Oscillatori

Oscillatori

Definizione: Circuiti elettronici che generano un segnale sinusoidale senza un segnale d'ingresso

2 categorie di oscillatori:

• Oscillatori quasi sinusoidali;
• Oscillatori di rilassamento.

Generalmente essi hanno un comportamento non lineare.

Oscillatore armonico con perdite

Oscillatore lineare

KLVΦ = j()[R_s + sL + (R_p || ¹⁄_sC)]

s² + s( ^R_s⁄_L + ¹⁄_RpC ) + ^{R_s + R_p}⁄_LC = 0

Γ₀² = ¹⁄_LC

Q = ^X_inv⁄_Rserie, ₀ = ¹⁄_√(LC)

Q_c = ^X_c⁄_RpC, _sR_pC

s² + 5₀(¹⁄_Qi + ¹⁄_Qc) + ₀²(1 + ¹⁄_QcQi) = 0

Q_i = Q_c ¹⁄_{^ω0⁄2 - ^Qc}

w_s = w₀,^w₀⁄_Q81 =− ¹⁄_2Q4 + ¹⁄_2Q4√(1 + 4₂)

Affinché l'oscillazione non si estingua e ne diverga →Q_iii →∞

Q_i=∞ → non si ottiene ponendo: R_p, R_s = 0

È impossibile ottenere perfettamente per merito di un oscillatore che aumenta infinitamente nel tempo, le grandezze elettroniche del circuito e saturano → comportamento non lineare

Una resistenza negativa si può ottenere tramite una retroazione di un due porte generico, la quale includa anche componenti reattive.

Sovrintendenza Sanitaria Centrale

Oscillatori

Definizione: Circuiti elettronici che generano un segnale sinusoidale senza un segnale d'ingresso

2 categorie di oscillatori:

• Oscillatori quasi sinusoidali;
• Oscillatori di rilassamento.

Generalmente essi hanno un comportamento non lineare

Oscillatore armonico con perdite

Oscillatore lineare

KLV

s² + s ^{(Rs / L) + (1 / RpC)} + (Rs + Rp) / LCRp = 0

ω₀² = 1 / LC

Q_i = X_w0 / R_serie = L / R_serie

Q_c = X_c / R_parallelo

w_s = w₀(1 + 1 / 2Q_i² ) = 0

s = - 1 / 2Q_i ± jω₀ √(1 + 4Q²)

Finché l'oscillazione non si estingue né diverga ⇒ Q_L ⇒ ∞ ⇒ s = ±jω_s

Q_L = ∞ si ottiene ponendo: R_P = R = 0 ⇒ nessuna perdita ⇒ irrealizzabile

È impossibile ottenere praticamente un oscillatore che aumenti amplificare nel tempo ⇒ le grandezze elettriche del circuito satureranno ⇒ comportamento non lineare ⇒ stabilità in ampiezza ⇒ oscillazione non più perfettamente sinusoidale

Una resistenza negativa si può ottenere tramite una reazione di un due porte generico, la quale includa anche componenti reattive.

Sovrintendenza Sanitaria Centrale

Oscillatori quasi sinusoidali

Linearizzazione oscillatori quasi sinusoidali da informazioni sulla frequenza di oscillazione ma non rispetto all'ampiezza.

Bilanciamento armonico: metodo di soluzione di un problema con l'approssimazione di ogni variabile di stato di un circuito con le serie di Fourier per i coefficienti da calcolare → non bisogna da calcolare gli integrali.

Miglioramento di questo metodo → suddivisione del sistema in una parte non lineare nel dominio del tempo per una parte lineare nel dominio della frequenza.

La soluzione ottenuta con il bilanciamento armonico coincide con la quasi-linearizzazione con la funzione descrittive.

