Riassunto esame Statistica per l'azienda, Prof. Melis Nicoletta, libro consigliato Statistica, P. Newbold, W. Carlson, B. Thorne

Statistica descrittiva

Introduzione

• Funzione della statistica: raccogliere e analizzare dati per studiare fenomeni collettivi, che coinvolgono un gran numero di unità statistiche.
• È anche uno strumento utile per prendere decisioni in condizioni di incertezza.

Definizioni principali

• Popolazione.
• Insieme completo di tutte le entità, o unità statistiche, mediante le quali è possibile ottenere informazioni sul fenomeno oggetto di interesse, insieme delle unità su cui si manifesta.
• Due concetti: → → es. per il censimento l’entità è la famiglia.
• Entità perché può essere di qualsiasi natura →.
• Dimensione N → numero di entità che compongono la popolazione.
• Unità statistiche → entità della popolazione su cui si manifesta il fenomeno oggetto di interesse.
• Campione.
• Sottoinsieme della popolazione, di dimensione n.
• Non considera la totalità delle unità statistiche della popolazione.

Vantaggi dell’indagine campionaria

• Vantaggi dell’indagine campionaria, invece che sulla totalità della popolazione.
• Risultati decisamente più tempestivi.
• Costi ridotti.

Obiettivi della statistica

• Statistica descrittiva.
• Fase preliminare →.
• Utilizza metodi grafici e numerici per sintetizzare ed elaborare dati con il fine di produrre informazioni sulla popolazione o sul campione.
• Due importanti termini: →.
• Parametro → caratteristica che riguarda la popolazione, es. media, varianza.
• Statistica → caratteristica che riguarda il campione, es. media, varianza, ma invece di essere calcolata sull’intera popolazione, viene calcolata su un suo campione.
• Statistica inferenziale.
• Fase di supporto alla statistica descrittiva in ambito aziendale.
• Fornisce le basi per previsioni e stime per trasformare informazioni in conoscenza →.
• Sfrutta il calcolo delle probabilità → fornisce le leggi che regolano gli esperimenti casuali.
• Mentre nella statistica descrittiva operiamo in condizione di certezza, nella statistica inferenziale operiamo in condizione di incertezza.
• Tre fasi:
• Si parte dai dati rilevati su un campione.
• Si fa inferenza.
• Si arriverà ad avere dati il più possibile attendibili sulla popolazione.
• Se il campione è rappresentativo → migliore è l’informazione che ne traggo → quindi ci sarà una migliore approssimazione del corrispondente valore sull’intera popolazione → dati attendibili.
• Se il campione non è rappresentativo → non riusciremo a fare inferenze corrette sulla popolazione → dati non attendibili.

Altre definizioni

• Variabile.
• Grandezza che, rilevata su ciascuna unità statistica, sarà di aiuto nella comprensione del fenomeno collettivo in esame …
• Può essere fisica, economica, demografica, psicologica.
• Insieme delle modalità di una variabile.
• Modo in cui un determinato fenomeno si manifesta sulle unità statistiche.
• In base a ciò si stabilisce una scala di misura e si classificano i fenomeni in base alla natura della variabile che lo descrive.

Scala di misura: “etichette”

• Fenomeni che si manifestano con.
• Scala nominale.
• La variabile si manifesta con “etichette”, forme non numeriche.
• Non esiste una relazione di ordine naturale che mi faccia intuire l’ordine delle variabili →.
• Es. genere maschio o femmina → si misura su scala nominale → “maschio” o “femmina”.
• Etichette.
• Non esiste una relazione d’ordine naturale che mi faccia capire se mettere prima M o F.
• Scala ordinale o per ranghi “etichette”.
• La variabile si manifesta con.
• Esiste una relazione di ordine naturale.
• Es. titolo di studio → “licenza elementare”, “primaria di primo grado” …
• Etichette.
• Esiste una relazione d’ordine naturale → non posso conseguire un diploma di scuola media se non ho prima conseguito una licenza di scuola elementare.

