Probabilità e statistica matematica - parte 2

Covarianza

Def X, Y v.a. con μ_X = E[X] e μ_Y = E[Y], si chiama covarianza di X, Y E[(X - μ_X)(Y - μ_Y)]

Se X e Y discrete con densità congiunta f_XY

Cov[X, Y] = Σ_x,y (x_i - μ_X)(y_i - μ_Y) f_(xi,yi)

Oss Se X = Y Cov[X, X] = E[(x - μ_X)²] = V[X]

Se Y = c costante E[Y] = c → y - μ_Y = 0 Cov[X, c] = 0

Proprietà

a, b ∈ &Reals; Cov[aX+b, Y] = a Cov[X, Y]

Verifica E[aX + b] = a E[aX_i] + b a X + b E[aX_i] = aX-a E[aX_i]

Cov[aX, bY] = E[(aX - b E[aX + b])(y - E[Y])] = E[(a(X - E[X]))(Y - E[Y])] = a E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = a Cov[X, Y]

Oss Cov[X,Y] = Cov[Y,X]

Cov[X, cY+d] = c Cov[X,Y] ∀c,d∈&Reals;

Def Due v.a. X, Y sono positivamente correlate se Cov[X,Y]>0

Negativamente correlate se Cov[X,Y]<0

Non correlate (scorrelate) se Cov[X,Y]=0

Esempio

Ex X₁, X₂ v.a. X₁ = Ber(p) X₂ = Ber(p) X₁ || X₂

Y = X₁+X₂

Cov[X₁, Y] = Cov[X₁, X₁ + X₂] = Cov[X₁, X₁] + Cov[X₁, X₂] = √[V[X₁] + Cov[X₁, X₂]]

Covarianza

Def X, Y v.a. con μ_X = E[X] e μ_Y = E[Y], si chiama covarianza di X e Y

Cov[X, Y] = E[(X - μ_X)(Y - μ_Y)]

Caso X e Y discrete con densità congiunta f_x,y

Cov[X, Y] = Σ_x,y (x_i - μ_X)(y_j - μ_Y) f_X,Y(x_i, y_j)

Oss Se X = Y Cov[X, X] = E[(X - μ_X)²] = V[X]

Se Y = c costante E[Y] = c → Y - μ_Y = 0 Cov[X, c] = 0

Proprietà

a, b ∈ R Cov[aX + b, Y] = a Cov[X, Y]

Verifica E[aX + b] = a E[AX] + b, a X + b = E[aX + b], aX + b - aE[AX] = a(X - E[X])

Cov[aX + b, Y] = E[(aX + b - E[aX + b])(Y - E[Y])] = E[a(X - E[X])(Y - E[Y])] = a E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = a Cov[X, Y]

Oss Cov[X, Y] = Cov[Y, X]

Cov[X, cY + d] = c Cov[X, Y] ∀ c, d ∈ R

Def Due v.a. X, Y sono positivamente correlate se Cov[X, Y] > 0

Negativamente correlate se Cov[X, Y] Non correlate (scorrelate) se Cov[X, Y] = 0

Esempio

Ex X₁, X₂ v.a. X₁, X₂ ∼ Bern(p), X_n ∼ Bern(p), X₁ ║ X₂

P{X₁ = i, X₂ = j} = P{X₁ = i} P{X₂ = j}

Y = X₁ + X₂

Cov[X₁, Y] = Cov[X₁, X₁ + X₂] = Cov[X₁, X₁] + Cov[X₁, X₂] == √[V[X₁] + Cov[X₁, X₂]

Cov[X₁, X₂] = ∑_{x₁ ∈ {1;2}} ∑_{x₂ ∈ {0;1}} (x₁ - p)(x₂ - p)P{X₁ = x₁}P{X₁+X₂ = 2} == p²(1-p)² - 2p²(1-p)² + p²(1-p)² = 0

Cov[X, Y] = V[X] = p(1-p) > 0

Proprietà

Cov[X, Y] = E[XY] - E[X] E[Y]

|Cov[X, Y]|² ≤ V[X] V[Y]

Coefficiente di correlazione

Sia X, Y v.a. con σ = √V[X], V[Y] < +∞, si chiama coefficiente di correlazione di X, Y

ρ(X, Y) = Cov[X, Y] / √V[X] V[Y]

Limiti essere un numero -1 ≤ ρ(X, Y) ≤ 1

rimol cosθ, se cosθ ≥ 0 | | cosθ

Vettori orientati nello stesso quadrante

Variabili aleatorie indipendenti

Sia X e Y v.a. sono indipendenti se

P{a ≤ X ≤ b, a’ ≤ Y ≤ b’} = P{a ≤ X ≤ b} ⋅ P{a’ ≤ Y ≤ b’}

Cioè se tutti gli eventi tipo {a₁ ≤ X ≤ b₁} {a₂ ≤ Y ≤ b₂} determinati da X e Y sono indipendenti

Se X, Y sono v.a. discrete con valori x₁, ..., x₂, e Y y₁, ..., yₙ,

X e Y sono indipendenti se e solo se

P{X = xᵢ; Y = yⱼ} = P{X = xᵢ} ⋅ P{Y = yⱼ} ∀ xᵢ, yⱼ

Cioè X e Y sono indipendenti se e solo se

f_XY(xᵢ; yⱼ) = f_X(xᵢ) ⋅ f_Y(yⱼ) ∀ xᵢ; yⱼ

P{a ≤ X ≤ b, a’ ≤ Y ≤ b’} = ∑_{a ≤ xᵢ ≤ b} ∑_{a’ ≤ yⱼ ≤ b’} f_XY(xᵢ, yⱼ)

Se X e Y v.a. indipendenti con E[X] e E[Y] definite E[XY] = E[X]E[Y] cioè,

Cov[X,Y] = E[XY] - E[X] E[Y] = 0

Verifica E[XY] = ∑_i,j x_iy_jP[X=x_i, Y=y_j] = ∑_i x_iP[X=x