Quantità di moto ed energia cinetica esercizi per esame di Meccanica razionale

GRANDEZZE CINETICHE

Momento della quantità di moto rispetto ad un polo A qualunque

• Sistema discreto:
• K_A = Σ (P_i-A) x m_i v_i
• Sistema continuo B
• K_A = ∫_B (P-A) x ρ v dp
• Come varia K_A se cambio polo:
• K_B = K_A + (A-B) x Q
• Teorema di König
• K_o = (G-O) x Q + K_rel
• Momento della quantità di moto nel rif. baricentrale
• Momento della quantità di moto per un atto di moto rotatorio
• K_o = I_oω̅
• Momento della quantità di moto per un atto di moto rigido
• K_o = (G-O) x Q + I_Gω̅

Energia Cinetica

• Sistema discreto:
• S = {P_i; m_i}_i=1ⁿ
• T = ½ Σ_i=1ⁿ m_i |v_i|²
• Corpo Continuo
• T = ½ ∫_B ρ |v|² dp
• Teorema di König
• T = ½ m V_G² + T_rel
• T_rel = ½ I_G ω²
• Per un atto di moto rotatorio
• T = ½ ω̅ · I_o ω̅
• Per un atto di moto rigido
• T = ½ m v_oG² + ½ I_o ω̅² + m v_G · ω̅ x (G-O)
• Se O = G :
• T = ½ m v_oG² + ½ I_G ω²

GRANDEZZE CINETICHE

Momento della quantità di moto rispetto ad un polo A qualunque.

• Sistema discreto:

  K_A = ∑_i=1ⁿ (P_i-A) × m_iv̅_i

• Sistema continuo B

  K_A = ∫_B (P-A) × ρ v̅ dp̅

Come varia K_A se cambio polo :

K_B = K_A + (A-B) × Q̅

Teorema di König

K_O = (G-O) × Q + K_rel

Momento della quantità di moto per un atto di moto rotatorio

K_O = I_Oω̅

Momento della quantità di moto per un atto di moto rigido

K_O = (G-O) × Q̅ + I_Gω̅

Energia Cinetica

• Sistema discreto

  S = {P_i; m_i; v_i}_i=1,..n

  T = ½ ∑_i=1ⁿ m_i |v̅_i|²

• Corpo Continuo

  T = ½ ∫_B ρ |v̅|² dp

Teorema di König

T = ½ m v̅_G² + T^rel

• Per un atto di moto rotatorio

  T = ½ ω̅ · I_Oω̅

• Per un atto di moto rigido

  T = ½ m v̅_O² + ½ I_Oω̅² + m v_G·ω̅×(G-O)

Se O = G:

T = ½ m v̅_O² + ½ I_Gω̅²

Esercizio 10

• Determinare K₀

Dato che il sistema è posto in rotazione uniforme, si ha che:

K₀ = I₀ ω

I₀ = I_0C + I_0B + I_0A

Ricordando che il momento d’inerzia per un’asta di lunghezza L passante per un estremo è:

I = 1/3 m L²

Ho che:

I_0C = ^mL2/₃

• [1 0 0]
• [0 0 0]
• [0 0 0]

I_0B = ^mL2/₃

• [1 0 0]
• [0 0 0]
• [0 0 0]

I_0A = ^mL2/₃

• [0 0 0]
• [0 0 1]
• [0 0 0]

I₀ =

• [2/3 mL² 0 0]
• [0 2/3 mL² 0]
• [0 0 2/3 mL² ]

K₀ = 2/3 mL² θ̇^→k̂

2) Determino T:

so che per un atto di moto rotatorio:

I = ¹/₂ mL² θ² K = ¹/₃ mL² θ² ẋ²

T = T_oa + T_oc + T_ob

Esercizio 2

2 lamine rettangolari omogenee:

• OABC, ODEF = m
• OA = OC = a
• AB = DE = b

Suppongo che il sistema sia posto in rotazione uniforme attorno all'asse OA

T = ?

K₀ = ?

1) Calcolo K₀:

Siccome l'atto di moto è rotatorio ho che:

K₀ = I₀ ⋅ ω̲̅

I₀ = I_OABC + I_ODEF

I_OABC:

I_z = I_y + I_x = ^m/₃ (a² + b²)

I_x = ∫∫_0,b ∫_0,a x² dx dz = ^m/_b ∫^b₀ ∫^a₀ x² dx dz = ^mb2/₃

I_y = ^ma2/₃

I_DEF:

I_z = I_y + I_x = ^m/₃ (a² + b²)

I_y = ∫∫_0,c ∫_0,a x² dx dy = ^m/_a ∫^c₀ ∫^a₀ x² dx dy = ^ma2/₃

I_x4 = −∫^b₀ ∫^c₀ x x = −^m/_a ∫^b2/2₀ ∫ x = −^mab/₄

ω̅ I₀ =

^-1| m(a²+b²) -mab/4 -mab/4 |³|³|| m(a²+b²) -mab/4 -mab/4 | ⁰| ------ ------- ------ | | ω| m(a²+b²) -mab/4 -mab/4 | ⁰| m(a²+b²) -mab/4 -mab/4 | ⁰

| _-mab/4 m(a²+b²) _m(a²+b²)| ⁰| _-mab/4 m(a²+b²) _m(a²+b²)| ⁰| _-mab/4 m(a²+b²) _m(a²+b²)| ⁰

