Riassunto esame Fondamenti di matematica, Prof. Torricelli Lorenzo, libro consigliato Geometria 1, Edoardo Sernesi

SPAZI VETTORIALI

1. Vettori applicati

Nel capitolo degli spazi vettoriali, le lettere maiuscolo si riferiscono a un vettore. Un vettore applicato è una

2

, ) ℝ

coppia ordinata di numeri reali (es. appartenenti a uno spazio (prendiamo in esempio , ossia il

⃗⃗⃗⃗⃗

piano cartesiano). Dunque il vettore applicato lo chiameremo ad esempio , che rappresenta un

, . =

segmento orientato sulla retta avente in comune i punti Il vettore in questione prende il nome di

⃗⃗⃗⃗⃗

ed è formato da quattro informazioni: ,

1 Il punto di applicazione: in questo caso il punto il punto iniziale del vettore

2 La sua direzione: o giacitura, la retta su cui poggia il vettore

3 La lunghezza: chiamata anche norma o modulo, ossia la lunghezza del segmento orientato

⃗⃗⃗⃗⃗

4 Il verso: che è indicato dal verso della freccia, in questo caso (il verso cambia nel caso in cui il vettore

venisse moltiplicato per uno scalare negativo) =

Prendendo in esame sempre l’esempio sopra riportato, se (o meglio, se la coppia, terna, n-upla è

.

uguale) il vettore sarà chiamato vettore nullo e sarà indicato da o anche da solamente

Si possono svolgere delle operazioni: la prima è quella di modificarne la lunghezza e il verso attraverso il

prodotto di un vettore per un numero reale k (nel caso dei numeri reali, vengono chiamati anche scalari)

⃗⃗⃗⃗⃗

= . La seconda è la somma tra due vettori, attraverso la regola del parallelogramma: dati due

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= = + = + = =

vettore e la somma è data da (diagonale del

parallelogramma). Sono molto importanti le proprietà di queste due operazioni:

()

() = = (),

1 commutatività dei prodotti reali

+ = = +

2

1 =

3 ⃖⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (−)

– = = + =

4 , allora

( (

+ ) + = + + ) = + ( + ),

5 proprietà associativa della somma vettoriale

( + ) = + ,

6 proprietà distributiva della somma vettoriale rispetto al prodotto reale

( + ) = + ,

7 proprietà distributiva del prodotto reale rispetto alla somma vettoriale

Due vettori applicati si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione, lunghezza, verso. L’equipollenza è

una relazione di equivalenza, perché soddisfa la riflessività, la transitività e la simmetria. Hanno tutte le

stesse proprietà caratterizzanti, eccetto il punto di applicazione. Possiamo dare quindi la definizione

= ∕∽,

dell’insieme dei vettori geometrici: dove è la relazione di equipollenza. Un vettore geometrico

∈ è una classe di equivalenza di vettori applicati rispetto alla relazione di equipollenza.

2. Spazi vettoriali (,∙, +),

Uno spazio vettoriale reale è una terna costituito da un insieme non vuoto e due operazioni

+: × → ) ∙: × ℝ → )

binarie somma (data da e moltiplicazione scalare (data da che soddisfano

queste proprietà: ( (

∀, , ∈ + ) + = + + ) = + ( + )

V1) Proprietà associativa della somma: ∀, , ∈ + = +

V2) Proprietà commutativa della somma: ∃ ∈ |∀ ∈ + = + =

V3) Esistenza dell’elemento neutro rispetto la somma: (−)

∀ ∈ , ∃ − ∈ | + = 0

V4) Esistenza dell’opposto: ∀ ∈ , 1 =

V5) Esistenza dell’elemento neutro rispetto la moltiplicazione scalare ()

∀, ∈ ℝ, ∈ = () = ()

V6) Proprietà associativa della moltiplicazione scalare:

V7) Proprietà distributiva della somma di vettori rispetto alla moltiplicazione scalare:

∀ ∈ ℝ, , ∈ ( + ) = +

V8) Proprietà distributiva della moltiplicazione scalare rispetto alla somma di vettori:

(

∀, ∈ ℝ, ∈ + ) = +

Per capire se si sta parlando di uno spazio vettoriale, basta verificare le proprietà.

