Probabilità condizionata

Probabilità condizionata

L'importanza delle probabilità condizionate è duplice:

1. Permette di calcolare la probabilità di un evento quando si è in possesso di informazioni parziali sull'esito dell'esperimento oppure il verificarsi o meno di certi eventi; modifica la probabilità di un dato sottoevento (accade spesso di voler ricalcolare la probabilità una volta ottenute nuove informazioni).
2. A volte il modo più semplice di determinare la probabilità di un evento complesso consiste nel condizionarlo...

Probabilità condizionata

L'importanza delle probabilità condizionata è duplice:

1. Permette di calcolare la probabilità di un evento quando si è in possesso di informazioni parziali sull'esito dell'esperimento oppure il verificarsi o meno di certi eventi. Modifica la probabilità di un dato altro evento (accade spesso di voler ricalcolare la probabilità una volta ottenute nuove informazioni).
2. A volte il modo più semplice di determinare la probabilità di un evento complesso consiste nel condizionarlo.

Realizzarsi o meno di un evento accessorio. (Formula delle probabilità totale)

Esempio: lancio di due dadi

Ω = {(w_i, w_j), w_i = 1,2,...6; w_j = 1..6}

Dove w_i denota il risultato ottenuto del lancio del primo dado e w_j l'esito del secondo dado.

|Ω| = 36, Denotiamo E_ij := (w_i, w_j)

P(E_ij) = ¹/₃₆ ∀i, j = 1...6

Supponiamo che dal lancio del primo dado sia risultato un 3. Qual è la probabilità che la somma dei due dadi valga 8?

E = { la somma dei due dadi è 8 }

F = { il lancio del primo dado dà 3 }

I risultati possibili per l'esperimento sono 6:

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

La probabilità (condizionata) di ciascuno degli esiti possibili è ¹/₆. Quindi la probabilità cercata è ¹/₆.

La probabilità che abbiamo appena calcolato si dice probabilità condizionata di E dato F e si denota con P(E|F).

Definizione

Sia (Ω, Σ, P) spazio di probabilità.

Siano A, B ∈ Σ t.c. P(B) > 0. Si definisce probabilità condizionata di A dato B la quantità:

P(A|B) = ^{P(A ∩ B)}/_P(B) (1)

Se si è verificato l'evento B, affinché si verifichi anche l'evento A, i casi favorevoli sono gli elementi che stanno sia in A che in B, cioè in A ∩ B. Inoltre B diviene il nuovo (ridotto) spazio dei campioni.

Il condizionamento non è altro che un cambiamento di probabilità indotto dall'informazione che B si è verificato.

In generale P(A|B) ≠ P(B|A).

Se Ω è finito, allora P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = |A ∩ B| / |B|.

Dalla formula (1) si ha:

P(A∩B) = P(A|B)P(B)

Esempio

Il signor Perez è convinto che vi sia il 30% di probabilità che la sua azienda apra un nuovo ufficio a New York. Nel caso ciò si verifichi, egli stima di avere un 60% di probabilità di assumere il ruolo dirigenziale nella nuova filiale. Qual è la probabilità che il signor Perez diventi il manager del nuovo ufficio di New York?

U = {viene aperto un nuovo ufficio a New York}

M = {viene Perez promosso manager a New York}

P(U∩M) = P(M|U)P(U) = = 0,6 · 0,3 = 0,18

Come calcolare la probabilità dell'evento E?