= m(a²+b²) + mσ² ) ³

(2) Calcolo T:¹T = ¹ I₀ω² = ¹ I_{2 2 2}

T = T_OABC + T_OEFOT_OEFO T_OEFO ω² = T_OABC ω² + T_OEFO T_OEFO + T_OEFO

ω̅: T_OABC = | mb²/3 0 0 | | 0 m(a²+b²) 0 | | 0 0 mb²/3 | | 0 0 mb²/3 |

= (0, m(a²+b²)ω, 0)

ω̅: T_OEFO = | mb²/3 -mab/4 0 | | -mab/4 ma²/3 0 | | 0 0 m(a²+b²) | | 0 0 m(a²+b²) |

= (-mab/4 ω̅, ma²/3 ω̅, 0)

T_OABC = | m(a²+b²) ω̅² ² | ₃

T_OEFO = ¹| m (-mab/4 ω̅², ma²/3 ω̅², 0)₂

Esercizio 3

Direzione di r:

z = (0, cos Π/4, sin Π/4)

z = (0, √2/2, √2/2)

|r| = 1

lamina triangolare omogenea AOB -> m

OA = OB = L

rotazione uniforme vettore angolare ω attorno ad una retta r che forma un angolo di Π/4 con y+

I_r = ?

K₀ = ?

r è proporzionale alla direzione della retta

ω = ω √2/2 (0, 1, 1)

1) Calcolo K₀:

Dato che il sistema compie una rotazione uniforme ho che:

K₀ = I₀·ω

I_OAB = I₀

I₀ = I² + I^x

Determino la retta passante per i punti B e A

A (0, 0, L)

B (L, 0, 0)

T: {x, x, z}∈R, 0≤z<L, 0<x<L-z

z-L/0-L = x-o/L-o

x-z/L-2 > -2+L = x

I^x = 2m/L² ∫₀^L ∫₀ z² dzdx

= 2m/L² ∫₀^L z² (L-z) dzdx

= 2m/L² ∫₀^L z² L - z³ dx dz

= 2m/L² [L³/3 - L⁴/4]

= 2m/L² [L³/3 - L⁴/4] = xm/L² L⁴/12⁶ = mL²/6

I_z = 2m/L² ∫₀^L2 x² dx d/l

= 2m/L² ∫₀^L2 (L-z)³ α dx/3

= ^2m⁄_L² ∫ ^{L3 - 3L2z + 3Lz2 - z3}⁄₃ dz

= ^2m⁄_L² [^L3⁄₃ - ^L2z2⁄₂ + ^Lz3⁄₃ - ^z4⁄₁₂] |₀⁴

= ^mL2⁄₆

I_u' = ^mL2⁄₃

Ix'_1' = I_1'u'2' = 0

Ix_1'2' = - ∫ ∫ ρ (L - z)x z dx dz

= - ^2m⁄_L² ∫ |₀^{L(L - z)2}⁄₂

= - ^2m⁄_L² [ ^z⁄₂ ( ^{(L - z)2}⁄₂ + ^z2⁄₂ - ^Lz⁄₂) |₀^L

= - ^2m⁄_L² [^L2⁄₂(^L2⁄₂ + ^2L⁄₃ - Lz²) ]

= - ^2m⁄_L²[^L4⁄₄ + ^L3⁄₈ - ^L4⁄₃]

= - ^2m⁄_L²[^{(6 + 3 - 8) L4}⁄₂₄]

= - 2m⁄L2L4⁄24 = - mL2⁄12

Io:w̅ = ^mL2⁄₆0- ^mL2⁄₁₂0^mL2⁄₃0- ^mL2⁄₁₂0^mL2⁄₆

(01wωL²

k̅₀ = mL²·ω√2

2) Energia cinetica

T = 1/2 I₀ω²

T = 1/2 mL² ( 1/12 1/3 1/6 ) ω√2 ( 0, √2ω/2, √2ω/2 )

= 1/2 mL² ω² ( 1/6 0 -1/12 0 1/3 0 -1/12 0 1/6 ) + 1/2 mL² ( 0 ω 1 ) + 1/2 ( 0 ω 1 )

= 1/12 mL² ω² + 1/2 mL² ω² = 1/8 mL² ω²

3) Momento assiale della quantità di moto kr rispetto all'asse r

k̅r = k̅₀·r̅

k̅r = ω√2/2 mL² ( -1/12 1/3 1/6 ) ( 0, √2/2, √2/2 )

= mL² ω √2/2 1/6 √2/2 + ωmL² √2/2 6 · √2/2

= mL² ω 1/6 + ωmL² 1/2

= 3/12 mL² ω = 1/4 mL² ω

Esercizio 3

Lamina quadrata omogenea OABC → m, LAsta omogenea AD → m, L/2K₀ = 2Il sistema è in rotazione uniforme

_ω = (ω, 0, 0)

Calcolo _k0:

_k0 = I_{o ω}

I_o = I_OABC + I_DA

1. I_OABC:

I_x = I_y + I_zI_y = m/^L2 ∫₀^L ∫₀^L zdzdy = mL²/3I_z = I_y = mL²/3I_x = 2mL²/3

I_xz = I_xy = 0I_zy = -m/L² ∫₀^L ∫₀^L x y = -m/L² ∫₀^L L/2 y = -m/L² (L/2)²/2 = -mL²/4

2. I_DA

guardando l'asta in questo modo sa che essa forma due angoli di β con gli assi.

I_z = I_x + I_y = 3mL²/3I_x = 1/3 m (32)L²sinα = 1/3 m × 1/2 L² = mL²/3I_y = I_x = mL²/3I_xz = I_yz = 0

S → distanza tra A e P