Riassunto esame Analisi matematica 1, Prof. Morsella Gerardo, libro consigliato Analisi Matematica 1, Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa

Chapter 2 - Funzioni

Definiti A, B insiemi qualunque, una funzione che va da A in B (f: A → B) è una legge che associa ad ogni elemento x ∊ A uno ed un solo elemento y ∊ B, y = f(x).

A è detto Dominio, mentre B è detto Codominio di f.

L'insieme F(A) = {f(x) | x ∊ A } = { y ∊ B | ∃ x ∊ A | f(x) = y } ⊆ B è detto Insieme immagine di f.

Il sottoinsieme di A × B definito da gra(f) = { (x, y) ∊ A × B | y = f(x) } è detto Grafico di f.

Se A, B ⊆ ℝ, ℝⁿ × ℝ → ℝⁿ { (x, y) | ∀ x, y ∊ ℝ } si identifica con il Piano cartesiano di f.

Esempi

f: ℝ → ℝ f(x) = x²

dominio: A = ℝ

codominio: B = ℝ

immagine: f(D) = { y ∈ ℝ | ∃ x ∈ ℝ : x² = y } = { y ∈ ℝ | y ≥ 0 } ovvero [0, ∞)

f: ℝ → ℝ f(x) = ³/_x

dominio naturale: D = ℝ \ {0}

codominio: B = ℝ - { x ∈ ℝ : x ≠ 0 }

f(D) = { y ∈ ℝ | ∃ x ∈ D : f(x) =³/_x = y } quindi y =³/_x y ∈ ℝ \ {0}. immagine: f(D) = ℝ \ {0} = D

2.1 Notazioni e definizioni

f si dice Iniettiva se ∀ x₁, x₂ ∈ A , f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂;

f si dice Surgiettiva se ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A : y = f(x);

f si dice Biiunivoca se ∀ y ∈ B ∃! x ∈ A : y = f(x)

infine se f : A → B è Biiunivoca, allora si dice Invertibile ed esiste una funzione inversa f^-1 : B → A { tale che ∀ x ∈ A f(x) = x, ∀ y ∈ B f^-1(y) = y };

Sia f : D ⊆ ℝ una funzione con D ⊆ ℝ:

f è Crescente in A ⊆ D se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) 2) ;

f è Strettamente crescente in A ⊆ D se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) 2) ;

f è Decrescente in A ⊆ D se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ;

f è Strettamente decrescente in A ⊆ D se ∀ x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) ;

f è Pari se D ⊆ ℝ ⇒ x ∈ D ⇔ -x ∈ D, f(x) = f(-x) ;

f è Dispari se D ⊆ ℝ ⇒ x ∈ D ⇔ -x ∈ D, f(x) = -f(-x) ;

f è Periodica se ℝ > 0 ∃ α ∈ ℝ perciò tale che ∀ x ∈ D e ∀ k ∈ ℤ, x + kT ∈ D e f(x) = f(x + kT) ;

Chapter 2 Funzioni

Definiti: A, B insiemi qualunque, una funzione che va da A in B (f: A → B) è una legge che associa ad ogni elemento x ∈ A uno ed un solo elemento y ∈ B, y = f(x) ∀x ∈ B.

A è detto Dominio, mentre B è detto Codominio di f.

L'insieme F(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ B | ∃ x ∈ A | f(x) = y} ⊆ B è detto insieme Immagine di f.

Il sottoinsieme di A × B definito da f, detto Grafico di f.

Se A, B ⊆ ℝ, ℝ² = ℝ × ℝ = {(x, y) | x, y ∈ ℝ} si identifica con il Piano cartesiano di f.

