Numeri complessi, relativi teoremi ed esercizi svolti tipologia esame

Numeri complessi

Numeri complessiℤ ⊆ ℚ ⊆ 𝔹.

Interi ⇒ Razionali: 3x+5=0 non ha soluzioni intere.

Razionali ⇒ Reali: x²-2=0 ⇒ √2 ∉ ℚ √2 ∈ ℝ.

Equazione ha soluzione su ℚ ma non ha soluzione nei reali. Sono nei non ℝ ⇒ voglio risolvere l’equazione: x²+1.

Numeri complessi ℂ hanno una struttura definita come segue: (ℝ², ⊕, ⊗).

N.B. ℝ² = { (a,b) | a,b ∈ ℝ }.

Definizione delle operazioni

• Somma: ⊕ (a,b) ⊕ (c,d) = (a+c, b+d).
• Prodotto: ⊗ (a,b) ⊗ (c,d) = (ac-bd, ad+bc).

Proposizione: (ℝ², ⊕) è un gruppo (campo dei numeri complessi ℂ).

(0,0) è lo (elemento neutro della somma) dello operazione ⊕.

Per verificarlo devo far vedere: (a,b) ⊕ (0,0) = (a,b).

(a,b) ⊕ (0,0) = (a+0, b+0) = (a, b).

Opposto di (a,b): (a,b) ⊕ (-a,-b) = (0,0).

Reciproco di (a,b): (a,b) ⊗ _{(1/(a²+b²), -b/(a²+b²))} = (1,0).

(1,0) è l'elemento neutro per prodotto.

(a,b) ⊗ (1,0) = (a,b).

(a,1) = (a×1-b×0, a×0+b×1) = (a, b).

Def. C_a = { (a, 0), a ∈ ℝ }.

C_a ⊆ C. I numeri del tipo (a,0) possono essere identificati con i numeri reali, identità, e possono scritti solo (l'invece di (a,0).

Retaz. iniezionale fra ℝ, ℝ²: a ∈ ℝ ⇒ (a, 0) ∈ C₀; (b,0) ∈ C₀ ⇒ a ∈ ℝ.

Si verifica facilmente: (a,0) ⊕ (b,0) = (a+b,0).

(a,0) ⊗ (b,0) = (ab,0).

∑ _{(1/(a²+b²), -b/(a²+b²))} = (1/a,0).

Con a,q ∈ ℝ², a≠0, b≠0.

In C₀, (a,0) ⊗ (b,0) ⇒ (b,a,0).

Numeri complessi e insiemi numerici

Numeri complessiℤ ⊃ ℚ ⊃ ℂ.

Interi → Razionali: 3x+5=0 non ha soluzioni intere.

Razionali → Reali: x²-2=0 √2 ∉ ℚ √2 ∈ ℝ.

Equazione ha soluzione su ℚ ma non ha soluzione nei reali.

Se sono nei non ∈ ℝ → voglio risolvere l'equazione = x²+1.

Numeri complessi ℂ hanno una struttura definita come segue: (ℝ², ⊕, ⊙).

N.B. ℝ² = { (a,b) a,b ∈ ℝ }.

Definizione

• Somma: ⊕ (a,b) ⊕ (c,d) = (a+c b+d).
• Prodotto: ⊙ (a,b) ⊙ (c,d) = (ac-bd, ad+bc).

Proposizione: (ℝ², ⊕, ⊙) è un campo (campo dei numeri complessi ℂ).

(0,0) è lo 0 dell'operazione ⊕ (elemento neutro della somma).

Per verificarlo devo fare vedere: (a,b) ⊕ (0,0) = (a,b).

(a,0) ⊕ (0,0) = (a,b).

(a+0, b+0) = (a,b).

Opposto di (a,b): (a,b) ⊕ (-a,-b) = (0,0).

Reciproco di (a,b): (a,b) ⊙ ( a/(a²+b²) -b/(a²+b²) ) = (1,0).

(1,0) è l'elemento neutro per il prodotto.

(a,b) × (1,0) = (a,b).

(a,1) ⊙ (b,0) = (a,b).

((a,1) × b × 0, a × 0 × b × 1) = (a,b).

Def. C_ÓA; = { (a,0) a ∈ ℚ } C₀ = ℂ.

Numeri del tipo (a,0) possono essere considerati con interi, numeri reali, e possono sempre essere solo elementi di (0,0).

Identificare i numeri internazionali per ℝ e ℂ.

(a,0) ∈ ℂ → (a,0) ∈ ℝ.

(b,x) ∈ ℂ → (a,c) ∈ ℝ.

