Metodi e tecnologie per l'insegnamento della matematica

Modulo 11.1 La didattica della matematica

La didattica della matematica è una disciplina che indaga sui processi di insegnamento e apprendimento da pochi anni. Grandi didatti della matematica: Montessori, Frainet, Ghines, Stone, movimento costruttivista e gli approcci più recenti che studiano quel legame tra educazione matematica e scienze cognitive.

A partire dagli anni ’80 ci fu una nuova spinta verso una nuova innovazione: riflessioni di stampo costruttivista cominciarono a emergere e affermarono quello che si può definire un nuovo sviluppo delle teorie piagetiane. Il costruttivismo afferma che non vi è apprendimento vero se il discente non costruisce in prima persona i contenuti del sapere. Viene criticato il modello trasmissivo secondo cui l’insegnante è l’unico detentore del sapere e trasmette le informazioni trasferendole agli allievi. Essi devono semplicemente ascoltare l’insegnante e consolidare le loro conoscenze e abilità facendo gli esercizi.

Questo modello non creerebbe un apprendimento efficace per i costruttivisti, perché il ragazzo, per avere un apprendimento efficace, deve far propri i concetti e le strategie. Per fare questo i concetti e strategie dovrebbero essere scoperti da lui in prima persona. Questa modalità richiede una forte accelerazione sull’apprendimento per scoperta, la didattica laboratoriale, il problem solving. Richiede un ridimensionamento della figura del docente “tradizionale”, una nuova riflessione nei confronti dell’errore che deve essere concepito in modo positivo e come una tappa necessaria per la costruzione del sapere.

Parecchi didatti riprenderanno queste idee per poi ampliarle. Quando si parlerà di Breussou, che teorizzò la teoria delle situazioni didattiche, è uno degli esponenti della scuola francese costruttivista. La teoria descrive queste situazioni: situazione frontale, innovativa e l’apprendimento che avviene quando non si sta a lezione. Un altro esponente è Chevellard ricordato per il triangolo insegnante, allievo, sapere. Il paradigma e la scuola che sarà più trattata nel corso sarà quella anglosassone con Vandevollin e Lovin, ricercatori che creeranno un curriculum di stampo costruttivista. Loro fanno veicolare l’insegnamento con una struttura per problemi che devono dare la libertà al bambino di scegliere la strategia con la quale vuole risolverli.

Questo stampo costruttivista ha subito forti critiche in quanto banalizza la matematica, col fine di rendere la disciplina più accessibile va promulgare un matematica troppo facile e priva di contenuti. Il paradigma andrebbe contro l’apprendimento di argomenti difficili. In realtà gli esercizi non sono banditi, l’importante è che siano compresi dallo studente, non devono essere meccanici, aiutano ad assimilare ancora di più i contenuti.

Un’altra critica è l’eccessiva attenzione alla comprensione a scapito della correttezza: rigore. In realtà è un fraintendimento del principio costruttivista stesso più che della sua applicazione.

La terza critica è quella di amputare il curriculum tradizionale. In questo i costruttivisti dicono che in realtà i curricola non vengono tagliati; si tolgono porzioni di argomenti obsoleti, ripetitivi che non vanno a formare lo studente ma fomentano l’avversione per la matematica.

Quarta e quinta critica: scarsa applicabilità in classe e debolezza di testi e curriculum. I testi e i curricola non sono sempre connessi con questo stampo costruttivista. In classe occorre fare una rivoluzione nel modo di insegnare. Però potrebbe essere utile trovare nodi concettuali da trasferire in questa modalità e con il tempo allargare il numero di questi nodi.

Jon Vandewolli e la Lovin. Jon è stato uno dei maggiori esponenti del costruttivismo in didattica della matematica, ha insegnato nella scuola primaria, università e corsi di formazioni per insegnanti in servizio. Il suo lavoro, dopo la sua morte nel 2006, continua a essere proseguito dalla sua co ricercatrice Lovin. Anche lei proviene dalla scuola e attualmente è docente di didattica della matematica e si occupa della formazione degli insegnanti dall’infanzia alla secondaria di primo grado. Insieme creano il curriculum Vandebolli Lovin. È un curriculum di tipo verticale, K12, progettato non secondo un orizzonte temporale orizzontale ma verticale. Non è limitato ai singoli cicli scolastici ma per 12 anni, quindi dalla scuola d’infanzia (K sta per kindergarten) sino alla scuola superiore che negli USA dura 4 anni.

