Modelli econometrici per la finanza

Il modello lineare: fondamenti

Perché si chiama "modello"?

In economia, non basta osservare i dati: vogliamo capire una variabile cambia al cambiare di un'altra. Il punto di partenza è una domanda concreta: quanto spende una famiglia in cibo al crescere del suo reddito? Per rispondervi in modo rigoroso, costruiamo un modello econometrico, cioè una rappresentazione matematica semplificata della realtà — che non pretende di catturare tutto, ma cerca di isolare la relazione principale tra le variabili.

Nel linguaggio del modello, la variabile che si vuole spiegare si chiama y (variabile dipendente, es. la spesa alimentare), mentre quella che la spiega si chiama x (variabile indipendente o regressore, es. il reddito). Il modello econometrico di questo tipo si chiama anche modello di regressione.

Il valore atteso condizionato: E(Y|X)

Immagina di dividere tutte le famiglie del tuo campione in gruppi in base al reddito. Per ogni gruppo calcoli la spesa media in cibo. Ecco: stai calcolando il valore atteso condizionato — ovvero E(Y|X), "qual è la spesa media attesa, dato un certo livello di reddito?".

Esempio intuitivo: se prendi tutte le famiglie con reddito di 2.000 €/settimana, alcune spenderanno di più, altre di meno in cibo — ma avranno una media. Quella media è E(Y|X=20). Il modello di regressione descrive come questa media cambia al variare del reddito.

Se esiste una relazione, il valore atteso di Y varia al variare di X. La forma più semplice di questa relazione è una retta:

E(y|x)=β₁+β₂x

Intercetta e pendenza: cosa significano davvero?

Questa formula ha due ingredienti:

• β₁ — intercetta: è il valore medio di y quando x=0. Nel nostro esempio, sarebbe la spesa alimentare attesa di una famiglia con reddito zero (un valore un po' artificioso, ma matematicamente necessario come punto di partenza della retta).
• β₂ — pendenza (slope): indica di quanto cambia la spesa in cibo quando il reddito aumenta di una unità. È esattamente il coefficiente angolare che hai studiato in matematica — solo che qui ha un'interpretazione economica concreta.

Formalmente, la pendenza si scrive come:

ΔE(y|x)=β₂Δx

Non spaventarti dalla notazione: Δ significa semplicemente "variazione di". Se il reddito aumenta di 100 €, la spesa in cibo aumenta in media di β₂ × 100 €.

L'errore: il "rumore" del mondo reale

Fin qui abbiamo parlato di medie. Ma nella realtà, ogni osservazione individuale y_i non coincide mai esattamente con la retta. Una famiglia potrebbe spendere molto di più o molto di meno in cibo rispetto alla media del suo gruppo di reddito — per mille ragioni che il modello non cattura: numero di figli, dieta, abitudini, errori di misura…

Per questo, il modello completo include un termine di errore e_i:

Y_i=β₀+β₁X_i+e_i

L'errore e_i è la differenza tra il valore reale osservato e quello previsto dalla retta. Non è un difetto del modello: è il riconoscimento onesto che la realtà è più complessa di qualsiasi formula.

Analogia: pensa alla previsione meteo. Il modello prevede 20°C, ma fuori ne trovi 22°. Quei 2° di differenza sono il tuo "errore". Non significa che il modello sia sbagliato — significa che ci sono fattori imprevisti (un fronte caldo improvviso, l'effetto dell'asfalto…).

Perché l'errore medio deve essere zero?

Una domanda naturale è: quanto è grande, in media, l'errore? La risposta deve essere zero:

E(e|x)=0

Questo non significa che ogni singolo errore sia zero — significa che gli errori si compensano: se alcune famiglie spendono più del previsto, altre meno, e in media si bilanciano. Se l'errore medio fosse diverso da zero, significherebbe che il modello sistematicamente sbaglia in una direzione — e questo sarebbe un problema serio.

