Riassunto Algebra Lineare e Geometria Analitica

Indice

• Capitolo 1. Pag. 3-5
• Capitolo 2. Pag. 6-7
• Capitolo 3. Pag. 8-9
• Capitolo 4. Pag. 10-11
• Capitolo 5. Pag. 12-13
• Capitolo 6. Pag. 14-15
• Capitolo 7. Pag. 16
• Capitolo 8 Pag. 17-18
• Capitolo 9 Pag. 19
• Capitolo 10 Pag. 20-21
• Capitolo 11 Pag. 22-23
• Capitolo 12 Pag. 24-25
• Capitolo 13 Pag. 26-27
• Capitolo 14 Pag. 28-29

Cenni di logica, insiemistica e funzioni

Matematico studia formalrheoquelseforeogicaogico . -sistem. ..a droposizionicostrurzeUt complesseConnetr logic pez proposizion. ..." "0.... mplico" "0". = S.." .S."Out.".t."!"e"e - S.vel."."0". requivalenté..allozo"Jate prop pppopapqPprq .".se....P ppptqsaPrero sop o a qP-se V -SoNoVEREpppq - L -- -- ----L -- L-- - - ---- --- - i - LPus utle dopendent da vaziablecons xesseze proposizion uno..dezare .par."plxixevn- numeros PIZI PIS -ERA ALSA.ficaze -" ognQvariabolela"ozremmo Universalex pezq q van t. .".-Esistenziale "' esiste":é alto esiste1.80" edstudente dplxl lo évriprù "s -." . .co".plx- xipy- -x Jotologicadvno peéveraseegazione pnorPprop : -ALSA. .p falsaedé péera' seMxpl PIXPRx. 'eGaz . X.xPly 'negaz x.

Insrem s. 2. 3.:Per Axaelencazione QEAA={1. f3 -appazterePez Aproprietór appartereprxr QEA-Ex: n on-}aGrafica 243Aoß Ase -a.f .}voto {=: dreementDe.vo . 0-seACB 'QEA. E3ALB implica BCAron Commutativo AmB. -BrAAssociatvoAnMaBAC-AnBD dempotenzaPAZIOI AnArambente AV 3..BCU :universo -A. IAUB YEBlu vuoto AnU h ro n e i:=EXEU:XEA . -.nsreme3. Jista BUCAAs . -An3VAnc.XEBntersezione AnB Assobramerto An AU1 b-EXEUIXEA : 3-A.}XEBJifferenza BA '=EXEV:XEA } UAcomplementare ?=UA.IxEV:XEA}Ad do o rambente AU BCUcartesia universo . .3-2 DQEA 1A : 30. ?AxBEU xAb x3.beB}. vero dke AxBCUxU A 0=xA-ALITA 'CARDI ADI EI SIEU trovanoelementi "chedi nell' >ilA A A' 2numero sie insieme =A- B BA -✗ =501101 SI -- AAB. ACA AA3C ≤o}2•1 .. SottoinsiemeSottoinsieme↳ improprioproprioSARTIsie JELLEE' 'l sottoinsiemideiinsieme 22=4> A ={dato A }A- 1-sinsieme a= , }PAP } { {{ 3 { }}A :3 A0a≤ aiinsieme= = , ,?OEPA }{Asi' 1,0- .= . .PIA }{? }{ {}AEPA {/ { {} }{}A }0i 1.si a •1 a 1•a .= , ,, , ,, ,,,{ }}{naturaliS i 2,3 21 0: inumeri : i ,---, ._ _o;, ,,{ }interi 2-2numeri -1 1-: - _,- ,- ,,, . .}{ È 6=10razionali a.benumeri :-7 realireali insieme numerinumeri : complessiE i insieme numeri- 7C cC -> dielemento stabilirezopzieta taleSe proprietà falsa5. 'ogniper e veraposso se o .}72=7×7 { 707=/ × e×i- = ,,.73--7×7×7=1 }?✗× c-X2. }. , }È 7? {?I 7 ✗ Xn× E× ✗ == . ,.2 .. . ._. .}{E- }is i , }E- { 8,93,6i. ,ZIOunzioni U =32 funzionedescrivere 3necessarieuna sono cose :partenzadiA insieme ;. diB2 arrivoinsieme. ., elementoelemento dicheleggeUna Bregole ad di Ad.3. associa unicoogniinsieme un ,fin : ::B :. .62A . .ICO- . .. .}t.fi/a,beAx3:b=faGrafico oSU ? VATIVA1=1 =/ felementi distintif. d. AA 33 elementoA del codominiose ogni:a distintielementi di di delalmeno elemento dominiol'13 immagineassociano unsi be faF flaz }EA :( a.) =Daea0-2a.- 0.2 - :a.: -==, " "" "- ,, " "" e,' , . 3=HIVAfFiAleozemo funzione fésiaBB cheletiva surietivase.A. - iffe -Fe .ZIETiIva = aQEA5.5. S. HE3 lRTBILE.g VaEAflaAcroe gi =1se .:3 f glb -=e l DEBlo"Iof funzioneversa'e . .y: .- .-3 CAGINE CO RO AGICA .. FiA =.3 }EQEAF flalty quakcke"-. : pez yefaamitef1. : B3{Frx "..flx =:":= xeli bDEB EBX :Flxi: szopzietábteuturs SRU AGURA :BRICAailgelozico Associatvai"' inseme munito Q lotete. duno oproperazionwn -aur4-a.bcexneut F' - QxOwx2o:=. OxEX =Q.C. QEXJefinizione staS algelozico Talgebzico - Qix rversouno :.o. .. QEX-QIEX .C. 4O=oxcommutativoédetoiIel Qttolovalgono ox gruppo.Se :-arloey. . =bots-lornazieJistarloutivs operazionvale abbeliano Sianolo teedetoanche.Se :gruppo .: .due. .. lxc =a. aubxacstabefrizione 4.odyo algelozico .Se asion 4touno .. e-a4b..abelanovn'e gruppoYo + :associativo 'e': n.rale dista detolo anello'éYot.0 .-outiva unitazioancheprodotor valeSe I anello. per .commutativoanelloancheprodotoSe valeil. pez .Jefirizione anellstod t egruppo A 30..oTitabelarseXYo un.. -deto'.C.