Esempi

f: ℝ → ℝ, f(x) = x²

dominio: D: ℝ

codominio: B: ℝ

immagine: f(D) = {y ∈ ℝ | ∃ x ∈ ℝ, x² = y} = {y ∈ ℝ | y ≥ 0} ossia f(D) = [0, +∞)

f: ℝ → ℝ, f(x) = ³/_x

dominio naturale: D: ℝ\{0}

codominio: B: ℝ e f(D) = {y ∈ ℝ | ∃ x ∈ ℝ: x ≠ 0 }

f(D) = {y ∈ ℝ | ∃ x ∈ ℝ: ³/_x = y} quindi f(D) = ℝ\{0}

immagine: f(D) = ℝ\{0}

2.1 Notazioni e definizioni

f si dice Iniezione se ∀x₁, x₂ ∈ A, f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂;

f si dice Suriezione se ∀y ∈ B ∃ x ∈ A: y = f(x);

f si dice Biezione se f è Iniettiva e Suriezione;

Inoltre se f: A → B è Biezione, allora si dice Invertibile ed esiste una funzione Inversa f^-1: B → A tale che ∀x ∈ A f(x) = f(x), ∀y ∈ B f^-1 (y) = y;

Sia f: D → ℝ una funzione con D ⊆ ℝ:

f è Crescente in D ⊆ ℝ se ∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂);

f è Strettamente crescente in D ⊆ ℝ se ∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂);

f è Decrescente in D ⊆ ℝ se ∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≥ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂);

f è Strettamente decrescente in D ⊆ ℝ se ∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ > x₂ ⇒ f(x₁) 2);

f è Pari se D ⊆ ℝ e x ∈ D e f(x) = f(-x);

f è Dispari se D ⊆ ℝ e x ∈ D e f(x) = -f(-x);

f è Periodica se ∃T > 0 tale per cui ∀x ∈ D e ∀k ∈ ℤ, x + kT ∈ D e f(x + kT) = f(x + kT);

2.3 Funzione valore assoluto

∀x,y∈ℝ, valgono le seguenti proprietà:

Proprietà fondamentali

(i) (Moltiplicazione) |xy| = |x|·|y|

Dim(i) se x 0 ⇒ |xy| = xy = |x|·|y|

se x 0 ⇔ xy 0 ⇒ –xy = |x|·|y|

(ii) (Divisione) |x/y| = |x|/|y| che per la (i) è proprietà |x|·1/|y| = |x²|/|y|

(iii) (Addizione) |x+y| ≤ |x|+|y|

Dim (iii), sicuramente allora, –|y| ≤ y ≤ |y| sommando membro e membro –(|x|+|y|) |x| ≤ x to y

se a > 0 e –a ≤ x ≤ a, allora ⇒ |x| ≤ a, quindi: |x+y| ≤ |x|+|y|

(iv) (Sottrazione) |x−y| ≥ |x|−|y|

Dim (iv) |x|−|y| ≤ |x−y| allora, quindi: |x|−|y| ≤ |x−y|, facendo uguale anche per x |x−y| ≤ |x|−|y| quindi: |x|−|y| ≤ |x−y|, per cui |x−y| ≤ |x−y| e quindi possiamo affermare che |x|+|y| ≤ |x−y|

2.3 Funzione potenza ad esponente R e Q

∀x,y∈ℝ, con x,y > 0, s ∈ ℚ (Razionale)

Proprietà fondamentali

(i) x^s·x^t = x^s+t

(ii) x^s/t = (x^s)^t

(iii) x^s^t = x^st

(iv) x^1 = x

(v) x^0 = 1, 0^1 = 0 if x ≠ 1

(vi) se x Proprietà fondamentali

(i) x^0 = x^a.p.d., a ∈ x; ... x = sup {p.d.; ... ∈ | n∈ n ≤ 1}

(ii) x^a.^1/p = x = x = 1 if (a (iii) x^a.quindi x^1/a = o.p.a., a ∈ o... x = a = x^0

(iv) x^a Valenza delle proprietà da ℝ a ℚ

a ≤ ℚ ⇒ x^a derivato con la definizione precedente, le potenze ad esponente reale, godono delle stesse proprietà da (i) a (viii) di quelle dell'esponente razionale.

3.4 Funzione esponenziale

Sia \( a>1, \ a>0 \), la funzione esponenziale in base a è \( f(x)=a^x \) con \( x \in \mathbb{R} \).

