Modelli

Per modelli risposte categoriche ordinate

Il distinti R with Yr valori assumere denote 21r R categorie puo Le ordinate sono categorie di di 92 ya In meno meno es dei light sintomi Gravità serio vino netest Result of a Satisfaction Likert scale disagree agree strongly strongly il è etichettata con r la numero yr categoria.

Solitamente è è scala ordinale essere di dobbiamo misurazione che r un'etichetta la solo consapevoli es livello di etichettato essere soddisfazione puo 1 Basso 2 Intermedio che numeri si tuttavia solo ordinate quindi etichette più 1, 2 sono 3 i significa affermare può si della affermare di da quando si non l'aumento sia che 1 ma a soddisfazione 22 passa può soddisfi passa da si 03 quando stesso 2 che lo 1.

Perché no alla regressione lineare?

Usare la regressione lineare su categorie codificate come numeri 1, 2, 3...) è un approccio “naïf” (ingenuo) per due motivi:

• Distanze arbitrarie: La regressione lineare assume che la distanza tra 1 e 2 sia uguale a quella tra 2 e 3. Nella realtà, tra “basso” e “medio” potrebbe esserci una differenza diversa rispetto a quella tra “medio” e “alto”.
• Mancanza di normalità: I dati categoriali non seguono una distribuzione a campana Normale). Spesso presentano:
• Pochi valori distinti.
• Asimmetria.
• Effetti “floor” o “ceiling”: Molte risposte si accumulano agli estremi della scala (es. quasi tutti scelgono “alto”).

And likelihood distribution

4 R valori variabile che distribuzione casuale di come prende è in una nota La categorie del Bernoulli è categorie 2 che una generalizzazione categorico per cumulative prob prob. category category specific indicators prob response category right left leq Py1 right left piYP1 right left ny1 I vdots ARP2y right left P2y right left piP2y left right vdots vdots vdots right left leq YRP right left YRyI right left piRPy times ldot piRy1 right left leq RPy1 Sigma right left YRP1r mass pmf function prob( (Cumulative GLM un è modello GIM lineare cui 4 generalizzato modello in categoriale una risposta un per lineare è left g a trasformazione una della predittore probabilità equiparata right un gamma right left leq XBPgy1ri ldots R1r left g cdot right ho link 4 g function ho ca eser 3 threshold th the cutPoints for cum Egrr 2yyai or gamma prob cutpoint 1X1i without beta linear predictor intercept notiamo ha che lineare un il perché predittore segno B0.

Con il meno

Con il meno: Grazie al segno negativo, se il coefficiente è positivo, significa \beta che all’aumentare di , aumenta la probabilità che la risposta cada nelle categorie Xpiù alte della scala (es. passare da “basso” ad “alto”).

• In breve: il segno meno serve a far sì che “più ” significhi “più ”. X Y

Regressioni parallele

Calcolare di r Come categoriala specifica prob una gamma right left leq BPgyx1ri di tutte la lineare Quale è lo stesso le avere per categorie conseguenza predittore.

La risposta è l’ipotesi delle regressioni parallele (o proportional odds assumption):

• Il coefficiente \beta indica che un incremento di x sposta la probabilità di passare da una Borβ categoria all’altra nello stesso modo, indipendentemente da quale sia la soglia considerata.
• Graficamente, se rappresentiamo il valore trasformato g in funzione di x, otteniamo delle linee parallele. La distanza tra le linee è data solo dalla differenza tra le soglie \gamma_r, ma la pendenza (determinata da \beta) è identica.

La slide spiega che questa ipotesi cade quando un fattore non sposta semplicemente l’intera distribuzione a destra o a sinistra, ma ne cambia la “forma” o la dispersione.

Immagina che misuri quanto una persona è lunatica. x

• Le persone molto lunatiche potrebbero tendere agli estremi (rispondono solo “molto male” o “molto bene”, ignorando le categorie centrali).
• In questo caso, l’effetto di non sposta semplicemente la probabilità in una x direzione (rendendo tutto “più probabile” o “meno probabile”), ma cambia la forma della distribuzione (la allarga o la stringe).
• In termini matematici: la pendenza delle linee nel grafico cambierebbe a seconda della categoria. Le linee non sarebbero più parallele.

Odds proportional model

Gamma right left leq BPyx1ri logit gamma right frac exp left leq BPyx1ri right left leq YP1ri Odds Odds Proportional Model di la categoria eccedere r moods gamma alpha right beta frac exp left leq Pyx1ri di odds la eccedere categoria r non gamma right beta frac exp left leq P2yxri.

Consideriamo due individui A e B con gli stessi valori delle covariate ad eccezione della k-esima covariata, per la quale individuo B ha il valore dell’individuo A più 1, quindi la differenza XABK nel lineare. Il predittore è: è questa legato prop fatto al che no un tutte comune B a le gamma matrix begin right frac end exp left leq AXYBRPkr categorie. odds dipsolo da BK coeff dalla non categoria.

Quindi Br l’odds ratio r ogni cioè è costante è categoria per exp per qualsiasi categoria.

Proprietà prob proporzionali delle categorie

Logit Probit or 1 probit Normal std sigma Std logistic logit sigma con g sqrt frac pi831 Biogit Bprobit1,8I probit I logit Xx.

Effetto marginale

Effetto marginale di è covariata continua una marginale L’effetto gamma partial right cdot beta frac left leq XYBPFkx