Reti lineari e sinusoidali

4.2.1 Soluzione delle reti elettriche lineari

4.2.1.1 Definiz. di bipolo lineare del primo ordine

Un bipolo si dice lineare del primo ordine se la sua funzione caratteristica può essere espressa come

K₁(t) dV/dt + K₂(t) di/dt + K₃(t) V + K₄(t) i + K₅(t) = 0

dove V(t) e i(t) sono la tens. e la corr. del bipolo e K₁(t) ... K₅(t) sono funzioni assegnate del tempo

Ovviamente un bipolo lineare di ordine zero (cioè resistivo) è un caso particolare di bipolo lineare del primo ordine

4.2.1.2 Induttori e capacitori ideali

Un induttore ideale è un bipolo lineare del primo ordine ed è la cui funzione caratteristica è data da

V(t) = ±L(t) di/dt (1)

dove, in analogia con il resistore ideale, si pone il segno + se è stata fatta la conv. dell'utilizzatore e il segno - se è stata fatta la conv. del gener.

La funzione L(t) prende il nome

4.2.1 Soluzione delle reti elettriche lineari

4.2.1.1 Definiz. di bipolo lineare del primo ordine

Un bipolo si dice lineare del primo ordine se la sua funzione caratteristica può essere espressa come

K₁(t) dV/dt + K₂(t) di/dt + K₃(t) V + K₄(t) i + K₅(t) = 0

dove V(t) e i(t) sono la tens. e la corr. del bipolo e K₁(t)...K₅(t) sono funzioni assegnate del tempo

Ovviamente un bipolo lineare di ordine zero (cioè resistivo) è un caso particolare di bipolo lineare del primo ordine

4.2.1.2 Induttori e capacitori ideali

Un induttore ideale è un bipolo lineare del primo ordine ed è la cui funzione caratteristica è data da

V(t) = ± L(t) di/dt (1)

dove, in analogia con il resistore ideale, si pone il segno + se è stata fatta a sul bipolo la convenz. dell'utilizzatore e il segno − se è stata fatta la convenz. del generat

La funzione L(t) prende il nome

rispettivamente per le radici reali e per le radici complesse coniugate dell'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale. Infatti le (7) implicano che tutti gli esponenziali sono decrescenti.

Le (7) consentono anche d'introdurre le costanti di tempo del sistema, ponendo

(8) τ_i = -1/λ_i ovvero τ_i = -1/Re[λ_i]

In questo modo è possibile dare un significato "ingegneristico" al limite per t→∞. Si può "infatti" affermare che si ha

x(t) ≃ x_P(t) per t >> max {τ_i}

In altre parole dopo un tempo sufficientemente più lungo della più lunga delle costanti di tempo del sistema, la soluzione è praticamente coincidente con l'integrale particolare x_P(t).

Per questo motivo, se sono verificate le "ipotesi" del fenomeno, il primo termine della (4) prende il nome di termine transitorio ed il secondo termine della (4) prende il nome di termine a regime.

Occorre anche osservare che le costanti di tempo, essendo legate all'integrale generale dell'omogenea associata, non dipendono dai valori della generatrice. Infatti quest'ultima sono i termini noti, detti anche termini forzanti, del sistema.

Il fenomeno verrà bidimensionale invece

Teorema di fisica realizzabilità

Questo teorema è fondamentale perché conduce al concetto di rete "a regime".

Definizione preliminare

Un resistore/induttore/capacitore si dice "fisicamente realizzabile" se la sua resistenza/induttanza/capacità è positiva.

Ipotesi del teorema

Tutti i resistori, induttori, capacitori di una rete lineare sono fisicamente realizzabili.

Tesi

Con riferimento alle soluzioni della rete espresse dalle (4) si ha:

lim_t→∞ X(t) = X_P(t) (5)

Commenti

La (5) discende dal fatto che, nelle (4) si ha:

lim_t→∞ Σ_i=1^N k_i e^λ_it = 0 (6)

La (6) alla luce del fatto che le costanti k_i sono arbitrario, implica che, qualunque sia i si ha:

λ_i < 0 ovvero Re[λ_i] < 0 (7)

di tale equazione può al più aggiungere

il numero complessivo di induttori e capacitori della rete.

Le quantità K_i che appaiono nelle (4) sono le costanti arbitrarie di integrazione, in un numero pari all'ordine N dell'equaz. diff.le.

Le quantità λ_i sono invece le soluzioni dell'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale. Per semplicità non è inteso qui considerato le possibilità di radici multiple di tale equazione.

Teorema di fisica realizzabilità

questo teorema è fondamentale perché conduceal c