Il modello costruttivista dell’apprendimento

Il bambino apprende solo se costruisce il proprio sapere in prima persona. C’è una richiesta di ristrutturazione da parte dell’insegnante e una costruzione del sapere che dobbiamo fare nostra, ristrutturare i nostri pensieri, tra cui come approcciarci alla classe, come spiegare, valutare gli errori. Una cosa importante è capire come avviene il processo di costruzione di un’idea cioè qual è il processo di costruzione che il bambino potrebbe usare per apprendere quell’oggetto.

Una caratteristica che accomuna la costruzione di un concetto è la dinamicità: i bambini apprendono i nodi concettuali matematici e non in maniera dinamica, cercando di aggiornare le conoscenze che hanno fino a ora al fine di creare delle connessioni tra oggetti che sono già in loro possesso. Più oggetti possono essere in loro possesso più hanno probabilità di legarli tra loro e creare le reti di conoscenze.

Ad esempio si fa riferimento a come il bambino può comprendere il numero 7, che significa capire la quantità del 7, il valore, la grafica, lo spelling. Significa instaurare quella rete di collegamenti con vari concetti che possediamo, significa sapere che è minore di 10 ma più grande di 2, che è la combinazione di 6+1, che è dispari, che 7 sono i giorni della settimana, dei nani di Biancaneve. Tutte queste conoscenze mi vanno a creare il concetto di 7. Sono conoscenze che magari non sappiamo tutte insieme.

Come possiamo aiutare gli allievi a costruire queste interrelazioni significative? Ci sono tre fattori che agevolano questa costruzione:

• Pensiero riflessivo: gli autori pongono una sottolineatura alla componente individuale dell’apprendimento. È importante l’interazione coi compagni ma il processo di riflessione i bambini lo devono vivere e deve essere attivo perché questo momento di riflessione li aiuta a integrare i concetti vecchi con quelli nuovi, a astrarre, capire come applicare le strategie di soluzione in contesti diversi. È un momento individuale.
• Interazione coi compagni: si può imparare anche dalle idee degli altri e dalla comunicazione di queste idee. Inoltre tutti i bambini stanno facendo la stessa attività cioè trovare una strategia per risolvere un problema e la messa in condivisione di queste strategie può arricchire ogni singolo allievo anche a livello sociale perché devono rispettare le idee altrui, apprezzarle, capirle. C’è anche un’importanza narrativa quindi. Nell’interazione c’è anche l’importanza di valorizzare l’errore. La matematica ci offre l’opportunità di capire se un concetto è vero o falso non tramite un verdetto dell’insegnante ma tramite la semplicità della matematica stessa che risponderà a eventuali errori.
• Ricorso a modelli e materiali: in maniera solo verbale parlare di matematica è poco utile. Invece costruire modelli concreti, attività… è molto importante e inevitabile per avere dimestichezza con questa materia.

1.2 PBL

In una situazione didattica l’allievo non riesce ad agire come reale artefice della propria conoscenza e quindi è una situazione poco efficace per un deep learning. La didattica costruttivista suggerisce di ridimensionare la lezione frontale e le situazioni didattiche in modo da procedere per l’insegnamento per problemi (PBL).

Il PBL nasce nei corsi di medicina universitari statunitensi. È definito dagli articoli di Barrows e Tamblin nel 1980. Successivamente adottata anche in ambiti più vasti dei corsi universitari tra cui la scuola primaria.

Il PBL è “l’apprendimento che scaturisce dal processo che consiste nel lavorare per la comprensione o la risoluzione di un problema. Il problema viene incontrato per la prima volta nel processi di apprendimento e serve come focus o stimolo per l’applicazione di abilità di problem solving o di ragionamento, così come per la ricerca di informazioni o conoscenze richieste per capire i meccanismi messi in atto nel problema e per determinare come possa essere risolto.” Barrows e Tamblyn (1980)

Ciascun medico parte quindi da un problema e si occupa di risolverlo. Il PBL presenta affinità con l’enquiry-based learning. La differenza è che in questi approcci si danno agli studenti ricerche su temi assegnati che devono essere svolti con metodi simili a chi fa il ricercatore. Quindi nel PBL c’è più enfasi sul ragionamento ipotetico deduttivo, mentre nell’EBL si predilige il ricorso a metodi d’indagine scientifica.