Riscrivendo in modo equivalente:

e=y−(β₁+β₂x) ⟹ y=β₁+β₂x+e

Questa è la forma completa del modello: parte spiegata (β₁+β₂x) più parte non spiegata (e).

Una piccola nota terminologica semplice

Le slide precisano che questo si chiama regressione semplice — non perché sia facile, ma perché ha una sola variabile esplicativa x. Più avanti nel corso vedremo la regressione multipla, dove si usano più regressori contemporaneamente per spiegare meglio la variabile dipendente.

Le ipotesi del modello SR1–SR6

Nella lezione precedente abbiamo costruito il modello. Ora dobbiamo chiederci: quando possiamo fidarci di questo modello? La risposta sta in sei ipotesi fondamentali — note come assunzioni SR (Simple Regression) — che devono essere rispettate affinché le nostre stime siano valide e affidabili.

SR1 — La relazione è lineare

y=β₁+β₂x+e

La prima ipotesi afferma semplicemente che la relazione tra x e y può essere descritta da una retta. Sembra ovvia, ma non lo è: molte relazioni economiche reali sono non lineari (ad esempio, la produttività aumenta all'aumentare dell'esperienza, ma a ritmo decrescente). Quando usiamo un modello lineare, stiamo scegliendo consapevolmente di approssimare la realtà con una retta. Se la vera relazione è fortemente curvilinea, questa ipotesi è violata e il modello ci darà stime distorte.

Esempio: immagina la relazione tra ore di sonno e performance lavorativa. Con 0 ore sei azzerato, con 7–8 sei al massimo, con 14 ore di sonno torni a essere improduttivo. Questa relazione ha una forma a "campana" — modellarla con una retta semplice sarebbe sbagliato.

SR2 — L'errore ha media zero

E(e)=0

Questa ipotesi dice che il modello non sbaglia sistematicamente in una direzione. Gli errori si distribuiscono in modo casuale — alcuni positivi, alcuni negativi — ma in media si bilanciano a zero. Se questa condizione non fosse rispettata, significherebbe che stiamo dimenticando qualcosa di importante nel modello: un fattore che spinge sempre la y verso l'alto (o verso il basso) rispetto alla nostra previsione.

Esempio: se stai modellando i salari ma hai dimenticato di includere il livello di istruzione, e nel tuo campione ci sono molti laureati, il tuo modello sottostimerebbe sistematicamente i salari → E(e)≠0. Questa è la cosiddetta distorsione da variabile omessa, che vedremo meglio nel Blocco 5.

SR3 — La varianza dell'errore è costante (omoschedasticità)

Var(e)=σ²

Questa è forse l'ipotesi più "insidiosa" da comprendere. Afferma che la variabilità degli errori intorno alla retta è la stessa per tutti i valori di x. In gergo tecnico si chiama omoschedasticità (dal greco: omós = uguale, skédasis = dispersione).

Quando invece la varianza degli errori cambia al variare di x, si parla di eteroschedasticità — e questo è un problema comune nei dati economici:

Esempio classico: considera la relazione tra reddito familiare e spesa alimentare. Le famiglie povere hanno scarse alternative: la loro spesa in cibo è abbastanza prevedibile. Le famiglie ricche, invece, hanno scelte molto più variegate — chi spende in ristoranti stellati, chi cucina a casa con prodotti biologici, chi compra solo cibi economici per scelta. La variabilità della spesa aumenta con il reddito → eteroschedasticità.

In caso di eteroschedasticità, OLS rimane non distorto — ma perde la proprietà di efficienza (non è più il migliore stimatore possibile) e gli errori standard diventano errati, invalidando i test di ipotesi.

SR4 — Gli errori non sono correlati tra loro

Cov(e_i, e_j)=0 per ogni i≠j

Questa ipotesi afferma che sapere quanto ha sbagliato il modello per l'osservazione i non ci dice nulla su quanto sbaglierà per l'osservazione j. Le osservazioni sono statisticamente indipendenti.