Oscillatori

Bilanciamento armonico

A(.) è una funzione dell'ingresso. Ma lineare

Lo scopo dell'oscillatore è quello di avere un'uscita periodica senza ingresso

x(s) = β(s) y(s), β non è più istantaneo ma con memoria

Se y(t) sinusoidale ⟹ x(t) sinusoidale

y(s) = x(s) H(s) e y(t) = |H(ω)|: A sen(ωot + ∠H(ωo))

x(t) = A sen(ωot +φo)

f A(x) = A₀ x³ ⟹ y(t) non sinusoidale

x(t) sinusoidale ⟹ y(t) non sinusoidale ⟹ x(t) sinusoidale

|β(2ωo)|_dB = -12 dB

Se β(ω) selettiva in freq_uenza

Se β(w) deve definirsi in mws, ad ogni zero aumenta 20 dB/dec ma alle w=Wos aumenta meno

Questa funzione è praticamente impossibile da realizzare perchè avrebbe infiniti zeri.

x, y periodiche di periodo T = 2π / ω₀

Se siano interamenti e soluzioni sinusoidali,

y non potrà essere sinusoidale

x(t) = ∑_k=-∞^+∞ a_k e^{j k ω₀ t}; y(t) = ∑_k=-∞^+∞ c_k e^{j k ω₀ t} in cui:

a_-k = a_k, c_-k^* = a_k

a_k = 0 ∀ |k| > 1 per avere x(t) sinusoidale

Nel dominio delle frequenze

X(ω) = ∑_k=-∞^+∞ a_k √2π δ(ω-kω₀), Y(ω) = ∑_k=-∞^+∞ c_k √2π δ(ω-kω₀)

X(ω) = L(ω)Y(ω) sostituendo

∑_k=-∞^+∞ a_k √2π δ(ω-kω₀) = L(ω) ∑_k=-∞^+∞ c_k √2π δ(ω-kω₀)

∑_k=-∞^+∞ [a_k-c_kL(ω)] √2π δ(ω-kω₀) = 0

δ(ω-kω₀) linearmente indipendenti ⇒ 0 = ∑ a_k-c_kL(ω) = 0 [δ(ω) = lim_k->∞ K / ω ∫_-∞^∞ f(x)S(x) = ∫₀^∞ dδ(x)] ⇔ a_k-c_kL(kω₀) = 0;

a_k-c_-k^*. L(-kω₀) = L^*(kω₀) → ∑_k=0^∞;

ricordando e non essendo y(t) sinusoidale c_k avranno valori qualsiasi

⇒ per avere x(t) sinusoidale L(kω₀) = 0

Sovrintendenza Sanitaria Centrale

Infiniti zeri e approssimazione

≪ è equivalente ad avere infiniti "zeri"^*_zs^*nelle retroazioni; non è realizzabile

nella realtà → si può approssimare ♾ con L(ω)_x^max

N_o-C_L(0) = 0 → '' supponiamo che non c’era una componente DC

N^o₁-C_L(ω_o) = 0 X(t) = A_O + e^+jω_ot = A _e^+jω_ot = ½^A_e^jω_o + ½^A_e^-jω_o Γ_{A = 1}= áño a se X(t) è stazionaria^♾ se ℓ' origine dei tempi per x → X(t) è stazionaria (o almeno per tempi limitati)

Poniamo ♾ = -u2 ⇒ a1 = -í A2 ⇒ X(t)-"½ejωot-e-jωot”= -íO 2 j x⇓⇓ t=Asea b ↓Γ /degli

Il calcolo C_L della serie di Fourier di Y(t) come:

⇓ = ωo2π ∫ 1/ωoo N(Asenwot)e+jωot dt = ωo2π ∫t=2π N(Asenwot)e+jωot dt diventa A2 x (A) L(qSwo,θ)=0 ↳ 1-½1C1jcdot L(ωO)⊂1&mm;&logL&mm; )=0 ) ↳ *Nα(Ao1)- → dalla condizione necromica affine, considerate opzionelascione θ♠ non sinusoidale #con N1 enpunkte o&dArr = úαωo ∫ ú£c N(Asenwot) ∋ ρt↳ Nd disperi →&sup8.xsub; ↔ ↥&no&yoN(π)&cSub1Number;Nα ) = o⊂∑⊂⊂∑&ma⌢ ú›&M= ¼⊂5&fre...lm (Lpos)= ∅ δ NA(9&subrel3;) L(π)=1 ↦ ↥ ↔∅ θ &e Lanatura¶(L oδ)↠→L o^}MA ( Λ A )♠&