Nel PBL gli studenti lavorano in piccoli gruppi, aiutati da un facilitatore per lo più ambulante (risponde alle domande, pone domande aperte, incoraggia gli studenti, coinvolge). Viene assegnato alla classe un problema complesso e poco strutturato, su cui si danno, inizialmente, poche info così gli studenti si fanno parte attiva del processo ponendosi domande tra di loro e ponendole ai facilitatori per poi ipotizzare la risoluzione del problema.

• Domande per più info??
• Riflessione/ipotesi di risoluzione.
• Definizione delle learning issues: argomenti per cui si ha bisogno di approfondimenti. Con un tema poco strutturato i gruppi si renderanno conto che per risolvere dei dubbi si ha bisogno di un approfondimento perché non si hanno conoscenze/preconoscenze sufficienti. Ciascuno studente ricerca per conto proprio.
• Nuova condivisione nel gruppo.
• Fase astrazione: gli studenti si interrogano su quello che hanno appreso e lavorano sul problema e si interrogano su quanto quello che hanno appreso può essere trasferito in altri contesti. In questo caso il ruolo del facilitatore oltre a rispondere alle domande è di colui che fa domande che incoraggiano gli studenti a fornire giustificazioni e le strategie adottate, favoriscono coinvolgimento dei partecipanti.

Possibili perplessità

• Avere un facilitatore per ogni gruppo è irrealistico nella scuola primaria. Il facilitatore è l’insegnante o il tirocinante. Dovrà coordinare simultaneamente tutti i gruppi. La soluzione è diventa facilitatore ambulante.
• Perché ai bambini viene richiesto continuamente “spiegazioni”, mentre viene sconsigliato all’insegnante? (autorità). Fatta correttamente la PBL non esclude lezione frontale e suggerimenti. Ad esempio il time for telling, che non copre tutto il tempo della lezione ma solo just in time e just in case. Abusare dei sistemi trasmissivi incoraggia pigrizia e deresponsabilizzazione e il chatting nella classe.
• L’approccio è bello, ma richiede molto tempo: come faccio a finire il programma? (tempo buttato o risparmiato?) È un tempo risparmiato alla ripetizione degli argomenti perché dal momento che lo studente è partecipe sicuramente farà molto bene.
• I problemi sono importanti, anche io li uso spesso, ma perché dovrei insegnare solo per problemi? Dobbiamo abolire gli esercizi e il far pratica? (esercizi come consolidamento)
• Il mio sussidiario è tradizionale: come faccio a conciliarlo con l’insegnamento per problemi? Nei libri i problemi sono esercizi e non veri e propri problemi ma è importante usare al meglio l’editoria, quindi usare quegli esercizi solo per consolidare.

In classe

Dare problemi impegnativi. I compiti corretti devono trovarsi nella ZSP cioè il bambino non sa risolvere da solo ma con un supporto esterno (di pari o facilitatore). La sfida del problema deve riguardare la competenza matematica, quindi mai dare contesti troppo elaborati. Dobbiamo chiedere giustificazioni delle risposte dare e riflettere su di esse.

Buoni motivi per usare questo metodo:

• Si focalizzano l’attenzione sulle idee e sulla loro comprensione.
• Si rafforza l’autostima: ogni volta che diamo un problema a un bambino, è come se gli dicessimo “Credo in te, so che sei capace di risolverlo”.
• Si ottengono dati importanti per la valutazione, che possono essere usati per programmare la prossima lezione, aiutare bambini in difficoltà, valutare i progressi, comunicare con i genitori.
• Si tengono gli studenti impegnati, riducendo i problemi di disciplina; seguire passivamente istruzioni è noioso, quindi i bambini si distraggono e disturbano.
• Si sviluppano le abilità di problem solving, ragionamento, comunicazione, collegamento e rappresentazione.
• È divertente, sia per il bambino, sia per l’insegnante.

Strutturare una lezione

Fase “prima” la fanno i docenti:

• Preparare mentalmente i bambini al compito: iniziare ad esempio con una semplificazione del problema, brainstorming, per gruppi.
• Essere sicuri che la consegna sia compresa - es. far riformulare il problema.
• Stabilire delle aspettative: il bambino deve avere chiaro quello che noi gli stiamo chiedendo ma anche noi dobbiamo avere chiaro quello che ci aspettiamo dal bambino.

