Raccolta dimostrazioni per l'esame di Metodi matematici

Name: Raccolta dimostrazioni per l'esame di Metodi matematici
Rating: 3.0 (2 reviews)
Author: Robyan2

Revisionato il 28/07/2026

di Robyan2

Publisher

Vota 3,0/5 (2)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Raccolta delle dimostrazioni richieste per l'esame di Metodi matematici per l'ingegneria, le dimostrazioni sono quelle viste a lezione.In aggiunta è presente una piccola raccolta di …

Esame Fisica matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Morro Angelo

Università Università degli studi di Genova

A.A. 2022-2023

97 pagine

2 download

Appunti esame

Scarica

Estratto del documento

Metodi matematici

AA: 2022-2023 Angelo Morro

Funzioni di più variabili

x ∈ ℝ^m

x = (x₁, x₂, ..., x_m) "variabili"

f(x) = f(x₁, x₂, ..., x_m)

es.

x = x, y, z

f(x) = f(x, y, z)

Intorno

definiamo l'intorno di raggio δ di ĥ nel seguente modo:

|x - ĥ| < δ

Es. 1 variabile
Es. 2 variabili
Es. 3 variabili

avrò una sfera

Limite

f: ℝ^m → ℝ

f(x) → l, allora lim_{x → ĥ} f(x) = l è definito come:

∀ ε ∃ δ. |x - ĥ| < δ → |f(x) - l| < ε

Metodi matematici

AA: 2022-2023

Funzioni di più variabili

x ∈ R^m

x = (x₁, x₂, ..., x_m)

"variabili"

f(x) = f(x₁, x₂, ..., x_m)

es.

x = x, y, z

f(x) = f(x, y, z)

Intorno

definiamo l'intorno di raggio δ di _x nel seguente modo:

|x - _x| < δ

Es. 1 variabile
Es. 2 variabili
Es. 3 variabili

avrà una sfera

Limite

f : R^m → R

f(x) → eL

allora lim_{x→_x} f(x) = eL è definito come:

∀ ε ∃ δ s.t. |x - _x| < δ ⇒ |f(x) - eL| < ε

Continuità

Enunciato:

Una funzione è continua in x̂ se:

∀ε ∃δ : |x - x̂| < δ ⟶ |f(x) - f(x̂)| < ε

Derivate parziali

f: ℝ^m → ℝ

supponiamo di muoverci lungo una sola direzione mantenendo le altre fissate/costanti:

x = x̂ + h e_i

∂_xi f(x̂) = lim_h→0 (f(x̂ + h e_i) - f(x̂))/h

esempio:

f = 5x + 6y²

∂_x f = 5

∂_y f = 12y

f = 2xy²

∂_x f = 2y²

∂_y f = 4xy

Differenziabilità

Definizione

Una funzione è differenziabile in x̂ se esistono tutte le derivate parziali in x̂

Si suppone quindi che 3 dei coefficienti m per i quali il numeratore tenda a 0 per x → ξ più velocemente del numeratore.

Supponiamo quindi di muoverci lungo la direzione k-esima, per cui

x = ξ + t e_k , x_i - ξ_i = t δ_i_k , allora la sommatoria:

∑_i=1^m m_i (x_i-ξ_i) = m_kt , tornando alla definizione

(f(x) - f(ξ) - m_kt) / t → 0 per t → 0 , per cui,

(f(x)-f(ξ)) / t → m_k t per t → 0 , quindi m_k corrisponde dalla definizione di derivata parziale, m_k = ∂_{x_k} f(ξ) , per cui m_i := ∂_{x_i} f(ξ) (da qui l'ipotesi)

Quando una funzione è differenziabile

Tesi: Una funzione è differenziabile se:

Tutte le derivate parziali esistono e Ipotesi
Sono continue in un intorno di ξ̂

Dimostrazione:

Quando abbiamo definito la differenziabilità abbiamo visto che m_i := ∂_{x_i} f(ξ) , questo vale ∀ i, quindi tutte le ∂_{x_i} f(ξ) devono esistere.
Se le derivate parziali sono continue in ξ̂ , allora:

∀ ε ∃ δ: |x-ξ̂|_δ ⇒ |f(x)-f(ξ)|_ε

possiamo quindi applicare il teorema del valor medio:

f(x) − f(̂) = f(x₁, x₂, …, xₘ) − f(x₁ᵡ̂, …, xₘ̂) =

= f(x₁, …, xₘ) − f(x₁, x₂, …, xₘ̂) + f(x₁ᵡ̂, …, xₘ̂)… + f(x₁, xⱼ̂, …, xₙ̂) − f(x₁̂, …, xₙ)

Teorema del valor medio

f(x) − f(̂) = f'(ξ)(x − ̂)

ξ ∈ (x , ̂) Ipotesi F continua in (x , ̂) F derivabile in (x , ̂)

= f(x₁, x₂, …, ξₘ)(̂ₘ − ₘ̂) + f(x₁, …, ξₘ̂)(̂ₘₖ - ₘ)+ … + f(ξ₁, …, ₐ)(̂ₙ̂ − ̂)

Possiamo utilizzare la derivata calcolata "direttamente" in ̂ aggiunge modo uno "scarto" (lemene) U; per ogni coppia, definito cosí:

∂_{x_i} (f(ξ₁, ̂₂, … , ̂ₘ) - ∂_x₁ f(̂) = ν) → 0 per x in generale

∂_{x_i} (f(̂) - ∂_x₁ f(̂) = ν) → 0 per x → ̂

abbiamo individuato un modo alternativo di vedere la differenziabilità

f(x) − f(̂) = Σ_i=1^m (∂_{x_i} f(̂)(x_i − ̂_i)

= Σ_i=1ⁱ (∂

Anteprima

Vedrai una selezione di 20 pagine su 97