media, variabilità es. varianza, relazione tra variabili)

Variabili categoriche

Distribuzione di frequenza → frequenza assoluta è quante volte si ripete una modalità (maschio o femmina). La somma delle frequenze assolute deve dare il totale.

Distribuzione statistica disgregata = dati grezzi.

Frequenze relative

Come trovarle?

È la frazione o proporzione di unità statistiche che presentano tale modalità.

24/02/2023

Le frequenze relative servono per facilitare la percezione del peso delle modalità, per fare confronti e per trovare la probabilità.

Frequenza cumulata

Somma delle frequenze (assolute o relative). Si possono sempre calcolare ma hanno senso solo se le modalità sono ordinabili, quindi per tutte le variabili numeriche e per le variabili categoriche solo se ordinali.

Per le frequenze qualitative si fa la tabella con le frequenze assolute e le frequenze relative, ma solo per le modalità ordinabili si fa anche la frequenza cumulativa.

Grafici per variabili qualitative

Diagrammi a barre e diagrammi a torta sono spesso usati per dati qualitativi. L'altezza delle barre o l'area dei settori circolari rappresenta la frequenza relativa o assoluta di ciascuna categoria. Meglio diagramma a barre.

Grafici per variabili quantitative

Quando ci sono molte modalità si creano delle classi e si calcola la frequenza delle classi. Le classi devono essere:

• Di solito con la stessa ampiezza
• Usare almeno 5 intervalli ma non più di 15-20 intervalli
• Gli intervalli non si devono sovrapporre
• Arrotondare l'ampiezza dell'intervallo per ottenere gli estremi della classe desiderati

Il grafico che si utilizza per rappresentare le classi di questi dati è l’istogramma. La differenza tra l’istogramma e il diagramma a barre è la distanza tra le barre che c'è nel diagramma a barre. Nel diagramma a barre l’altezza è la frequenza relativa e nell’istogramma l’area è la frequenza relativa.

Come raggruppare i dati in classi

1. Determinare il numero di classi di intervallo (solitamente da 5 a 20)
2. Determinare l'ampiezza degli intervalli (vedere se tutti uguali) = (max - min) / n. classi
3. Determinare la regola di chiusura degli intervalli (chiusura a dx o sx)
4. Costruire l’istogramma (può essere costruito con fr. relative, assolute e percentuali)

Istogramma con basi di diversa ampiezza:

• Altezza = ordinata → fr. ass. / ampiezza
• Base = ascissa → ampiezza

Ogiva = serve per rappresentare le fr. cumulate, si rappresenta come una linea spezzata sopra l’istogramma (guarda es. 2.10 sul qua).

Forma della distribuzione

Distribuzione simmetrica: si dice che l’istogramma ha una forma simmetrica rispetto al centro, se le informazioni sono bilanciate o distribuite in modo simmetrico.

Distribuzione asimmetrica: se le osservazioni non sono distribuite in modo simmetrico rispetto al centro.

• Asimmetrica positiva → obliqua verso dx, ha una coda che si estende a dx nella direzione dei valori positivi (es. reddito).
• Asimmetrica negativa → obliqua a sx, ha una coda che si estende a sx nella direzione dei valori negativi.

Diagramma ramo-foglia

Si utilizza il ramo-foglia perché con l’istogramma, se cancellassi i dati, perderei dei dati. Si separa le serie di dati ordinati in cifre più significative (ramo) e meno significative (foglia), quindi si può utilizzare solo con decine e unità. Dopo aver fatto il grafico ramo-foglia, si può notare che comunque esce l’istogramma senza perdere dati.

Grafici serie storiche

Osservo un fenomeno variabile nel tempo. Il tempo è sull’asse x e la variabile di interesse è sull'asse y. Si utilizza per materie finanziarie. Con una scala più piccola, il grafico è più schiacciato rispetto ad una scala estesa.

Grafici e tabelle per descrivere relazioni tra due variabili

Variabili qualitative → tabelle a doppia entrata o di contingenza (es. su qua). Per ogni combinazione di due variabili categoriche si riporta la fr. ass. o rel.

Variabili quantitative → diagramma a dispersione (si mette nelle y la variabile che dipende dall’altra, es. il costo dipende dal volume di produzione).

08/03/2023

Tabella di contingenza

Basata sulle percentuali totali (49/121 x 100 = 40.50) (14/121 = 11.57) (14/49 = 0.2857 x 100 = 28.57) fr. condizionata per riga (14/17 = 0.8235 x 100 = 82.35) fr. condizionata per colonna.

Frequenza condizionata = frequenza delle aziende che hanno un livello di rischio alto, dato che hanno come obiettivo la crescita (esempio su qua). Con il diagramma a barre accostate, si rappresenta la stessa modalità della variabile, ogni barra è l’incrocio delle modalità.

Paradosso di Simpson → il 32% è morto in elicottero, il 24% è morto in ambulanza ma questo non basta.

Descrizione numerica dei dati

Indici di sintesi

Indici di posizione o di tendenza centrale:

• Media = solo per variabili continue o discrete quantitative, si somma le quantità e poi si dividono per n. La media per campione è la somma dei valori osservati diviso la dimensione del campione. La media è influenzabile da valori estremi (outliers).
• Media pesata o ponderata sul qua (es. media voti università).
• Mediana = valore centrale delle osservazioni ordinate, cioè la modalità che sta nel mezzo (solo per variabili ordinali). Non è influenzata da valori estremi.

Come trovare la mediana:

1. Ordino i dati
2. Individuo la posizione (n+½)
3. Ottengo il valore della mediana (es. slide 13 sul qua)

Moda = modalità che vedo più frequentemente (anche per variabili qualitative e quantitative). Non influenzata da valori estremi. Può non esserci una moda e ci può essere più di una moda.

Riassumendo: Mediana = 5+½ = 3ª posizione = $300.000

Media e mediana non coincidono perché la media è maggiore della mediana.

Media geometrica (es. sul qua)

Indici di variabilità

Forniscono informazioni sulla dispersione o variabilità dei valori. Il grafico ha la stessa media e stessa mediana ma variabilità diversa. La curva di distribuzione più bassa è più variabile rispetto a quella più alta.

Campo di variazione = differenza che osservo tra il valore più grande e il valore più piccolo. Ignora il modo in cui i dati sono distribuiti ed è molto sensibile agli outlier.

Quartili = dividono la sequenza ordinata dei dati in 4 segmenti contenenti lo stesso numero di valori.

• 1º quartile = ¼
• 2º quartile = 2/4 cioè la mediana
• 3º quartile = ¾
• 4º quartile = 4/4 cioè 100%

Come si divide in quartili: (esempio sul qua)

1. Ordino i dati
2. Trovo la posizione (es. Q1 = (n+1) x 0,25; Q2 = (n+1) x 0,50 )
3. Individuo il valore

Differenza interquartile: si usa per eliminare il problema degli outlier.