Proprietà fondamentali

(i) \( a^x>0 \ \forall x \in \mathbb{R} \)

(ii) se \( a>1 \) \( f \) è strettamente crescente, mentre se \( a1 \) ; visto che \(\{x' | x \in \mathbb{R}\} \supseteq \{x' | x \in \mathbb{N}\} \Rightarrow \)\(\text{sup}\{a^x | x \in \mathbb{N}\} = +\infty\)

(iv) \( \lim_{x \to \infty} a^x = 0 \) vale il senso spiegazione del sup con \(\{a^x | x \in \mathbb{N} \}\)

Invertibilità dell’esponenziale

Sia \( a\neq 1, \ a>0 \Rightarrow f(x)=a^x \) è biettiva da \( \mathbb{R} \) su \( (0, +\infty) \) e il gruppo di \( f \) non “salta”, perché non sarebbe iniettiva.

Dim Sia \( a>1, f \) è strettamente crescente \(\Rightarrow\) come abbiamo già dimostrato è iniettiva, cioè è biettiva con codominio \( f(\mathbb{R}) \), quindi dimostriamo che \( f(\mathbb{R})= (0, \ +\infty), \ \forall y>0 \ \exists x\ |\ a^x=y.

Definiamo \( A := \{x \in \mathbb{R}, \ a^x0, a\neq 1, \) il logaritmo in base a di x>0 è unico \( y=x \Rightarrow a^y =x \).

È scritto in \( y=\log_a (x) \) e la funzione \( g:(0, +\infty)\to \mathbb{R}, \ g(x)=\log_a(x) \).

È la funzione inversa della funzione esponenziale in base a.

Siano a,b>0, a != 1, x>0, y>0

Proprietà fondamentali

(i) \( \log_a 1 = 0, \ \log_a a = 1 \)

(ii) \( \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \)

(iii) \( \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a(x) - \log_a(y) \)

(iv) \(\log_a x = \frac{\log_a x}{\log_ab}\)

2.6 Funzioni trigonometriche

In matematica, le funzioni trigonometriche, chiamate anche goniometriche o circolari, sono funzioni di un angolo, sono molto importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici. Vengono definite, a partire dai lati di un triangolo rettangolo contenuti in un angolo e, equivalentemente, possono anche definirsi come le ampiezze degli archi comprensivi dell’unitario. Originariamente le esprimono come serie infinite o come soluzioni di certe equazioni differenziali; oggigiorno la loro estensione anche ai numeri complessi.

Proprietà fondamentali

(i) sin(d + 2kx) = sind VdR, VkeZ.

(ii) cos(d + 2kx) = cosd VdR, VkeZ.

(iii) tg(d + kx) = tgd VdR, VkeZ.

(iv) sen²d + cos²d = 1.

(V) sin(x+y)-sin(x-y) = 2cosx•siny = cos(x|siny| = cos(x+y) - cos(x-y) = - 2sins(y - sinx (VI) sen2x) = (sen (x+ sin(x+y) (VII) sin(²) - sen(ax • cos2y) = cosx ²) + cosx ²)

Le funzioni sin(x), cos(x) e tg(x) non sono iniettive, ma se vengano prese le partizioni [ - ^π/₂, π/2 ], [ - 1,1 ], [ 0, π ] [ - ^π/₂, ^π/₂ ], [ - 200,20 ], allora esse diventano bioniche.

2.7 Funzioni trigonometriche inverse

arcsin(x) è disparel non periodica Π è funzione inversa della funzione bionatica sen(x): [- ^π/₂, π/2] → [-1;1];

arccos(x) f non periodica e la funzione inversa della funzione bionomica cos(x): [ 0,π ] → [-1;1];

arctg (x) f disparel non periodica f è funzione inversa della funzione bionoma [ -^π/₂, π/2 ] → R;

Dice che arcsin [ -^π/₂ ^π sin (x) ] → [ -1;1 ] è la f (funzione inversa ) del spo interseca del ospite [ -^π/₂ ] - 1,1 ]s del vool dice che accsin(sinx) = x Vxe [ -^π/₂, ^π/₂ ] e sin(arcsin(x)) = x Vxe [-1,1], ma se prendero x e [ -^π/₂] usua cosa del tipa arcsin(sin(x)) apote normalmente pe: l’occu il raggiungiamo è andago, perché negli intervalli di definizione il valore restituito dalla funzione inversa è x, altrimenti sarà un ulteriore valore.