Fase “durante” i bambini eseguono il compito: lasciar lavorare gli allievi, ascoltare, dare suggerimenti, osservare e valutare.

Fase “dopo” fa partecipare tutto: discutere, accettare le soluzioni senza giudicare, lasciar giustificare le strategie usate e risultati attesi - attenzione agli elogi!!!! (scoraggiano chi non li riceve, meglio interventi neutrali come richiesta di maggiori informazioni e mostrare interesse).

Il PBL non si sposa con la valutazione tradizionale. È una valutazione formativa. Scopo principale: ottenere dati utili per stimolare un apprendimento più efficace.

• È condotta in itinere.
• Usa un ventaglio più ampio di metodi e fonti di informazione rispetto ai compiti in classe o alle interrogazioni per vedere la crescita del ragazzo.

La valutazione è una parte integrante dell’insegnamento. Mi serve per programmare le attività successive.

La valutazione dovrebbe cercare di valorizzare ciò che il bambino sa, non quello che non sa.

La valutazione deve essere autentica (devo valutare quello che secondo noi lo studente deve padroneggiare!).

La valutazione deve essere diversificata. Materiale diversificato per i vari ragazzi perché ciascuno cresce in un determinato tempo e con determinate tipologie di attività.

1.3 Contratto didattico

Il sapere didattico del docente deve essere filtrato per andare a culminare in un atto di comunicazione, non un sapere disciplinare ma insegnato.

Il contratto didattico è un assunto che ricorda il contratto sociale di Rousseau nel 1762.

1762 - Rousseau e il Contrat social - “..in un contratto non tutte le clausole sono enunciate: esse sono dappertutto tacitamente ammesse e riconosciute. Sono clausole di comportamento e tutti gli attori si aspettano questi comportamenti che la società sembra approvare”.

1762 - Rousseau e l’Émile - “…nulla egli sappia per averlo udito da voi, ma solo per averlo compreso da sé; non impari la scienza: la scopra. Se nella sua mente giungerete a sostituire l’autorità alla ragione, non ragionerà più, non sarà che lo zimbello dell’opinione altrui”.

Anni ’70 - Brousseau, Pères e il caso Gaël - fece ingresso nel mondo della ricerca in didattica della matematica l’idea di contratto didattico, al fine di studiare le cause del fallimento elettivo in matematica. Troviamo due definizioni di contratto didattico, una in Brousseau e una in Peres.

Queste due definizioni sono ispirate da uno dei più famosi casi della didattica della matematica: il caso di Gael, un ragazzo che frequentava il corrispettivo francese della seconda primaria anche se aveva 8 anni. I ricercatori lo trovarono in una situazione particolare. Gael esprimeva tutto quello che era connesso alla propria conoscenza sempre coinvolgendo l’insegnante. Le competenze che aveva per lui non era sue proprie ma quel che la maestra gli aveva insegnato. Quindi nelle sue parole ogni momento didattico viene vissuta attraverso l’insegnante.

I ricercatori vedono una difficoltà di espressione che comprende sia l’espressione della conoscenza, sia della propia competenza, sia della non capacità di esprimere le proprie capacità. Gael si trova immerso in un circolo vizioso che non era appena iniziato ma frutto di processi cognitivi che lo avevano portato a quel punto. I ricercatori gli propongono delle situazioni svincolate dall’ambiente didattico, che Brousseau le chiama situazioni adidattiche. I ricercatori fanno questo per capire i ragionamenti del ragazzo e capire se potevano essere più positivi, personali e produttivi in termini di conoscenza, capacità, competenza.

Possiamo definire il contratto didattico; Brousseau individua l’azione del contratto in una situazione d’insegnamento, in cui l’allievo detiene come compito quello di risolvere un problema matematico che gli viene presentato. L’accesso a questo compito gli avviene mediante delle domande poste, delle informazioni e di quegli obblighi imposti che sono definiti dal modo di insegnare del maestro. Diventano quindi delle abitudini che possono portare a attese: l’allievo attende le abitudini del maestro e viceversa. Queste attese non sono scritte, ma sono un tacito accordo che richiama il contratto soci