Modulo di circuiti a radiofrequenza e stadi di uscita

Oscillatori

Gli oscillatori sono circuiti che permettono di creare forme d'onda, in particolare sinusoidi. Gli oscillatori possono essere non lineari (multivibratore astabile) o lineari (ad esempio il ponte di Wienn). Gli oscillatori lineari vanno studiati attraverso il metodo del taglio. Un oscillatore è ad esempio un segnale di clock il quale è però un'onda quadra. Un oscillatore che genera una sinusoide lo troviamo ad esempio in un inverter come segnale di riferimento per l'apertura e la chiusura degli switch dell'inverter.

Ad esempio, in un half-bridge: VaD MR LiVent UER RieMaNn. Il confronto tra l'onda triangolare e la sinusoide genera un segnale che è gestito da un certo driver il quale genera il segnale usato sulle gate dei mosfet per commutare lo stato dello switch. L'onda quadra risultante ha un duty-cycle variabile ed il suo valore medio è una sinusoide. I segnali triangolare e sinusoidale sono generati tramite degli appositi circuiti oscillatori.

Oscillatori lineari

In particolare studiamo gli oscillatori lineari i quali sono circuiti in retroazione che sfruttano il guadagno d'anello il quale rispetta una specifica condizione. In particolare tale circuito in retroazione usa un blocco A che fa da amplificatore ed un filtro in retroazione il quale non è altro che una rete selettiva. Tale rete di retroazione, detta brevemente rete β con Funzione Di Trasferimento (FDT) β(s), è composta da elementi reattivi (induttori e condensatori) e anche da resistori.

Gli oscillatori sono inoltre circuiti con uscita diversa da 0 con un ingresso nullo. L'unica condizione che ci permette di avere un'uscita diversa da 0 ma con ingresso nullo, è quella di avere una retroazione instabile, ovvero il prodotto Aβ deve essere minore di 0, in particolare pari a -1. A differenza di un multivibratore astabile, gli oscillatori non lavorano con un Amplificatore Operazione (AO) in saturazione.

Schema degli oscillatori lineari sinusoidali

Gli oscillatori lineari sinusoidali possono essere così schematizzati: toXs AisiXp BIS. Questo schema rappresenta un sistema in retroazione, come ad esempio un circuito elettronico. Usando la variabile "s" stiamo assumendo che i blocchi siano lineari. Ovviamente gli elementi reattivi possono facilmente essere trattati come elementi lineari. Invece, se nel sistema è presente un transistore, a tale transistore si associa il modello a piccolo segnale, il quale è il modello linearizzato del transistore.

Di norma un segnale di uscita di un sistema in retroazione instabile genererebbe un segnale di uscita che diverge velocemente. Per questo motivo si aggiungono dei circuiti limitatori che permettono di limitare la grandezza di uscita. Il legame-ingresso uscita del sistema retroazionato è: Italia Nichelinisi j WS e. Un oscillatore vuole un'uscita diversa da 0, anche quando l'ingresso Xs è nullo.

Criterio di Barkhausen

L'unico modo per ottenere questa condizione è porre: alsul BisalWiBLI IAi 0 IAi a. Il prodotto Aβ è il guadagno d'anello ed è facilmente calcolabile attraverso il metodo del taglio. In particolare la ω di oscillazione deve essere ω0, ovvero la frequenza a cui voglio che il circuito oscilli. Quest'ultima condizione può essere riscritta come unione di due condizioni: adUtiliAli eJW.lpljw.la aA adJW.IR tA a. Queste due condizioni prendono il nome di "criterio di Barkhausen".

In maniera duale si può anche porre: adJW.IRRe JA 1aadSU.IRIm J 0A a. Questa ultima formulazione è una maniera del tutto equivalente di vedere il criterio di Barkhausen. Se lo sfasamento totale è di 180º (ovvero π), la rete β deve avere come minimo due elementi reattivi, perché un solo elemento reattivo può sfasare al massimo di solo 90º.

La frequenza (o pulsazione) alla quale le due condizioni del criterio sono rispettate, è la pulsazione di oscillazione. La pulsazione in cui la fase del guadagno d'anello è pari a -π, rappresenta la pulsazione di oscillazione. La caratteristica della fase del guadagno d'anello è: AB daduATI no. Questa caratteristica ci dice che per una piccola variazione di una grandezza (ad esempio una variazione di temperatura ΔT) possiamo avere una caratteristica diversa. Se la variazione di fase rispetto a ω0 ha una pendenza elevata, la caratteristica trasla meno, quindi abbiamo una variazione della ω0 ridotta.

