Metodi statistici per l’economia e l’azienda

Metodi statistici per l'economia

Test d'ipotesi

Un'ipotesi è un'affermazione su un parametro della popolazione. La definizione di ipotesi è piuttosto generica, ma il punto importante è che un'ipotesi fa un'affermazione sulla popolazione. L'obiettivo di un test di ipotesi è quello di decidere, sulla base di un campione della popolazione, quale delle due ipotesi complementari è vera.

Le due ipotesi complementari di un test si chiamano ipotesi nulla e ipotesi alternativa. Sono indicate rispettivamente con H₀ e H₁. Se Θ denota un parametro della popolazione, il formato generale delle ipotesi nulle e alternative è:

• H₀: Θ ∈ Θ₀
• H₁: Θ ∈ Θ₁

dove Θ₀ è un sottoinsieme dello spazio dei parametri e Θ₁ è il suo complemento.

In un problema di verifica di ipotesi, dopo aver osservato il campione, lo sperimentatore deve decidere se accettare come vero H₀ o rifiutare H₀ e decidere che H₁ è vero.

Procedura di verifica delle ipotesi

Una procedura di verifica delle ipotesi o test di ipotesi è una regola che specifica:

• Per quali valori del campione si decide di accettare come vero H₀.
• Per quali valori campionari viene rifiutato H₀ e viene accettato come vero H₁.

Il sottoinsieme dello spazio campionario per il quale H₀ sarà rifiutato è chiamato regione di rifiuto o regione critica. Il complemento della regione di rifiuto è chiamato regione di accettazione.

Metodi di ricerca dei test

• Test del rapporto di verosimiglianza

Il metodo del rapporto di verosimiglianza per la verifica delle ipotesi è correlato agli stimatori della massima verosimiglianza e i test del rapporto di verosimiglianza sono ampiamente applicabili come la stima della massima verosimiglianza. Ricordiamo che se X è un campione casuale da una popolazione con pdf o pmf (può essere un vettore), la funzione di verosimiglianza è definita come:

L(X | Θ) = ∏_i=1ⁿ f(x_i | Θ)

Sia Θ a denotare l'intero spazio dei parametri. I test del rapporto di verosimiglianza sono definiti come segue:

• H₀: Θ ∈ Θ₀
• H₁: Θ ∈ Θ₁

La statistica del rapporto di verosimiglianza per testare H₀ contro H₁ è:

Λ(X) = L(X | Θ₀) / L(X | Θ) ∈ {Λ(X) ≤ c}

Un test del rapporto di verosimiglianza (LRT) è un test che ha una regione di rifiuto della forma {Λ ≤ c ≤ 1}, dove c è un numero qualsiasi che soddisfa la condizione.

La logica alla base degli LRT può essere meglio compresa nella situazione in cui f(x | Θ) è la pmf di una variabile casuale discreta. In questo caso, il numeratore di Λ(X) è la massima probabilità del campione osservato, calcolata sui parametri dell'ipotesi nulla. Il denominatore di Λ(X) è la massima probabilità del campione osservato su tutti i parametri possibili. Il rapporto tra questi due massimi è piccolo se ci sono punti dei parametri nell'ipotesi alternativa per i quali il campione osservato è molto più probabile che per qualsiasi punto dei parametri nell'ipotesi nulla. In questa situazione, il criterio LRT dice che H₀ dovrebbe essere rifiutato e H₁ accettato come vero.

Se pensiamo di effettuare la massimizzazione sia sull'intero spazio dei parametri (massimizzazione non ristretta) sia su un sottoinsieme dello spazio dei parametri (massimizzazione ristretta), allora la corrispondenza tra LRT e MLE diventa più chiara.

Supponiamo che esista Θ^ML, un MLE di Θ che si ottiene facendo una massimizzazione non ristretta di:

Θ^MLE = arg max L(X | Θ)

Possiamo anche considerare il MLE di Θ₀, chiamato Θ₀^MLE, ottenuto con una massimizzazione ristretta, assumendo che Θ₀ sia lo spazio dei parametri. Cioè, Θ₀^MLE è il valore di Θ₀ che massimizza L(X | Θ₀).

Quindi, la statistica LRT è:

Λ(X) = L(X | Θ₀^MLE) / L(X | Θ^MLE)