Prerequisiti, domande di teoria ed esercizi svolti di Meccanica dei fluidi

PREREQUISITI

1. Gradiente di un vettore: grad v = nabla v = (d/dx d/dy d/dz) v = [[dvx/dx dvx/dy dvx/dz] [dvy/dx dvy/dy dvy/dz] [dvz/dx dvz/dy dvz/dz]] on v = (u,v,w)
2. Gradiente di uno scalare: grad b = nabla b = (d/dx d/dy d/dz) b = db/dx x^ + db/dy y^ + db/dz z^ e un vettore
3. Divergenza di un vettore: div B = nabla . B = (d/dx d/dy d/dz) . (Bx, By, Bz) = dBx/dx + dBy/dy + dBz/dz e uno scalare
4. Rotore: rot B = nabla x B = | i^ j^ k^ ; d/dx d/dy d/dz ; Bx By Bz | = (dBz/dy - dBy/dz) x^ + (dBx/dz - dBz/dx) y^ + (dBy/dx - dBx/dy) z^
5. Tensore: B = [[Bxx Bxy Bxz] [Byx Byy Byz] [Bzx Bzy Bzz]] = (Bx, By, Bz) matrice 3x3
6. Divergenza di un tensore: div B = nabla . B = [d/dx d/dy d/dz] . [[Bxx Bxy Bxz] [Byx Byy Byz] [Bzx Bzy Bzz]]
7. Derivata materiale o totale di un vettore v = (u,v,w): dv/dt = dv/dt + u dv/dx + v dv/dy + w dv/dz = dv/dt + v x rot v + grad(v²/2)
8. Principio fisico dell'eq di continuita: principio di conservazione della massa: la massa contenuta nel volume fluido NON cambia al trascorrere del tempo
9. Principio fisico dell'eq della dinamica (-> II- eq cardinale): la somma di tutte le forze agenti applicate a un sistema fluido e pari alla derivata rispetto al t della quantita di moto del sistema
10. Differenza tra fluidi newtoniani e non

I fluidi seguono la:

LEGGE di NEWTON: tau = mu dotgamma = mu dv/dy; forti tangenziali sono associati alla variazione di velocita in direzione ad essi normale mediante mu

mu: viscosita dinamica del fluido [Pa.s]

dotgamma: shear rate [s^-1]

se mu = mu(T,p): relazione costitutiva e LINEARE e il fluido e definito Newtoniano

mu NON dipende da dotgamma e la LEGGE di NEWTON:

relazione lineare tra tau e dotgamma

se mu = mu(T,p,dotgamma): relazione costitutiva NON e LINEARE e il fluido e NON Newtoniano

mu dipende da dotgamma e la relazione tra tau e dotgamma non e piu lineare

11. Moto uniforme e permanente

Un moto e definito stazionario o permanente se in ciascun punto dello spazio la generica grandezza b che caratterizza il moto del fluido NON cambia al trascorrere del tempo e NON cambia nemmeno il campo nel quale e definito il moto. Risulta: db/dt = 0

Si definisce un moto uniforme un moto permanente nel quale:

• la velocita ha la stessa direzione in tutti i punti del campo -> le traiettorie sono parallele
• il modulo del vettore velocita e uguale lungo ogni traiettoria ma puo variare da traiettoria a traiettoria
• il profilo di velocita e sempre lo stesso (= la velocita e uguale in tutti i punti)

Percio, scegliendo x come la direzione del moto, il vettore velocita lungo tale direzione:

v = v(x,y,z) -> v = v(x)

dvy/dt = 0 : e stazionario

dvx/dx = 0 : angolo di velocita non cambia lungo x

PREREQUISITI

1. gradiente di un vettore: grad v = nabla v = (dxdvx dydvx dzdvx
2. gradiente di uno scalare: grad b = nabla b = ⁽_{dx dy dz}⁾ . b = ^db_dx i + ^db_dy j + ^db_dz k = e un vettore
3. Divergenza di un vettore: div B = nabla . B = (dx dy dz) . (Bx By Bz) = dBxdx + dBydy + dBzdz e uno scalare
4. Rotore: rot B = nabla x B = (dx dy dz) x (Bx By Bz) = (dBzdy - dBydz) i + (dBxdz - dBzdx) j + (dBydx - dBxdy) k
5. Tensore: B = [Bxx Bxy Bxz; Byx Byy Byz; Bzx Bzy Bzz] = (Bx, By, Bz) matrice 3x3
6. Divergenza di un tensore: div B = nabla . B = ⁽_{dx dy dz}⁾ . [Bxx Bxy Bxz; Byx Byy Byz; Bzx Bzy Bzz]
7. Derivata materiale o totale di un vettore v = (u, v, w): ^dV_dt = ^dV_dt + u ^dV_dx + v ^dV_dy + w ^dV_dz = ^dV_dt + v x rot v + grad ^v2/₂
8. Principio fisico dell'eq di continuita: principio di conservazione della massa: la massa contenuta nel volume fluido NON cambia al trascorrere del tempo
9. Principio fisico dell'eq della dinamica (= I = q cardinale): la somma di tutte le forze agenti su un sistema fluido e pari alla derivata rispetto al t della quantita di moto del sistema
10. Differenza tra f