Un sistema passa-banda del secondo ordine ha la seguente FDT: LApp 5 a Nòsi Is. Questo è un sistema con una risposta del secondo ordine, ovvero due poli. Inoltre ha due zeri: uno in zero ed uno ad infinito. I poli sono le soluzioni del denominatore: 4mi1two 0 a gas Was anYt Ysi iYEYa ec n'è2 n'aiIjutsuaI poli di un sistema stabile si trovano sul seguente punto del piano di gauss: ImSi RaSe.

Oscillazioni senza smorzamento

In questo caso però avremo oscillazioni con smorzamento. Questo genere di sistema non è quindi un oscillatore, perché vogliamo solo ed esclusivamente oscillazioni senza smorzamento. Per avere delle oscillazioni i poli devono stare esattamente sull'asse immaginario: ImSi Rise. Nota: il parametro che definisce la distanza tra l'asse immaginario e i poli, è la parte reale, ovvero "-ω0/2Q".

Al fine di avere i poli esattamente sull'asse immaginario, tale distanza deve essere nulla, ovvero la pulsazione deve essere nulla, oppure il parametro Q deve essere infinito. Poiché vogliamo delle oscillazioni, ω0 non può essere nulla, quindi l'unico modo per avere oscillazioni è avere Q infinito. Se la distanza è invece positiva, avremo oscillazioni che tendono a divergere. Questo porterebbe ad esempio un AO a saturare e ciò non lo vogliamo.

La soluzione effettiva non è quella di avere i poli esattamente sull'asse, perché accendendo il circuito partiamo da un'uscita nulla e l'uscita resterà nulla in quanto il sistema non è perturbato. La soluzione è quella di avere i poli almeno inizialmente a parte reale positiva in modo da avere l'innesco. Questo si traduce nell'avere un guadagno d'anello non uguale a -1 ma minore di -1. Il diagramma di Nyquist non passa sul punto -1 ma effettua un giro intorno al punto -1.

Quando desideriamo la parte reale positiva, dobbiamo avere una parte reale poco positiva, ovvero la distanza tra l'asse immaginario e i poli deve essere comunque contenuta. Questo perché una volta innescata l'oscillazione i poli devono tornare sull'asse immaginario in modo da avere pure oscillazioni di pulsazione fissata ed ampiezza stabilizzata. Questo accade grazie all'utilizzo di un circuito limitatore che modifica la posizione dei poli (spesso la topologia stessa dell'oscillatore) ponendoli sull'asse immaginario. Se l'ampiezza dell'uscita diventa eccessivamente elevata, il circuito limitatore porta i poli nella zona a parte reale negativa, in modo da ridurre l'ampiezza dell'uscita.

È da specificare che a causa di un'infinità di condizioni di incertezza, la posizione dei poli può non essere definita, ovvero a causa dell'incertezza sui valori dei componenti, la posizione dei poli non è fissa, quindi niente garantisce che progettando la posizione dei poli sull'asse immaginario essa sia sull'asse immaginario. Questo significa che il circuito limitatore porta i poli dalla zona a parte reale positiva alla zona a parte reale negativa. Quando l'ampiezza torna piccola, i poli tornano nella zona a parte reale positiva perché il circuito limitatore si spegne. Il circuito limitatore è un circuito che si accende e si spegne quindi non è lineare e come tale non può essere studiato col metodo del taglio.

Risposta al gradino di un sistema passa banda

In sintesi, grazie al circuito limitatore, i poli si spostano continuamente ma non restano esattamente fissi sull'asse immaginario. Analizziamo la risposta al gradino ottenuta da un sistema passa banda del secondo ordine: IsVill V11 i0Iee È Nésiws sqs. Poiché abbiamo l'intenzione di ricondurci alla forma: is DIe Es. Abbiamo: BE iWo di µegià INo i 401Volsi adf.sia È NoNòs L'àIWo 1 tig Èpt i n'aAnti trasformando secondo Laplace abbiamo: ÈèVolti l'lids Ie n'a.tlsingle.