⊆

Sia uno spazio vettoriale. Un sottospazio vettoriale di è un sottoinsieme tale che:

∈

1. Condizione necessaria:

∀, ∈ +∈

2. ∀ ∈ , ∈ ℝ ∈

3. (,∙,

⊆ +)

Sia un sottospazio vettoriale; allora anche la terna è uno spazio vettoriale. Per

dimostrarlo, basta verificare le proprietà V3 e V4, perché le proprietà V1, V2, V5, V6, V7, V8 sono

2

ℝ

“ereditate” da V. Gli unici sottospazi vettoriali di sono quello contenente solo l’origine, l’intero

2

ℝ (chiamati anche sottospazi vettoriali impropri o banali) e quelli che coincidono con le retti passanti per

⟨⟩ ⟨⟩

=

l’origine. Un sottospazio generato da un vettore si indica con ed è definito da come segue:

{| ⟨⟩

∈ ℝ}. .

è l’insieme determinato da tutti i multipli reali di

, ⊆ ∩

Se è uno spazio vettoriale e sono due sottospazi, allora l’intersezione è ancora un

{

, ⊆ + = + | ∈ , ∈ }

sottospazio. Siano due sottospazi. L’insieme è detto

{}

, ⊆ ∩ =

sottospazio somma. Si dice somma diretta tra due sottospazi se e si indica con

⊕ (la ∀ ∈ + ∈ , ∈ = + )

somma è diretta se e solo se esistono unici tali che

3. Dipendenza lineare, basi e dimensioni

∈ ℕ , … , ∈ , … , ∈ ℝ. , … , ∈

Per siano e siano La combinazione lineare di

, 1 ,

=1

∑

, … , = + + ⋯ + =

secondo le costanti è il vettore . Il vettore è

1 1 2

.

combinazione lineare di qualsiasi insieme di vettori in La combinazione di tutti gli nulli si dice banale.

⟩ ⟨ ⟩.

< , , … , ⊆ , … ,

Se allora⟨ Da questo possiamo dire che: sia uno spazio vettoriale;

, , … , ∈ , … ,

si dicono linearmente dipendenti se esistono non tutti nulli, ossia se il vettore

1

, , … , +

può essere ottenuto come una combinazione lineare non banale di :

1

+ ⋯ + = = 1, … , | ≠ 0)

(∃

2

, … , ∈

Sia uno spazio vettoriale. si dicono linearmente indipendenti se il vettore può essere

,

ottenuto solo con la combinazione lineare banale:

+ + ⋯ + = ⟹ = = ⋯ = =

1 2 1

Il metodo utilizzato per determinare se i vettori sono dipendenti o indipendenti è moltiplicare e

= 0,

risolvere il sistema: se tutte le incognite allora i vettori sono linearmente indipendenti, sennò

,

dipendenti. Due vettori , entrambi non nulli, sono linearmente dipendenti se e solo se sono uno

⟨ ⟩;

∈

multiplo dell’altro, ossia estendendo questo esempio, si può quindi definire che dei vettori

, , … , sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi si può scrivere come

= + ⋯ +

combinazione lineare di tutti gli altri: .

2

, , … ,

Sia uno spazio vettoriale. Si dice che generano (o sono un sistema di generatori per) se

⟨ ⟩

, , … , = .

Partendo da questa definizione si può introdurre il concetto di base. Sia uno spazio

{ }

, … ,

vettoriale. Si dice che è una base di se:

, … ,

1. generano

, … ,

2. sono linearmente indipendenti

{ , … , } > . { , … , }

Sia una base di e Allora qualsiasi insieme di vettori è linearmente

= (1, −3, 0) { , , }

dipendente. Per esempio, si consideri e sia la base canonica. Per il Teorema