Riassunto esame Algebra e geometria, Prof. Pasotti Anita, libro consigliato Esercizi svolti algebra e geometria, Uccelli Stefano

Rouché capelli

Teorema

Ed èUn Ax insistemalineare B n incognitem equazioni compatibile, AIBAp p

Dimostrazione

) )Un AIBè Sol AAxsistemalineare B p pAMMETTEcompatibileIpotesiomettesistema elementidi di IKSe soluzione esisteun una n gheche tutte leda Omeroan nexp soddisfa equazioni Cmti am BetBtCit am ma anyM poi Badandistant mdellarisulta delle AE dilinearecombinazione motricecolonneavereAmqueanima diil alone e da AestraibiliPertanto manina indipendentinumerodi colonne il di l daethoibili Aestraibili 3coincide monismo colonneno indipendenticonil ildi dimotrice coincide colonnemonismo noSiccome una conrango Ae AIBppindipendenti allora( )Al AIB Un èAxsistemalineare Bpp compatibileLeptin diil aloneAIB e daethoibili APIA manina indipendentinumerop il di l daethoibili Acolonne Bcoincide monismo no indipendenticon dellarisultaQuindi dellecombinazioneB lineare AmotricecolonneavereQuindi t.ciandelementidi diesiste 1kurla dauna ain Bdi C MCMt ail sistema haAx soluzioneB pertanto PlanNÉ dettato N N O G Solus

Di Cramer

Teorema

Un ed omettesistema cui AltoAX B incogniten a inin equazionisola soluzione L'UnicitàDimostraree 0Luna euna Unicaunge SOLUZIONE

Dimostrazione

Tesistenicaallora unicache la soluzione èDimostriamo ese del sistemale Atsoluzionix BteeSupponiamo AX BAX BcheASSURDO esistono2 ane AX A XeAti AxeB Be Evento AI no 0AOIIaAH AZA Àsx OxMoltiplicò a pueMAX AYAMXLXl è unica ÈX X UNICALA SOLUZIONEN2UNA ESISTESOLUZIONE

Dimostrazione della soluzione

Bi ottenuta damatrice A lila ci ne di disostituendo BA la colonnai colonnala esima con 15 i 5BCa CiB Cit Cm1iM 1 mconI ècheVerifichiamo soutioneuelsisi MA19goal moltila daEsumato pmotrice a Quarata BAXinvertibileea SXa epa ÈYI BAllora ladila dareAX disoluzione è Ma anYleB mdelXI BidetA dimhanno p211dir e

Di teorema Kronecker

L I MMMed IkARsettoriali EdiC motriceunaGli sposi talestessa dimensione illahanno dimensione coincide conedi rango

Dimostrazione

IkMmdimotrice dimostriamocheSia A unaLIRI dim LI CI PIAPIA eSe AL aiutamiR 7in es S quindiindipendentirighe nullodeterminante piaordinedi sminore nos nonaun ordineSe dovrebbe di7 inpeal vos A vaminorefame unnullodeterminante nonLe dellodi sistematale liberocostituirebberominorerighe unLIRIdimdelle almeno rdovrebbequindi avererighespazio LIRIdimPertanto PIA4 A ha 7 MP tutti miminore Io e

Teorema 01h71 degli

,m ha1km ordinediA MMotrice IRUna minoreee unnongo ptuttinullodeterminanteP cheminori 1a enon pti contengononullodeterminanteM hanno

Dimostrazione

)beAMotrice ordineUna diMminorea unp psongo tuttinullo cheminori Mdeterminante 1e ptinona contengononullodeterminantehanno _dalla didefinizione rango) poi alloraSe determinantep ordineM diminoreo un patuttinullo che hannoMiminori 1e ptinon contengononullodeterminante tuttinullodeterminanteordine ediM iE minore a nonun p) )nullodeterminantehannocheminori M1pt contengonola haAmotrice non pgo di AminoreDimostrazioneSia 1M nellodeterminanteM siamominore IOun econ contutti Mcheminorii 1pt contengono allora ancheil laµchePER platAssunto vipSupponiamodello delle è alledimensione colonne vip quindi porighespazioche M colrighe si puòcolonne unao rigacontengono aggiungereSiottenendo sistema MAliberoancora unordineMdovrebbe M determinante7 contenentedi pttun a nonMàtassunomottttimminsiptichesmmndetmillonmmm mmm mmm mmmCnA Ci CitiCCa è 2 siCm meCiBCiBi 1Ca 2 dareamidi daiaAllora AXsoluzione è la mapleBla dei_oa

Teorema di sistema lineare

OAXsia neq.inun omogeneoL'imiene delle disoluzioni ès rottamaioincogniten unsistemaildi dimensione è1K A Se nonpn omogeneoAFTEè sottospazionon un

Proposizione

Le sistemadi AXAlinearesoluzioni compatibile conundelsoletutte tiposono e T t 7X oD disoluzione EDore è particolareXo iS RAX.BZ diè AX 0soluzione generica

Dimostrazione

èDImostro che tot 71 soluzioneAtA Bt B0Xo7 tAXO 01 fBONESOLA allora2 I AXSE è totDIMOSTRO CHE BBXDE AX OAXA oLa t'èMatrice laAdel B Bdi matriceda invertibileècambiamento base eatàdel Bdacambiamento di base B aOmontozione È) Ed AEAche AE E A'AE AE eSappiamo delMatrice di Blor da Bcambiamento aAIn _ÀAAUnE KX lae t em Xml tiXm dovetraV t Xi XEtae fg Èdeilo linconti vettoriscrivocome iltic en'e theVe dovetime'm n x'et feX'EVXE E EX dadi Bla BAE delmatriceE cambiamentoAdove fareè aEXAXE AEX alla ottienemodosettorePoiché si siconfinata