Il valore di "Q" è sufficientemente grande da poter effettuare le seguenti approssimazioni: È ii ie i ie igià. Da cui otteniamo: ÈVolti è èIe gsinlw.tl4single n'a. La risposta è quindi una sinusoide che oscilla alla frequenza ω0 desiderata.

Esempio di circuito limitatore

Vediamo ora un esempio di circuito limitatore: VicRaDi VaRi RaRiUs toRhDa VB RsNe. Ipotizziamo per il momento che i diodi D1 e D2 sono spenti. Se sono spenti, l'uscita vo e l'ingresso vs sono legati tramite la corrente che scorre in R1 ed in Rf. Il legame ingresso uscita è: È a re. Questo vale finché queste due tensioni sono "piccole". Quando non lo sono, va determinata la condizione per cui i diodi si accendono.

• In particolare, rispettivamente anodo e catodo di D1 e catodo di D2 sono a massa.
• Supponendo D1 e D2 spenti, il potenziale VA vale: IVi ViVa YV0VicV0 13 13 13a IpIp 12pRat Rat RatR R R.
• Similmente, il potenziale VB è: VivoVa laRsa Rs RaRa Rst.
• Possiamo usare VA e VB per determinare a quale valore della tensione di uscita VO si accendono i diodi.
• In particolare, supponendo che D1 e D2 si accendono a una certa tensione VdON le relazioni che permettono di determinare la tensione Vo che accende i diodi sono: V WONVaVa Valon a_a o pari piValonIrRa VicV4 Rsdon eVip Isp _Volontarihaters IVieIla EVaalVii VONVa ivoVa aValor laRsRs RaRa pViaVanva ti iVL VieD EVaal E Viava tiva.nl Ys.

Fino a quando non si ottengono queste condizioni su VA o VB, il circuito è semplicemente un AO in configurazione invertente. La caratteristica del circuito è quindi: NoRRE Ri3Ri Ri vsRaRERi. È stato ipotizzato che la caduta sul diodo sia costante. In questa ipotesi, all'accensione di D1 o D2, la topologia del circuito cambia ed R3 o R4 (a seconda dei casi) si trovano in parallelo alla resistenza di retroazione Rf. Questo risultato può essere usato per modificare la posizione dei poli, agendo sulla rete β. Quando l'uscita inizia a crescere eccessivamente, la rete β cambia la propria topologia modificando così la posizione dei poli.

Supponendo che i diodi accesi presentano una caduta di potenziale diversa da 0, è possibile determinare la tensione di uscita che accende tali diodi. Basta semplicemente porre un'uguaglianza: iVò VieValonDi a EI Via ivai a Vaal Isti. Per un'uscita piccola, il circuito funziona da amplificatore invertente. Se l'uscita aumenta eccessivamente in modulo, entra in funzione il circuito limitatore che limita l'uscita. Questo è il principio da usare sulla rete β degli oscillatori per evitare la saturazione.

Oscillatore a ponte di Wienn

L'oscillatore a ponte di Wienn presenta la seguente configurazione circuitale: RaN NoR CCR. Questo circuito potrebbe rappresentare un oscillatore in quanto non abbiamo nessun ingresso, abbiamo un amplificatore e l'uscita è riportata sull'ingresso non invertente dell'AO. Per capire se il circuito è veramente un oscillatore, va determinato il guadagno d'anello, calcolato in jω e controllare se rispetta il criterio di Barkhausen.

Il metodo più semplice per calcolare il guadagno d'anello, è quello di utilizzare il metodo del taglio. Si taglia qui: Rani NoR CCR. Otteniamo: RaN A ToR CCVtR s'e iR a fras'es'e Nfltassare Rt s'eiA P a _IoVàa NÉ iOx IVoia E E Fras'cVt No eRt IERFras'e s'e iZ FEI II II C 2SS SRIR CRR CS iIIIII Èsarà sarà ire reA P ItZ NÉ l'tII s'rcsarà. In sintesi: PISIAls lIi Iia_sape ire. Definiamo: Ew hai. Da cui: PISIAls l Wo5a fffàe nòse 3Wel sspe èWo LeiW.SI Iwe3s. Poniamo ora: J WS aAlia WIPlis ljjj.li wewe.

