Parte 2: Dinamica dei sistemi meccanici

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Revisionato il 10/09/2026

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Esame Dinamica dei sistemi meccanici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Rinchi Mirko

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2024-2025

117 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Sistemi a M gradi di libertà

Esempio 1: sistema a 2 g.d.l.

N.B. Le molle sono prive di massa.

m₁ẍ₁ = f₁(t) = k₂x₂ - c₂ẋ₂ - k₂x₁ - c₂ẋ₁ - c₁ẋ₁ - k₁x₁
m₂ẍ₂ = f₂(t) = k₂(x₂-x₁) - c₂(ẋ₂-ẋ₁)

_{Per il principio di azione e reazione la massa 2 subisce forze uguali e contrarie (rispetto alla massa 1) da smorzatore e molla}

La soluzione è un vettore di funzioni: | x(t) | = | x₁ x₂ |

Inoltre, anche la forza esterna è un vettore fg = | f₁(t) f₂(t) |

Quindi:

[ m₁ 0 ] { ẍ₁ } + [ (c₁+c₂) -c₂ ] { ẋ₁ } + [ (k₁+k₂) -k₂ ] { x₁ } = { f₁ } [ 0 m₂ ] { ẍ₂ } + [ -c₂ c₂ ] { ẋ₂ } + [ -k₂ k₂ ] { x₂ } = { f₂ }

m₁ẍ₁ + (c₁+c₂)ẋ₁ - c₂ẋ₂ - (k₁+k₂)x₁ - k₂x₂ = f₁

m₂ẍ₂ + c₂ẋ₂ + c₂ẋ₁ - k₂x₁ + k₂x₂ = f₂

Equazione matriciale

[ M ]{ ẍ } + [ C ]{ ẋ } + [ K ]{ x } = { f(t) }

Matrice di massa

Matrice di massa [ M ] = [ m₁ 0 ] [ 0 m₂ ]

Matrice diagonale definita positiva.

Sistemi a M gradi di libertà

Esempio 1: sistema a 2 gr.d.l.

N.B. Le molle sono prive di massa.

m₁ẍ₁ = f₁(t) = k₂x₂ - c₁ẋ₁ - k₁x₁ - k₂(x₁-x₂) - c₂(ẋ₁-ẋ₂)
m₂ẍ₂ = f₂(t) = k₂(x₁-x₂) - c₂(ẋ₁-ẋ₂)

Per il principio di azione e reazione la massa 2 subisce forze uguali e contrarie (rispetto alla massa 1) da smorzatore e molla.

La soluzione è un vettore di funzioni: {x₁ x₂}

Inoltre, anche la forza esterna è un vettore: {f₁ f₂}

Quindi:

[m₁ 0] [ẍ₁] + [c₁+c₂ -c₂] [ẋ₁] + [k₁+k₂ -k₂] [x₁] = [f₁]

[0 m₂] [ẍ₂] [-c₂ c₂] [ẋ₂] [-k₂ k₂] [x₂] [f₂]

m₁ẍ₁ + (c₁+c₂)ẋ₁ - c₂ẋ₂ - (k₁+k₂)x₁ - k₂x₂ = f₁

m₂ẍ₂ + c₂ẋ₂ - c₂ẋ₁ - k₂x₂ + k₂x₁ = f₂

Espressione matriciale

[M][X]̈ + [C][X]̇ + [K][X] = f(t)

Matrice di massa

[M] = [m₁ 0][0 m₂]

Matrice diagonale definita positiva.

Matrice di smorzamento viscoso

Matrice di smorzamento viscoso [C] = _{c₁₁ + c₁₂ -c₁₂} _{-c₁₂ c₁₂}

Simmetrica. Semidefinita positiva: elementi sulla diagonale (principalmente positivi).

Matrice di rigidità

Matrice di rigidità [K] = _{k₁ + k₂ -k₂} _{-k₂ k₂}

Simmetrica. Semidefinita positiva.

Sistemi non smorzati liberi

Si hanno equazioni di tipo reale.

C = 0 => Cẋ = 0

{ẋ}= e^ωt{x}

[M]{ẍ} + [K]{x} = {δ(t)}

Ritorniamo:

[M]{ẍ} + [K]{x} = 0

Ipotesi di soluzione di tipo armonico {x} = {x₀} e^iωt

Contiene le ampiezze degli spostamenti di tutte n g.d.l.

x₁(t) = x₀¹ e^iωt

x₂(t) = x₀² e^iωt

Ammesse potenzialmente diverse ma a stessa frequenza.

{ẍ} = -ω² {x₀} e^iωt

Sostituiamo e notiamo che sia possibile che si ottenga una identità.

-ω²[M]{x₀}e^iωt + [K]{x₀}e^iωt = 0 e^iωt

Si somma tra eq. diff. e eq. algebriche.

Sistema: algebrico
Lineare
Omogeneo
M eq., M inc.

Unica soluzione {X₀} = 0 omogenea.

∃ soluzioni {X₀} ≠ {0} ⇔ det (K - w²M) = 0

Ad esempio con 2 gradi di libertà:

Soluzioni banali:

X₁(t) = 0
X₂(t) = 0

Ma possiamo avere soluzioni non banali:

X(t) = {X₀} e^jwt se det (K - w²M) = 0

Se det (K - w²M) ≠ 0 allora ho 2 eq. lineamonti di nomativi ⇒ 1⁰ o soluzioni.

det(k - w²μ ) = [ (k₁ + k₂) - w²m₂ ] [ k₂ - w²m₂ ] - k₂ = 0

Sviluppando il determinante si ottiene un polinomio di ordine w⁴

m₂ m₂ w⁴ - (k₂m₂ + k₁m₂ + m₂k₁)w² + k₁k₂ = 0

b) I valori per i quali è soddisfatta questa condizione sono quelli per cui la soluzione è di tipo armonico puro.

Se voglio porre combinare una solo tra le due equazioni del sistema (in quanto quest

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