Identificando ℝ con C₀ possiamo dire che ℝ₂⊕ ⊃ ℂ.

( _{a/(a²+b²) -b/(a²+b²)} ).

Si verifica facilmente: (c,0) ⊃ (b,0) = (d,b) (a,0) ⊕ (b,0) = (a(b,0)).

Con a_9,0 a_∉ℚ.

(1/a,0) = a₂ = (a_²+b_²)_∉.

In C₀, (a,0) ℂ ℂ.

Se a,b ∈ R —> (a,0) ∈ C, a+b ∈ R.

Mi aspetto che … a·b ∈ R.

Mi aspetto che … (a,0) ∈ C (b,0) (a+b,0).

(a,0)·(b,0).

(a,0)·(b,0) = (a·b,0).

• Supponiamo ora di avere: (a,0) ∈ C; (b,0) ∈ C; a,b ∈ R.

Una forma di esprimere (a,b) in termini di (a,0) e (b,0): (a,b) = (a,0) + (0,1)·(b,0).

z (numero complesso).

z = (a,b) ∈ C.

a,b ∈ R.

1 è la costante complessa (0,1).

Verifica: z z = a + i·b.

Forma algebrica dei numeri complessi.

i = unità immaginaria.

i² = -1.

NB z = a + c,i b.

Forma algebrica: z ∈ C.

z₁, z₂ ∈ C.

z₁ + z₂.

(a,b) + (c,d).

Es. Sommatoria: (a + ib) + (c + id).

(a,b) (c,d).

a + c, b + d (a+c, b+d).

Es. Prodotto: (a + ib) (c + id).

ac - bd + i(ad + bc).

Immaginario puro e piano di Gauss

Def. Se Z ∈ C e t.q. che Re(Z) = 0 allora Z si dice immaginario puro.

N.B. Re = parte reale.

I = parte immaginaria.

→ Piano di Gauss ha come indici delle ascisse quelli che appartengono alle parti reali, invece i valori sulle assi delle ordinate app. alle parti immaginarie.

→ Asse x = parte reale (Re).

→ Asse y = parte immaginaria (I).

N.B. La somma di due numeri complessi Z₁ e Z₂ sul piano di Gauss diventa la somma dei vettori: (a+c)+i(b+d).

Coniugato di Z

Coniugato di Z ∈ C.

Def. Z ∈ C, Z = a+ib.

Si definisce coniugato di Z e si indica con Ζ̅ = a-ib.

Dunque Re(Z̅) = Re(Z).

I(Z̅) = -I(Z).

Nota bene: 1+i; 1+2i.

→ Numeratore e denominatore per la stessa quantità così da poter utilizzare la proprietà (3).

→ 1+i -i -2i.

1+2i 1-i = (1+i)(1-i) 1+4 = 35 = 3/5.

Modulo di un complesso

Modulo di un complesso z.

z ∈ ℂ z = a + ib.

Definisco il modulo di z.

|z| = √(a² + b²).

Forma trigonometrica di un complesso

• Una maniera di descrivere un punto è la rappresentazione cartesiana → P(a; b).
• Rappresentazione polare.

(rho) ρ: lunghezza del vettore da O al punto P.

(theta) θ: angolo (in radianti) che il vettore OP forma con l'asse x.

ρ ∈ [0; +∞] θ ∈ (0,2π) coordinate polari.

Passaggio da valori polari a coordinate cartesiane.

P(ρ, θ) P: (a, b).

ρ ∈ [0,4π) θ ∈ (0, π/2] → angolo incred. b = ρ sin θ.

a = ρ cos θ.

(a,b) Importante: passaggio da coordinate cartesiane a valori polari.

P: (a; b) (ρ, θ).

ρ = √(a² + b²) = |z|.

θ è quell'angolo tale che tan(θ) = b/a.

Quando ho z = a + ib, ρ = |z|, θ = arg(z).

Forma trigonometra di z ∈ ℂ.

z = a + ib [ρ*(cosθ + i sinθ)] non bene.

Proprietà del modulo

• |z| ≥ 0.
• |z| = 0 => z = 0.
• |z·ω| = |z|·|ω|.
• |z̅| = |z|.
• |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| (disuguaglianza triangolare).

Nota bene!

Esempio forma trigonometrica: z = 1 + i.

Per calcolare la forma trigonometrica devo calcolare ρ e θ.

ρ = |z| = √(1² + 1²) = √2.

θ = π/4 ⇒ la forma trigonometrica di z è z = √2 * (cos π/4 + i sin π/4).

_tg(θ) = 1.

Proprietà della forma trigonometrica

Proprietà forma trigonometrica.

