Parte 2: Tecnologia meccanica

Cerchi di Mohr

Il cerchio di Mohr è una rappresentazione grafica dello stato piano di tensione interno in un generico punto (nodo).

La rappresentazione continua riportando un opportuno piano (σ,τ). Le tensioni interne sono espresse nel trasporto in una delle note direzioni su un piano generico inclinato. Le note direzioni di tensione ρ₁, ρ₂, ρ₃ del problema, sono rappresentate dalle note tensioni, con l’aiuto del cerchio di Mohr, una funzione angolare delle coordinate del cerchio di Mohr, che serve per la costruzione dell’angolo di Mohr, permettendo di costruire lo stato tensioni, denominato generico. Con queste generiche direzioni e tensioni, si ricavano tensioni principali e le direzioni principali del problema di tensione generico.

Costruzione del cerchio di Mohr

Sia {₁, ₂, ₃} una terna di vettori ortonormali con ₃ direzione principale di tensione. In tale base la matrice di rappresentazione del tensore degli sforzi è:

Per definizione: \( σ₁₃ = \vec{₁} · [σ] \vec{₃} = 0 \ \vec{₃} · [σ] \vec{₃} = 0 \) e in generale: \( ₁₃ = 0 \Rightarrow σ₃₃ = 0 \) (si parla di stato piano di tensione).

Lo stato tensionale relativamente alle due direzioni ortogonali: \(\hat{1}, \hat{2} \), è descritto dalle componenti (σ₁₁, σ₂₂, σ₁₂) del tensore delle tensioni.

Si consideri quindi il piano ortogonale al focus a piano di \({₃}\) neo matematica del nome e normalmente al nome va sì attentamente mutato una rotazione rigida invariante di angolo \({}\) a partire dal nome \({₁}\).

\(\hat{} = \cos \, \hat{1} + \sin \, \hat{2} \hspace{1pt} \) \( \sigma i \text{ si muove su una circonferenza} \)

La tensione sul piano di normale è dato da un vettore ortogonale al piano (X₁, X₂).

\( \omega : \hat{} = \begin{bmatrix}σ₁₁ & σ₁₂ & 0 \\σ₁₂ & σ₂₂ & 0 \\0 & 0 & σ₃₃\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos \\\sin \\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}σ₁₁ \, \cos \, + σ₁₂ \, \sin \\σ₁₂ \, \cos \, + σ₂₂ \, \sin \\0\end{bmatrix}\)

Tale vettore è decomponibile in una componente normale lungo la direzione \(\hat{}\) e una componente tangenziale lungo stessa direzione:

\(\hat{} = -\sin \, \hat{1} + \cos \, \hat{2} \)

Angolante al piano , implicito di un angolo vero rispetto a senso diretto di:

σ_ℓm = Σ() \[ \cos \, + \] Σ()[ \sin \[ \cos \]0.0Σ():=\( ℓ: \, \].\[σ = \frac{(σ₂₂−σ₁₁)σ₃}{2} + σ₁₂ \, \cos2\]

Misura trasformazioni trigonometriche:

\[∑ = ∑_· = \begin{bmatrix}σ₁₁−σ₂₂ \\σ₁₂ \\\end{bmatrix}σ₁₂ \, \cos2ϑ\]

Il grande dell’angolo \( \widehat{Σγ(θ;_, \hspace{1em}\, {\nabla n)_{\hspace{1em}\) )}\) trasforma un cerchio in un piano {σ}₆₁, altez \(\overline{C \)' Rottura nel centro “radii”.\]

\(C(θ;/): \overline{(θ;[σ₁₆−\sigma₇₂.0) \left( \frac{(σ₂-σ₃)}{2} + σ₁₂ \, \right)}\)\]

Cerchi di Mohr

Il cerchio di Mohr è una rappresentazione grafica dello stato piano di tensione interno in un determinato punto (x,y).

La rappresentazione continua ripetendosi in un opportuno piano (σ,τ) per tutti i valori possibili di piani inclinati che passando per il punto di nodo del sistema in esame generano ciascuno a loro volta le normali compressioni e le tensioni tangenziali sull'elemento infinitesimo nei rispettivi punti di riferimento.

Detto del problema è sufficiente dire dello stato tensionale con lo schema del cerchio di Mohr, una unica componente e componendo attraverso il grafico la risoluzione di statici complessi dell'indagine.

Il cerchio di Mohr permette di costruire lo stato tensionale di modo da risalire mediante grafici a mano a determinare uno schema statico di equazione ai piccoli spostamenti del coefficiente.

Le norme dei tensori principali e le direzioni principali nel problema di tensione tensore.

Costruzione del cerchio di Mohr

Sia (x₁, x₂, x₃) una terna di vettori ortonormali con la direzione x₃ normale alla superficie. In tale terza la matrice di rappresentazione del tensore degli sforzi è:

[σ] = |σ₁₁ σ₁₂ 0|    |σ₁₂ σ₂₂ 0|    |0 0 σ₃₃|

Per definizione: σ₁₃ = x₁ • [σ] x₃ = 0 x₃ • [σ] x₃ = 0 e in generale: σ₃₃ = 0, cos σ₃₃ = 0 si parla di stato piano di tensione.

In un mondo di stato piano di sforzo dimensionale in cui si risolve una relazione rigida ortonormale di angolo φ a partire dal raggio r:

m^. = cos φ x₁ + sen φ x₂

La trazione nel piano di normale m è dato da un