Secondo il criterio di Barkhausen: EAli ilwliliwlao.ws jjf.li fwe. Affinché la disuguaglianza sia rispettata, la quantità a sinistra deve essere una quantità reale, in quanto è minore di -1, ovvero una quantità reale: El'twallii w.w.it Yi.wtitw. Affinché la quantità a sinistra diventi puramente reale, va semplificata la "j" al numeratore. Ciò avviene imponendo: ω = ω0: EAliud Blind w.info 1I fwI Z 2h3 nai E. Questa relazione dice che passando dall'uscita alla tensione Vt, abbiamo perso 1/3. Per avere l'oscillazione, la rete β diminuisce di 1/3 il segnale.

Condizione per oscillazioni

Siccome devo auto sostenere il segnale, il segnale Vo va ripristinato tramite l'amplificatore A. Se il guadagno dell'amplificatore è maggiore di 3, l'uscita diverge. Se il guadagno è 3, i poli del sistema stanno sull'asse immaginario. Quest'ultima condizione si raggiunge imponendo R2 maggiore o uguale di 2 volte R1. La soluzione è quella di aggiungere una rete limitatrice che diminuisca il guadagno quando l'uscita tende a valori elevati.

Abbiamo visto l'oscillatore a ponte di Wienn (senza aggiungere il circuito limitatore) ed abbiamo ottenuto la seguente condizione per avere oscillazioni: Z IRRa ZRaR V0eRR e. Dobbiamo ora aggiungere un circuito limitatore che possa evitare di mandare in saturazione l'AO. La soluzione adottata è la seguente: ViUDON 0,7KONI 22 aUsa RaRR VaRi VoeRe Vaona NRhNec.

Supponiamo in particolare per semplicità: Z 6 IRaZ5 IRa aRI RI2 Z MI. Se la tensione di uscita è sufficientemente piccola, i diodi non vanno in conduzione e quindi le oscillazioni possono iniziare senza alcuna limitazione. Per un certo valore di Vo, uno dei due diodi si accende. Notiamo in particolare che il diodo D1 è connesso tra il terminale invertente dell'operazionale e uno dei due capi di R3. In generale mi aspetto che D1 si accenda per valori di Vo negativi mentre D2 si accende per valori di Vo positivi.

In particolare però vogliamo che i diodi si accendano oltre che per limitare l'ampiezza, anche per spostare i poli del sistema. In particolare non deve più valere la condizione d'innesco ed il guadagno d'anello deve valere esattamente -1. Quest'ultima condizione si realizza se: 2 3R iRa aaa fa. Se la Vo raggiunge valori sufficientemente bassi, il diodo D1 si accende e (in prima approssimazione, supponendo che D1 acceso sia equivalente ad un corto) i resistori R2 ed R3 si trovano in parallelo. Dato che R2 fa parte del fattore di amplificazione della rete A, allora tale fattore di amplificazione è cambiato, in particolare è diminuito.

Nota: quando studiamo gli oscillatori, siamo nel dominio AC, quindi le batterie diventano dei corti. Questo significa che in AC (una volta partite le oscillazioni), Vcc può essere visto come 0V, quindi R4 va a ritrovarsi in parallelo con R1. Questo significa che accendendo il diodo D2, e mettendo insieme la condizione precedentemente ottenuta (R2 // R3), otteniamo: IRNRI 30ND D2 I aRif Ra. È importante determinare però la tensione di uscita tale per cui tali diodi si accendono.

Ipotizziamo ora che il diodo abbia un modello a batteria (caduta costante): viVon RuIdi VaRD RaRi VoeRR e Vaona NRhNce iVon V VAvi_ VA va 5 UdonVA yae antii a ne vo3. Effettuiamo ora due LKC ai capi del diodo D1: Vii VonVWonYvaIn v a aVaiVai R R3 4iVA Io_Udon_Non iYI tsir sta. È ha2VIs YI In_sia 3h122. Mettiamo insieme le relazioni: JIn IsiI EIo sini isì ds'a s'e onII sì i dosta n ItIiiil'silitidi nel iii ili ItIf Istat D n.nl iiimonti dNo it litstatiiii iii. Supponendo un circuito simmetrico (i due resistori R3 ed R4 sono appositamente uguali), la relazione che ci dice come si comportano i diodi è fondamentale per il funzionamento dell'oscillatore.