Introduzione ai sistemi lineari

Introduzione ai Sistemi LineariSSA A≥ ≥WA IO Iequazioni =e - = =Sistemi ' lineariincogniteledove dihanno nellegrado 1 = equazioniequazione ninsiemeunlineari cheincognite devono soddisfatteesserercontemporaneamentecoefficienti btantiQ -10.2×2-1Xan : =, . ., _ D=termine noto bb te ✗×a tank-1o omogenea: =- -2" -, ,,incognite bz0-22×2-1✗ :-/ +7nA×ai =' _ __• In+ 0-32×2-1✗ a ✗+a =n--- },} i, I. omogeneo=D> compatibilesistemaUn ammettediceefinizione soluzionisi se .> sistemi stesseJvcefinizione le soluzioniequivalenti hannosono se ./ /X -1×2=3 -1×2=3✗Esempio empio ×3-4 ×, , i- ,,.| , IZX I-12×2=61✗ i= -< ,Due tuevariabili solareali variabilicondizioni realidue insieme unaainsieme a, danno infinite soluzionicompatibili luogocondizionedanno luogo sola aea unauna,condizione . matricequadrata Jat chiamazasposta Aatroci 71C si aRE nxnvi.- , tabella formatareali dacoefficienti una :,righe colonne65 0 : nn :4II AIA- 32= -1}↳5 322 matrice4 6s 2×3elementoo3 postodi i. ùI. finzione due coefficientematrici coefficientecoincidonougualiA 13e sono persenxn e, , >bio 70305 A 0ciò +a Hj= kj0-isbzj-0-intfr-aizbs.it + d-Cij 70-2= - is- - -_ _:I 2 II 0 I 0 2Esempio -2- -- È71-5 43 -2i 2 I- S , Hitcij-h.IO in-70 matrici' proprietàdi associativaprodotto dellatra gode BCAABCposizione operazioni : =S rdimostrazione iu-n.ia.nlAB I quindibauli3C> :- ;no µ -, . «ir s : bhuABC' AB °< cui== ! - invoiuio ✓u te= ,r S s r, , Èbhu bhuIusd- cui d-!' =pin inne. ,i 5 ., % ABen BCd-cui ☐ = =È ;È in ioin µ ,.' proprietà commutativadelladi godeprodotto! operazione nonprodotto aldelle| ilfare delle colonne! righe corrispondepuò nonnumerosenon si numero :i 0 '' mentre_ definitoha 3AA}A 3 'empio non e:- s =.2 2 I-O i -1 I☐Sistema completaincompleta atroceatroceireare È bib. tan an? and- an✗ ✗-1 +a. ✗a.-1 = - - -n - - --2, ,, - -a ,~ È È62 d- 0-22 ✗+✗ d- 0-22+✗azz t ✗ ↳d-Az ↳-= 2- - -- --- 2, nzn2 - n 2, n,, : :: : :: gn gngn ×an, anµ anna+ +an× , . . .. , ., .. ,., . ,, , ,,, -formaA sinteticaI✗ ≥=matrice) Unafinzione scalaformadice ain@ sesi :trovanoeventuali nulle matriceallafondorighea si in ; elementotrova destra delelemento nullo diil nulla piùrigaogninon si anon primoprimoo precedentenullo della riganon .-4i -1 2 -4IiEsempio 22 i- - - scala53I 30O O 5ii non- a-scalaa' I 'O0 0 3 20 O l 50 0O0 0definizione matriceSia A scalaa :una dielemento nullanullapivot di A diSi ilchiama Aprimo' nonrigaogninon . pivotil ildi righediAchiama dinullerigheSi A deitra numero• numero suoirango 0non .,-42i ii- -Esempio i 3 pivot50 0 Adi- Aperciò =3rra i jsono -1i= , ,,'O 0 I300 0O 0 0Osservazione anchevaleN A Alperò rr nM- , -70 sistema incogniteA nelleSia b lineare scalaposizione un r ××a✗ = ., - .-, - ,sistemaIl soluzioniammette bMAMA0 = ,. sistema solaammette soluzioneA) ilbMAtiseo n una= = ;ammettesistema soluzioniil variabili liberedainfiniteMIA dipendonolo chevia / K Knse ne -== .,77A ≥aE -io i = =-scambio duedi righea ;b moltiplicazione di numeroperuna riga un ;sostituzione delladella moltiplicataladellae iriga i riga esimaesimaesima somma per uncon j- - -qualsiasirealenumero aA 6071 GAUSS31- ma di di ottenutail cancellandoelemento matricese nulla colonnalaconsidera laAP 1º' siogni riga e , puntodella )matrice dal deleesame si ricomincia principioin .Altrimenti il elemento nullolascambia di AF 1° 'se riga=D nonriga eunaa. si con in cui ., , tutte trannecontrollano le laSi dopo righealtrol' Funa . .elemento inalteratadi lascianulla quellailSe 1° 'e si rigarigauna .elemento uguale la dellalasostituisceSe diil 11° ' isi sommarigaeriga 0 esima=/auna con> -, ,moltiplicatadella ÈFesimariga ei perriga- ._tuttipuntoA eventualmente nulliquesto elementi ildella trannegli colonna1ª P sono .,, lamatricedunque colonnache ottieneSi laconsidera la cancellando FF siesi ricominciaeriga .Sistema soluzionihanon ;Sistema ha soluzionesola2 una ;sistema ha infinite soluzioni3

