Probabilità e statistica matematica - parte 1

Fattoriale

Fattoriale n! = 1⋅2⋅...⋅n n≥1 0! = 1

n! rappresenta il numero di modi di ordinare n oggetti distinti: (permutazioni)

Ex. ordinare casualmente le lettere M, I, L, A, N, O

P(MILANO) = 1 / 6! e C è l'insieme degli ordinamenti possibili (6!)

P(5 MILANO) = 1 / 6!

C, C, E, L, O |21 = 5! P({LECCO}) = 2! / 5!

Standardizzazione

Standardizzazione |σ| = 1 = 7! P(… ) = 3!⋅2!⋅2!⋅3!⋅2! / 7!

Disposizioni

Disposizioni

Disposizione semplici - raggruppamenti k che si distinguono per elementi e ordine

D_n^k = n^k disposizioni con ripetizioni

D_n^m = n! / (n-m)! disposizioni senza ripetizioni

Coefficiente binomiale

Coefficiente binomiale

ⁿC_k = n! / k!(n-k)! combinazioni semplici

ⁿC_k = (n+k-1)! / k! (n-1)! combinazioni con ripetizioni 0 ≤ k ≤ n k, n ∈ N

Rappresenta il numero di possibili sottoinsiemi di k elementi che si possono formare prendendoli da un insieme di n

Ex. quante mani di 5 carte posso avere prendendole da un mazzo dato?

⁴⁰C₅ = 40! / 5!(40-5)!

Ex. trovo 5 carte da un mazzo di 40 (o viceversa) prob. di ottenere 5 picche?

|52| = (⁵⁰C₅) elementi: L'evento "5 carte di picche" si recensisce con (¹⁹C₅) matrici. (P(evento) = (¹⁹C₅) / (⁵²C₅))

Fattoriale

Fattoriale n! = 1 2 ... n n ≥ 1 0! = 1

n! rappresenta il numero di modi di ordinare n oggetti distinti (permutazioni)

Ex. ordinare casualmente le lettere A, I, O, M, L, N

|P(MILANO)| = ?

|∑ è l'insieme degli ordinamenti possibili (6!)

|P(3_MILANO)| = ⁶/₁

C, C, E, L, O |∑≠| = 5! P(∑|Lecco∑) = ^2!/_5!

Standardizzazione

Standardizzazione

|∑1 = 1| = 1

P(∑...) = ^{3! 2! 2! 2! 3! 2!}/_1!

Disposizioni

Disposizioni

Disposizioni semplici - raggruppamenti k che si distinguono per elementi e ordine

Dⁿ_k = n^k disposizioni con ripetizioni

Dⁿ_m = ^n!/_(n-k)! disposizioni senza ripetizioni

Coefficiente binomiale

Coefficiente binomiale

ⁿC_k = ^n!/_k!(n-k)! combinazioni semplici

CⁿC_k = ^(n+k-1)!/_k!(n-1)! combinazioni con ripetizioni

0 ≤ k ≤ n k, n ∈ N

Rappresenta il numero di possibili sottoinsiemi di k elementi che si possono formare prendendoli da un insieme di n

Ex. quante mani di 5 carte posso avere prendendo da un mazzo dato?

⁽⁴⁰⁾C₅ = ^40!/_5!(40-5)!

Ex. ho 5 carte da un mazzo di 40 (∑ vecchioornamento) probabilità di ottenere 5 picche?

|∑1 = (⁴⁰C₅) elementi. L'evento "5 carte di picche" si riserva con (¹³C₅) numero di volte. P(evento) = (¹³C₅)/(⁵²C₅)

Esempi di probabilità

Ex. _{sn s} = { (x, y) ∈ ℝ² | x² + y² < 25 } "ipocentro" A cerchio più piccolo P(A) = area(A) / area(_s2) = π / 25π = 1 / 100

Ex. Due amici si danno appuntamento al B&803 tra le 12:00 e le 13:00, il primo dopo 10 minuti dell'arrivo se ne va. Qual è la probabilità che si incontrano? Alle 13:00 se ne vanno.

x: orario del 1^o, 12 ≤ x ≤ 13

y: orario del 2^o, 12 ≤ y ≤ 13

s₂ = [12, 13] x [12, 13]

Si incontrano se min{x, y} + 1/6 ≥ max{x, y}

Risposta: area evidenziata

Probabilità e quote

Probabilità & Quote

Scommessa: un giocatore paga €e e se vince vince 9*€ (quote). Supponiamo che la probabilità dell'evento sia P.

“Il giocatore perde €e con probabilità 1-P e guadagna (q-1)€ con probabilità P. La scommessa è equa se

(q-1)·P = 1·(1-P)

Guadagno medio = perdita media

→ q·P = 1-P

q = 1/P

Esempi

• A, B eventi: è sempre vero che P(A ∪ B) ≥ max { P(A), P(B) } ? √
• A, B eventi: P(A ∩ B) = 1/3 , P(B | A) = 2/3 e P(A) = 1/2 è vero che P(A ∩ B_c) = 1/6 ? è vero che P(B) = 2/3 ? √

Formula della probabilità totale

Formula della probabilità totale

H₁, ..., H_n eventi disgiunti: (H_i ∩ H_j = ∅ ∀ i ≠ j) con P(H_i) > 0 ∀i, ∪ⁿ_i=1 H_i = Ω

Per ogni evento A P(A) = P(A|H₁)P(H₁) + ... + P(A|H_n)P(H_n)

A ∩ H₁, ..., A ∩ H_n sono disgiunti, per l'additività di P:

P(A) = P(A ∩ H₁) + ... + P(A ∩ H_n)

⇒ P(A) = P(A|H₁)P(H₁) + ... +