Questa condizione è facile da rispettare quando si lavora con dati cross-section (un campione di individui, aziende, paesi... misurati nello stesso momento). Diventa molto più critica con le serie storiche, dove i valori dipendono tipicamente dai valori passati. Se oggi l'inflazione è alta, è probabile che lo sia anche domani: gli errori sono autocorrelati. In econometria questo fenomeno si chiama autocorrelazione ed è una delle violazioni più comuni nei dati temporali.

Esempio: i rendimenti giornalieri delle azioni mostrano spesso "clustering di volatilità": periodi di alta turbolenza si alternano a periodi calmi. Questo significa che la varianza degli errori di oggi è correlata con quella di ieri — SR4 viene violata.

SR5 — Il regressore deve variare

La variabile x non deve essere casuale e deve assumere almeno due valori distinti. Sembra banale, ma ha un senso profondo: se x è sempre uguale per tutte le osservazioni, non possiamo mai osservare cosa succede a y quando x cambia — e quindi è impossibile stimare la pendenza β₂.

Esempio: vuoi stimare l'effetto dell'istruzione universitaria sul salario, ma nel tuo campione hai solo laureati. Non hai variazione in x → impossibile stimare l'effetto.

SR6 — Normalità degli errori (facoltativa)

e∼N(0,σ²)

Questa ipotesi non è necessaria per stimare i parametri, ma è importante per fare inferenza statistica (test di ipotesi e intervalli di confidenza) con campioni piccoli. Se gli errori sono normalmente distribuiti, anche gli stimatori b₁ e b₂ seguono una distribuzione normale — e questo ci permette di usare la statistica t per testare se i coefficienti sono significativamente diversi da zero.

Con campioni grandi (n>30 circa), grazie al Teorema del Limite Centrale, la normalità degli errori diventa meno critica: gli stimatori OLS tendono alla normalità anche senza questa ipotesi.

Le ipotesi come sistema: il Teorema di Gauss-Markov

Quando tutte le ipotesi da SR1 a SR5 sono rispettate (SR6 non è necessaria), il Teorema di Gauss-Markov garantisce che lo stimatore OLS è BLUE — Best Linear Unbiased Estimator:

In altri termini: se rispetti le regole del gioco (le ipotesi SR), OLS è lo strumento migliore che hai a disposizione. Violare anche solo una di queste ipotesi può compromettere la qualità delle stime, a volte in modo grave.

L'eteroschedasticità

L'eteroschedasticità si verifica quando la varianza degli errori non è costante al variare di x, violando l'ipotesi SR3. Non è un caso raro: è uno dei problemi più frequenti nei dati economici reali, tanto che nel 2003 Robert Engle ha vinto il Premio Nobel proprio per aver sviluppato modelli in grado di gestirla nelle serie storiche finanziarie.

Omoschedasticità vs eteroschedasticità a confronto

Visivamente, la differenza è immediata:

• In un modello omoschedastico, i punti del grafico a dispersione sono distribuiti attorno alla retta di regressione con una "fascia" di ampiezza costante — come un tubo uniforme lungo tutta la retta.
• In un modello eteroschedastico, quella fascia si allarga (o si restringe) al crescere di x: gli errori diventano più grandi (o più piccoli) man mano che la variabile esplicativa aumenta.

Esempi concreti dal mondo reale

1. Prezzi delle case e dimensione

Considera la relazione tra superficie di un appartamento (x) e prezzo di vendita (y). Un bilocale da 50 mq avrà prezzi abbastanza prevedibili in una certa zona. Un attico da 300 mq, invece, può valere 800.000 € o 3.000.000 €, a seconda di finiture, vista, piano, storia dell'edificio… La variabilità dei prezzi esplode con la dimensione → eteroschedasticità.

2. Dimensione dell'impresa e fatturato

Come già accennato nelle slide, nelle piccole imprese le vendite oscillano poco perché i mercati serviti sono limitati. Nelle grandi multinazionali, invece, il fatturato dipende da campagne globali, cicli economici internazionali, acquisizioni improvvise — la variabilità è enorme. Stesso fenomeno: più grande è l'impresa, più volatile e imprevedibile è il fatturato.