Spazi vettoriali

Spazi Vettorialintrodvzione 37 7S SiJ7A) i 77 ≥>≥> dominio codominiodominio codominio ✗✗ :•: abb abba. -1aa-ib-b-a-a.be 7commutativa commutativa al? bebaa a.->:a : =associativa associativaa-ib-C-a-b-c-qb.cc 7b7 bc b.Aba CEaC -:> : = ,neutro neutro? 7el lael 0 E al0-+0=0-1c -aa : a- E: '- ae = ==. .. distributivo allal' dd rispettoopposto alallo-1 =D- aca +somma >a -1C: :- =definizione univocamente punto sullareale rettaOgni soloindividuanumero e ununoy}{È ?x.yx.ge= 72ÒX Ècoppie Somma3i. :3- :ordinate.a - | (/'x.gl i. '✗X + '× +'y' yiy✗y y ×=rette ,, ,,ortogonali 72È' >rodato ✗• :: i. hx.lyi ×✗ iy y =,:definizionetegola tegoladel vettoredue applicati applicato> puntovettoridiparallelogrammade ' 'Usomma v ea e ununinaventestesso diagonalenello dellapunto lunghezza deldirezioneparallelogramma ey uscenteparallelogramma lati dalaverti dipuntoli ii. e versoper eapplicazione>✓ Jefev' ottienereale+ vettorevettore/ cardotip/ Èzione dnumeroperun un sio un,> moltiplicataavente direzione assolutodila valorelunghezza ilU dirt &per, del didiscorde dida quello ÙConcorde seconda verso dverso o ae\ ,70Pa eta 72Commutativa ' ' ''X ×I.' + iy+ y ' E4✗ ×-×y ✗y y:y = ,,, ,, , ÈAssociativa V.' "-1 "Zii X2. " iy' "Y Y× + y E+'y ×✗× ✗+y: ={ , , . .,, ,(neutro ) 72el )3 X0,0-1 0,0 +- -×× y yy: E== . .. .,,. ,U oppost