Fenomeni che si manifestano con numeri

• Scala per intervalli.
• La variabile si manifesta con numeri.
• Esiste una relazione d’ordine.
• Il sistema di riferimento è dotato di origine arbitraria.
• Ha senso la distanza dall’origine arbitraria →.
• Non esiste origine assoluta, no zero assoluto → lo 0 non vuol dire assenza del carattere.
• Non ha senso il rapporto tra due misure.
• Es. temperatura, quindi non esiste un’origine assoluta.
• Lo zero di temperatura dipende dalla scala che si adotta.
• Ha senso “+10 gradi centigradi” perché indica la distanza di 10 gradi dall’origine.
• Lo zero non significa assenza di temperatura, significa 0 gradi.
• Non ha senso dire che la temperatura a Roma è una volta e mezzo la temperatura di Firenze.
• Scala per rapporti.
• La variabile si manifesta con numeri.
• Esiste una relazione d’ordine.
• Il sistema di riferimento è dotato di origine assoluta, lo zero.
• Esiste lo zero assoluto → vuol dire assenza del carattere, es. peso 0 kg.
• Ha senso il rapporto tra due misure, es. A pesa il doppio di B.
• Es. reddito familiare, altezza, peso.

Classificazione delle variabili

• Variabile categorica o qualitativa →.
• Si manifesta in termini di attributi, non ha senso valutare differenze di intensità o meno, …
• Es. genere, titolo di studio, fumatore.
• Possono essere:
• Sconnesse → non esiste una relazione d’ordine naturale.
• Misurazione su scala nominale.
• Si può solo dire che due diverse unità statistiche hanno la stessa manifestazione o no.
• Es. “Francesca ha lo stesso genere di Giovanna ma diverso da Mauro”.
• Ordinali → esiste una relazione d’ordine.
• Misurazione su scala ordinale naturale.
• Es. titolo di studio, valutazione di un servizio attraverso degli attributi, ottimo, buono, scarso.
• Variabile numerica o quantitativa →.
• Si manifesta in termini numerici, ha senso valutare differenze di intensità.
• Possono essere:
• Discrete.
• Può assumere un numero finito, o infinito numerabile, di valori.
• Deriva da operazioni di conteggio, es. numero di figli, numero di esami sostenuti, ...
• Continuo.
• Può assumere un numero infinito di valori in un determinato intervallo di numero reali.
• Deriva da operazioni di misura, es. peso o altezza.
• N.B. Una variabile si dice dicotomica se il verificarsi di una → esclude l’altra, es. genere: M o F.

Indagine statistica: premesse

• Dato un fenomeno collettivo oggetto di studio.
• Si individua la popolazione di riferimento.
• Si determinano le variabili da rilevare e la relativa scala di misura.
• Si individua l’insieme dei valori assunti da ciascuna variabile.
• Si rilevano i valori delle variabili su ciascuna unità statistica.

Matrice dati

• È una struttura tabellare dove vengono organizzati tutti i dati rilevati su ciascuna unità statistica.
• Ogni riga rappresenta un’unità statistica del campione → contiene le informazioni relative ad essa.
• Ogni colonna, senza ordinamento progressivo implicito, rappresenta una determinata variabile → contiene le determinazioni osservate sulle unità statistiche per una data variabile.
• N.B. le variabili qualitative sono convertite in termini numerici per mezzo di una leggenda → dato che la matrice dati è un supporto informatizzato.
• Esempio.
• M = 0, F = 1.
• Sì = 0, No = 1.

Distribuzioni di frequenza

• Una distribuzione di frequenza consiste nel creare una tabella per organizzare i dati trovati.
• Distribuzione delle frequenze assolute (f)i.
• Frequenze assolute → quante volte si presenta, per ogni modalità, la variabile considerata all’interno del campione.
• È una sintesi dei dati → insieme di coppie, modalità, frequenza.
• La colonna più a sinistra contiene le modalità, o classi di misure, della variabile considerata.
• La colonna più a destra contiene il corrispondente numero di frequenze assolute dei valori osservati per ciascuna modalità.
• Distribuzione di frequenze relative (p = f / n)i i.
• Frequenza relativa → quota del collettivo che presenta una certa modalità o classe di misura.
• Si ottiene dividendo ciascuna frequenza assoluta per il numero complessivo di osservazioni.
• Ci consente di poter confrontare due diverse frequenze assolute, ragionando in termini relativi.
• Distribuzione di frequenze percentuali.
• Si ottengono moltiplicando ciascuna frequenza relativa per 100.
• Distribuzione di frequenze cumulate assolute.
• Indica il numero totale di osservazioni per modalità minori o uguali alla modalità corrente.
• N.B. nel caso di dati raggruppati in classi → minore o uguale → dell’estremo superiore della classe.
• Si ottiene sommando i valori delle frequenze assolute fino alla modalità corrente.
• Le frequenze cumulate hanno significato solo se le variabili sono ordinabili.
• Distribuzione di frequenze cumulate relative.
• Indica la quota del totale per modalità minori o uguali alla modalità corrente.
• Si ottiene sommando i valori delle frequenze relative fino alla modalità corrente.
• Raggruppamento in classi.
• È necessario raggruppare per classi in due casi:
• Variabili numeriche continue.
• Variabili numeriche in cui k, modalità di xi, è circa pari a n, dimensione del campione.
• Il raggruppamento per classi produce più sinteticità, ma meno precisione.
• Le classi devono essere collettivamente esaustive e mutuamente esclusive.
• Nell’ipotesi che i dati si distribuiscano uniformemente all’interno di ciascuna classe si usa il valore rappresentativo di classe x ic.

Rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza

• Visualizzare la distribuzione di frequenza attraverso un grafico consente di coglierne alcuni aspetti caratteristici in modo immediato, es. la modalità che viene assunta più o meno frequentemente.
• Tipi di diagrammi in base al tipo di variabili:
• Categoriali →.
• Sconnesse → diagramma a torta.
• Ordinale → diagramma a barre.
• Numeriche →.
• Discrete → grafico ad aste.
• Continue → istogramma.

Diagramma a torta

• Diagramma a torta, aerogramma.
• Solitamente si usa per una variabile categoriche di tipo sconnesso.
• Costituito da un cerchio diviso in k spicchi con aree proporzionali alle frequenze associate alle modalità della variabile.
• Immediato a livello visivo →.
• Bisogna mantenere le stesse proporzioni tra fi e n → (a : 360° = fi : n) → (a = 360° x pi).
• La figura circolare non privilegia nessun ordinamento →.
• Diventa poco efficiente quando la variabile ha troppe modalità distinte → il grafico diventa di difficile lettura, non si percepiscono le proporzioni → quindi si userà il diagramma a barre.

Diagramma a barre

• Diagramma a barre.
• Solitamente si usa per una variabile categoriche di tipo ordinali.
• Costituito da k rettangoli verticali non adiacenti posti sull’asse orizzontale, con basi uguali e altezze proporzionali alle frequenze, assolute o relative.
• I rettangoli devono essere nell’ordine oggettivo.

Diagramma di Pareto

• Diagramma di Pareto.
• Caso particolare del diagramma a barre che presenta le frequenze decrescenti delle cause di difettosità procedendo da sinistra verso destra.
• Il rettangolo più a sinistra indica la causa più frequente, poche cause rilevanti.
• Procedendo verso destra si rappresentano le cause meno frequenti, molte cause insignificanti.
• Al diagramma viene sovrapposta una retta spezzata che indica la frequenza relativa cumulata percentuale per rilevanza decrescente del difetto.

Diagramma ad aste

• Diagramma ad aste.
• Solitamente si usa per una variabile numerica discreta.
• Entrambi gli assi sono numerici, nei 3 diagrammi prima uno era numerico e l’altro no.
• Costituito da k segmenti, paralleli all’asse y, posizionati in corrispondenza dei valori delle modalità xi sull’asse x e con altezza proporzionali alle frequenze, assolute o relative.

Istogramma

• Istogramma.
• Solitamente si usa per una variabile numerica continua.
• Costituito da k rettangoli contigui, con:
• Basi pari all’ampiezza della classe.
• Estremi corrispondenti alle classi.
• Altezza pari alle densità di frequenze relative o assolute, ci = pi / Wi o fi / Wi.
• Area proporzionale alla frequenza relativa pi di ciascuna classe → Area del rettangolo = base, ampiezza wi, x altezza, densità ci, Ai = Wi x (pi / Wi) = pi.
• Nota Bene: per l’altezza.
• Se le ampiezze sono costanti si può usare pi o pi / Wi o fi o fi / Wi per l’altezza.
• Se le ampiezze non sono costanti si deve usare per forza pi / Wi o fi / Wi.

Simmetria o asimmetria di un istogramma

• La distribuzione di una variabile ha forma simmetrica se si distribuisce in modo regolare intorno al centro dell’istogramma.
• La distribuzione di una variabile ha forma obliqua o asimmetrica se non si distribuisce in modo regolare intorno al centro dell’istogramma → presenta una coda che si estende verso destra.
• Obliqua a destra, o asimmetria positiva, nella direzione dei valori positivi → presenta una coda che si estende verso.
• Obliqua a sinistra, o asimmetria negativa, sinistra nella direzione dei valori negativi.