Siano E ed F due eventi qualsiasi. Allora:

E = (E ∩ F) ∪ (E ∩ F^c)

Quindi, per l'assioma 3, si ha:

P(E) = P(E ∩ F) + P(E ∩ F^c) = P(E|F)P(F) + P(E|F^c)P(F^c) = = P(E|F)P(F) + P(E|F^c)[1 - P(F)]

P(E) = P(E|F)P(F) + P(E|F^c)[1 - P(F)](3)

Teorema: Formula della probabilità totale

Sia (Ω, , P) sp di probabilità. Siano F₁,..., F_n eventi di Ω t.c. ⁿ∪_i=1 F_i = Ω e F_i ∩ F_j = ∅ per ogni i ≠ j, i,j = 1...n. Supponiamo che P(F_i) > 0 ∀i = 1...n. Allora, se E ∈ , si ha:

P(E) = ⁿ∑_i=1 P(E|F_i) P(F_i)

Dimostrazione

E = E ∩ Ω = E ∩ ⁿ⋃_i=1 F_i = ⁿ⋃_i=1 (E ∩ F_i)

P(E) = P(ⁿ⋃_i=1 (E ∩ F_i)) = ⁿ∑_i=1 P(E ∩ F_i) = ⁿ∑_i=1 P(E|F_i) P(F_i)

Teorema (formula di Bayes)

Nelle ipotesi precedenti si ha:

P(F_j|E) = P(E|F_j) P(F_j) / ⁿ∑_i=1 P(E|F_i) P(F_i)

Dimostrazione

P(F_j|E) = P(F_j ∩ E) / P(E) = P(E|F_j) P(F_j) / ⁿ∑_i=1 P(E|F_i) P(F_i)

Esercizio

Consideriamo due urne. Nella prima urna ci sono 2 palline nere e 3 bianche; la seconda urna è vuota. 3 palline vengono estratte dalla prima urna e messe nella seconda. Si estraggono quindi 2 palline dalla seconda urna. Calcola le seguenti probabilità:

1. Le due palline estratte dalla seconda urna sono nere;
2. Le due palline estratte dalla seconda urna sono bianche;
3. Una pallina estratta dalla seconda urna è nera e l'altra è bianca.

Infine, calcolare la probabilità che le tre palline estratte dalla prima urna siano bianche se le due palline estratte dalla seconda sono bianche.

18. Siano A:{ le due palline estratte dalla seconda urna sono nere }

B:{ le due palline estratte dalla seconda urna sono bianche }

C:{ una pallina estratta dalla seconda urna è nera e l'altra è bianca }

F_j = { ci sono j palline bianche tra le 3 palline estratte dalla prima urna } j = 1, 2, 3

Considero l'estrazione di 3 palline dalla prima urna.

Ω = { (B, B, B), (B, B, N), (B, N, N), (N, N, N) }

Quindi:

Ω = _j=1³∪ F_j     e F_i∩F_j = ∅   ∀ i,j=1..3

P(F_i) > 0   ∀ i

P(A)_totale = _j=1³∑ P(A|F_j) P(F_j)

P(F₁) = ⁽³⁾/(5)⁽¹⁾/(3) ⁽²⁾/(2) = ^{3 ⋅ 1}/₁₀ = ³/₁₀

P(F₂) = ⁽³⁾/(5)⁽²⁾/(3) ⁽²⁾/(1) = ^{3 ⋅ 2}/₁₀ = ⁶/₁₀ = ³/₅

P(F₃) = ⁽³⁾/(3)⁽²⁾/(0) = ^{1 ⋅ 1}/₁₀ = ¹/₁₀

P(A | F₁) = ⁽²⁾/(2) / ⁽³⁾/(2) = ¹/₃

P(A | F₂) = 0

P(A | F₃) = 0

P(A) = ³∑_j=1P(A | F_j)P(F_j) = P(A | F₁) · P(F₁) + 0 + 0 = ^{1 ⋅ 3}/_{3 ⋅ 10} = ¹/₁₀

P(B) = ³∑_j=1P(B | F_j)P(F_j)

P(B | F₁) = 0, P(B | F₂) = ⁽²⁾/(2) / ⁽³⁾/(2) = ¹/₃, P(B | F₃) = 1

P(B) = 0 + ¹/₃ · ³/₅ + ^{1 ⋅ 1}/₁₀ = ¹/₅ + ¹/₁₀ = ³/₁₀