3. Rendimenti azionari nel tempo

I mercati finanziari mostrano il cosiddetto "volatility clustering": dopo un crollo di borsa, i rendimenti giornalieri oscillano violentemente per settimane; nei periodi tranquilli, invece, sono quasi piatti. La varianza degli errori cambia nel tempo in modo sistematico. È precisamente per questo che Engle ha inventato i modelli ARCH/GARCH, che modellano esplicitamente questa eteroschedasticità condizionata.

4. Reddito e risparmio

Le famiglie povere hanno margini di risparmio ridottissimi e abbastanza prevedibili (quasi zero). Le famiglie ricche possono invece risparmiare quote molto variabili del reddito — chi investe in borsa, chi acquista immobili, chi spende tutto in consumi di lusso. Più alto è il reddito, più alta è la variabilità del comportamento di risparmio → classico schema eteroschedastico.

Cosa succede se la ignoriamo?

Ignorare l'eteroschedasticità ha conseguenze precise:

In pratica: troveresti coefficienti "giusti" ma con la sensazione sbagliata della loro precisione — potresti concludere che un effetto è significativo quando non lo è, o viceversa.

Come si rileva?

Esistono tre strumenti principali:

1. Analisi grafica dei residui: si traccia un grafico dei residui ê_i contro i valori di x_i. Se la dispersione aumenta sistematicamente, l'eteroschedasticità è visibile a occhio nudo.
2. Test di Breusch-Pagan: si regredisce il quadrato dei residui su x. Se la relazione è statisticamente significativa, c'è eteroschedasticità.
3. Test di White: più generale del Breusch-Pagan, non richiede di specificare la forma dell'eteroschedasticità — include anche i termini quadratici e i prodotti incrociati tra regressori.

Come si corregge?

Ci sono tre approcci principali:

• Errori standard robusti (di White): si mantiene OLS ma si correggono gli errori standard per tener conto dell'eteroschedasticità. È la soluzione più usata nella pratica empirica moderna.
• Minimi Quadrati Ponderati (WLS): si assegna un "peso" maggiore alle osservazioni con varianza minore, "deflando" quelle più rumorose. È come dare meno credito alle osservazioni meno affidabili.
• Trasformazione logaritmica: prendere il logaritmo della variabile dipendente stabilizza spesso la varianza, riportando il modello in condizioni di omoschedasticità.

La stima dei parametri con OLS

Abbiamo costruito il modello e definito le ipotesi. Ora arriva la domanda pratica: come troviamo concretamente i valori di β₁ e β₂? Benvenuto nel cuore operativo dell'econometria.

Il punto di partenza: i dati

Le slide usano un esempio reale con 40 famiglie monitorate per reddito settimanale e spesa alimentare. Prima di stimare qualsiasi cosa, è buona pratica fare un'analisi descrittiva:

Già da questi numeri emerge qualcosa di interessante: la spesa alimentare ha una variabilità elevata (dev. std. di 112 $) — segno che il reddito da solo probabilmente non spiega tutto il comportamento delle famiglie.

Il passo successivo è lo scatter plot: visualizzare i punti (x_i, y_i) sul piano cartesiano. Se la nuvola di punti segue un andamento crescente da sinistra a destra, c'è un'indicazione visiva di relazione positiva tra reddito e spesa — esattamente ciò che ci aspettiamo.

Il problema: quale retta scegliere?

Attraverso una nuvola di punti si possono tracciare infinite rette. Quale è la "migliore"? Dobbiamo definire un criterio oggettivo per sceglierla.

L'idea è semplice: vogliamo la retta che si avvicina di più a tutti i punti contemporaneamente. La distanza verticale tra un punto osservato y_i e il corrispondente punto sulla retta ŷ_i è il residuo:

ê_i = y_i − ŷ_i = y_i − b₁ − b₂