₁, ₂ ∈ ℂ.

₁ = ρ₁(cos θ₁ + i sin θ₁).

₂ = ρ₂(cos θ₂ + i sin θ₂).

① ₁ * ₂ = ρ₁ ρ₂ * [cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂)].

② ^₁/_₂ = ^ρ₁/_ρ₂ * [cos (θ₁ - θ₂) + i sin (θ₁ - θ₂)].

Formula di De Moivre

Formula di De Moivre _{(per passare da forma trigonometrica a forma algebrica [con esponenti elevati])}.

Se z ∈ ℂ, z = ρ(cos θ + i sin θ).

zⁿ = ρⁿ [cos (n·θ) + i sin (n·θ)].

Nota bene: ρ = √(a² + b²) = |z|.

θ = arg(z).

Esempio con De Moivre

Esempio: (1 + i)⁵ → trasformo il numero in forma trigonometrica.

• Calcolo ρ01 ^π/₄ a = 1, b = 1.
• ρ = √(1² + 1²) = √2.
• θ = ^π/₄.
• z = √2 * (cos (^π/₄) + i sin (^π/₄)).
• Applico la formula di De Moivre.
• z⁵ = 2^⁵/₂ * [cos (⁵/₄) +^{i * sin}(⁵/₄)].
• Riotto il numero in forma algebrica.
• = 2^⁵/₂ [^-1/_√2 + i * ¹/_√2] = ^{-4 - 4i}.

Forma esponenziale dei numeri complessi

Forma esponenziale dei numeri complessi.

e è il numero di Nepero.

e^iϑ = (cosϑ + i sinϑ) [Formula di Eulero].

Forma trigonometrica: z = ℘(cosϑ + i sinϑ).

Forma esponenziale ℨ ⇒ ℘ e^iϑ.

Dalla formula di Eulero ricavo: cosϑ = ^{eiϑ + e-iϑ}/₂.

sinϑ = ^{eiϑ - e-iϑ}/₂.

Dimostrazione: uso la formula di Eulero.

N.B. e^iϑ = ℘ e^iϑ.

=> cosϑ = ^{(cosϑ + i sinϑ) + (cosϑ - i sinϑ)}/₂.

= ℘ (cosϑ) = ϑ₂ = cosϑ.

Radici nei numeri complessi

Radici nei numeri complessi.

Se ∈ ℂ, n ∈ ℕ, n radice n-esima di ⇒ quel numero complesso z ∈ ℂ t.q. zⁿ =.

Se ∈ ℂ e n ∈ ℕ*, sia = ℘(cosϑ + i sinϑ).

Allora esistono n radici complesse distinte di che chiamiamo z_k, k = {0, 1, ..., n-1} ottenute dalle espressioni.

z_k = ℘ (cosϵ_k + i sinϵ_k) dove z_k sono quindi tutte le radici k-esime di z con:

• 1) √ = n_√.
• 2) ϵ_k = ^{ϑ + 2k}/_n, k ∈ {0, 1, ..., n-1}.
• 3) (1) ≥ 0 quindi esiste/ci: ℤ.

In forma complessa: n√ = √ [cos(^{ϑ + 2k}/_n) + i sin(^{ϑ + 2k}/_n)] con k = 0, 1, ..., n-1 ∀n k ∈ ℕ*.

In forma esponenziale: n√ = ℘ e^i(2k)/n avendo ℘(||)_1/n, ϵ = arg().

Avremo... Z_k = W^1/n . e^{i((arg(w) + 2kπ)/n)}.

Dal punto di vista geometrico con n = 3 le radici definiscono i vertici di un poligono regolare iscritto nella circonferenza di raggio W^1/n e centro O.

Esempio: radici quadratiche di -1

Esempio. Calcoliamo le radici quadratiche di -1.

√-1 non è definito nei reali.

=> Andiamo a calcolare le radici nei numeri complessi usiamo la forma trigonometrica.

w₁ = -1 (in R_e) w₂ ± i . 0 (nei complessi C).

Quindi nel piano di Gauss θ = π.

w|1 = √2+0² = 1.

Quindi w = 1 (cos π + i sin π).

Quindi le radici sono n = 2 √ <-- perché cerco la radice quadrata ->² soluzioni.

Avremo con k=0 e con k=1 Z₀ = 1 Z₀ = -1.

Z₀ = W² (cos(π+2'πk)/n) + + Z_n = w^P [cos((π±2πκ)/n)]+[sin(θ+2πκ/n)].

Z₁ = 1 . =_{(cos (1÷2πκ)/2) + i sin (3π)/2]} g radici di √-1 - i n(somos!).