Funzione di ripartizione

• Funzione di ripartizione.
• Sarebbe una funzione cumulativa delle frequenze relative.
• Data una variabile quantitativa X con distribuzione di frequenze relative (xi, pi), si definisce funzione di ripartizione F(x) delle infinite coppie (x, F(x)), dove F(x) = pi (X ≤ x) dell’insieme.
• Dà un’informazione cumulativa su quale parte del collettivo ha fino ad un determinato valore.
• Ha dominio R e codominio [0; 1].
• La funzione vale 0 fino a x1 escluso.
• Poi vale p1 da x1 incluso fino a x2 escluso.
• Poi vale p1+p2 da x2 incluso fino a x3 escluso.
• Poi vale p1+p2+p3 (=1) da x3 incluso fino all’infinito.
• Se ci fosse un raggruppamento in classi → ogiva.

Ogiva

• Ogiva.
• Sarebbe una curva delle frequenze cumulate relative.
• Solitamente si usa per una variabile numerica continua con raggruppamento in classi.
• È una spezzata che mostra l’andamento della funzione di ripartizione.
• La spezzata unisce i punti che indicano le frequenze cumulate relative con valore minore o uguale all’estremo superiore di ogni classe.

Indici di tendenza centrale

• Indici di tendenza centrale.
• Si possono individuare osservando il valore attorno al quale tendono a concentrarsi i dati rappresentati con un diagramma ad aste o un istogramma, quindi per variabili numeriche.
• Sono tre → media aritmetica, mediana, moda.

Media aritmetica

• Media aritmetica.
• Somma dei valori osservati divisa per il numero di osservazioni.
• Criterio per determinare la media → di natura algebrica e analitica, utilizzando una formula.
• Due tipi di media che considerano frequenza 1:
• Media della popolazione → μ = x1+x2+⋯+xn / N.
• Media campionaria → x̅ = x1+x2+⋯+xn / n.
• Se ci fossero le frequenze assolute o relative bisogna considerarle nella media:
• Media della popolazione: μ = (x1 f1 + x2 f2 + … + xn fn) / N = x1 p1 + x2 p2 + ⋯ + xn pn.
• Media campionaria: x̅ = (x1 f1 + x2 f2 + … + xn fn) / n = x1 p1 + x2 p2 + ⋯ + xn pn.
• N.B. se si tengono tutti i decimali nei calcoli la media con fi e la media con pi sono uguali.
• Se ci fossero dei raggruppamenti per classi + + → =.
• Bisogna usare in valore rappresentativo della classe → se consideriamo ci saranno due medie diverse → la distribuzione reale di ciascuna osservazione nelle classi viene forzata sul valore centrale.
• N.B. tutte le osservazioni o le classi.
• La media risente degli outliers.
• Valori estremi rispetto al corpo delle osservazioni sono anomali, molto grandi o piccoli → la media aritmetica ne risentirà e darà un’indicazione.
• Considerando gli outliers, diversa rispetto a quella che otterrei se escludessi questi outliers.
• Il problema degli outliers è risolto quando vi sono sia valori molto piccoli che valori molto grandi in quanto si compensano.
• Per risolvere questo problema ci sono indici di tendenza centrale alternativi.

Mediana

• Mediana.
• È l’osservazione che occupa la posizione centrale nella sequenza ordinata crescente dell’insieme di dati di una variabile quantitativa.
• Criterio per determinare la mediana → ordinamento.
• Si ottiene seguendo 3 passaggi:
• Ordinare i numeri in ordine crescente.
• Individuare la posizione centrale → (n + 1) / 2.
• Se la posizione è intera → Me = il valore corrispondente di quella posizione.
• Se la posizione è intermedia → fare la media tra i due valori adiacenti → Me = media trovata.
• Nel caso di raggruppamento in classi → ≥ 0,5.
• Individuare la classe mediana cioè la prima classe con funzione di ripartizione.
• −(), −() = + = + - →.
• Xi estremo inferiore della classe mediana.
• F(xi) valore della funzione di ripartizione della riga precedente.
• Wi e pi ampiezza e frequenza relativa della classe mediata.

Moda

• Moda.
• Rappresenta la modalità che si presenta con maggior frequenza assoluta o relativa.
• Può essere sia di variabili numeriche che categoriche.
• Criterio per determinare la moda → valutazione frequentista.
• Se ci sono più massime frequenze uguali la moda non è unica, plurimodale.
• Nel caso di raggruppamento in classi con ampiezza diversa.
• La classe modale è quella con la maggiore densità di frequenza pi / wi o.