Numeri complessi

NUMERI COMPLESSI (INIZIO CORSO)

x² + x + 1 = 0 -> NON HA SOLUZIONI REALI MA IMMAGINARIE

a x² + b x + c = 0     a,b,c in R, a != 0

Delta = b² - 4ac

• Delta > 0   2 sol reali distinte
• Delta = 0   2 sol reali coincidenti
• Delta < 0   ? sol reali

PER Delta < 0 ABBIAMO:

NON HA SENSO

x_1,2 = (-b +- sqrt(b²-4ac)) / 2a = (-b +- sqrt(Delta)) / 2a = (-b +- sqrt(-( -Delta ))) / 2a = (-b +- sqrt(-1) * sqrt(-Delta)) / 2a = -b/2a +- i * sqrt(-Delta)/2a = a +- ib dove a,b in R

TEOR (FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA)

UN QUALSIASI POLINOMIO A COEFFICIENTI REALI O COMPLESSI DI GRADO m>1 AMMETTE

ALMENO UNA RADICE COMPLESSA

C E' UN CAMPO ALGEBRICAMENTE CHIUSO XCHE' E' VALE IL TEOR FOND DELL'ALGEBRA

i = sqrt(-1) -> i² = -1   CONDIZIONE CHE DEVE ESSERE VERIFICATA

z = a + ib     a,b in R

IR[i] = {a + bi : a,b in R} = C

POLINOMIO IN i: a₀ + a₁i + a₂i² + ... + a_niⁿ dove i⁰ = 1, i¹ = sqrt(-1), i² = -1, i³ = -i, i⁴ = -i² = 1

OSS

• C, + E' UN GRUPPO ABELIANO
• C\{0} E' UN GRUPPO ABELIANO

C E' UN CAMPO

FORMA ALGEBRICA

UNITA' IMMAGINARIA

z = a + ib     a,b in R

UNITA' REALE

a = Re z (UNITA' REALE DI z)

b = Im z (UNITA' IMMAGINARIA DI z)

SOMMA TRA DUE m C

z₁ = a₁ + ib₁

z₂ = a₂ + ib₂

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂)

PRODOTTO DI DUE m C

z₁ z₂ = (a₁ + ib₁)(a₂ + ib₂) = a₁a₂ + ia₁b₂ + ia₂b₁ + i²b₁b₂

= a₁a₂ + ia₁b₂ + ia₂b₁ - b₁b₂

=(a₁a₂ - b₁b₂) + i(a₁b₂ + a₂b₁)

CONIUGATO

z = a - ib

|z| = sqrt(a² + b²) in R (modulo di z)

TEOR AVENDO z1 = a1 + ib1 E z2 = a2 + ib2, POSSO DIRE CHE z1 = z2 QUANDO:

z1 = z2 <=> a1 = a2, b1 = b2

Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2

TEOR OGNI n E NON NULLO E' INVERTIBILE RISPETTO AL PRODOTTO

DIM z ∈ C, z ≠ 0

z = a + ib ; z̄ = a - ib

z z̄ = (a² + b²) + i(ab - ab)

z z̄ = a² + b² = |z|²

PROPRIETA' DEI n C

1) ∀ z ∈ C, z z̄ = |z|²

DIM z z̄ = (a² + b²) + i(ab - ab) = |z|²

2) SE |z| = 0 <=> z = 0

SE z ≠ 0 ⇒ |z| ≠ 0

3) E' ELEMENTI INVERSI

DIM z z̄ = |z|² ⇒ z̄ / |z|² = 1 DOVE z̄ / |z|² E' L'ELEMENTO INVERSO E 1 E' L'ELEMENTO NEUTO

POSSO FARLO PER VIA DELLA 2a PROPRIETA'

z^-1 = 1/z = z̄ / |z|²

TEOR C E' UN CAMPO RISPETTO A + E .

OSS IR ⊆ C

b = 0

SOTTOCAMPO

OSS DATO CHE i² = -1 < 0 SI PUO' CONCLUDERE CHE C NON E' UN CAMPO ORDINATO

4) _z1+z2 = _z1 + _z2

DIM _z1+z2 = (a1+a2) - i(b1+b2) = a1 - ib1 + a2 - ib2 = _z1 + _z2

5) _z1z2 = _z1z2

DIM _z1z2 = (a1a2-b1b2) - i(a1b2+a2b1) = a1a2-b1b2 - i a1b2 - i a2b1 = (a1-ib1)(a2-ib2) = _z1z2

6) _z^-1 = _z^-1

DIM _z^-1 = _z̄ / |z|² = _z / |z|² = _z / |z|² = _z^-1

7) _z̄ = z

DIM _z̄ = a - ib = a + ib = z

8) |z̄| = |z|

DIM |z̄| = |a-ib| = sqrt(a²+(-b)²) = sqrt(a²+b²) = |z|

9) |z1z2| = |z1||z2|

DIM |z1z2| = |(a1+ib1)(a2+ib2)| = |(a1a2-b1b2) + i(a1b2+a2b1)|

= sqrt((a1a2-b1b2)² + (a1b2+a2b1)²) = sqrt(a1²a2²+b1²b2²-2a1a2b1b2+a1²b2²+a2²b1²+2a1a2b1b2)

= sqrt((a1²+b1²)(a2²+b2²)) = sqrt(a1²+b1²)sqrt(a2²+b2²) = |z1||z2|

10) |Re z| < |z|

DIM |Re z| = |a|

|z| = sqrt(a²+b²)

|a| < sqrt(a²+b²) ; |a|² < a²+b² ; a² < a²+b²

11) |Im z| < |z|

DIM |Im z| = |b|

|z| = sqrt(a²+b²)

|b| < sqrt(a²+b²) ; |b|² < a²