Metodi di campionamento

ANALISI FATTORIALE

Introduzione

Nelle scienze sociali e comportamentali molte teorie si basano su costrutti teorici non

direttamente osservabili.

La misurazione di questa grandezza «latente» si può ottenere attraverso i valori di

variabili osservate/manifeste.

Modelli di misurazione

I modelli a variabili latenti (LVM) rappresentano una famiglia di modelli attraverso i

quali si cerca di esprimere il legame tra le variabili osservate e le variabili latenti

 Questi modelli cercano di spiegare l’associazione tra le varibil manifeste come

dipendenza con le variabili latenti (indipendenza condizionale)

 Spesso questi modelli suggeriscono il modo in cui migliorare la misurazione

delle variabili osservate

Il primo sviluppo in questa direzione è data dall’Analisi Fattoriale

Obiettivi dei LVM

 Studiare la relazione tra un gruppo di variabili osservate

 Individuare e interpretare i fattori non osservabili che spiegano queste relazioni

 Ridurre la dimensionalità

 Ordinare le unità rispetto a queste nuove dimensioni→ scala/misura

 Classificare le unità

Contesto dell’analisi

1. Contesto esplorativo:

i modelli a variabili latenti possono essere impiegati in un’ottica esplorativa per identificare le

variabili latenti sottostanti un gruppo di item.

→nessuna assunzione o congettura a priori sulla struttura dei dati

2. Contesto confermativo:

i modelli a variabili latenti possono essere impiegati per verificare quanto un gruppo di item,

costruito per misurare particolari concetti, sia effettivamente in grado di spiegare tale struttura.

→Per validare una teoria

Classificazione dei tipi di LVM

Ci sono vari tipi di modelli a variabili latenti, che si distinguono per il livello di

misura delle variabili osservate e per le assunzioni fatte a proposito del livello di

misura delle variabili latenti.

Questa tabella non esaurisce in realtà tutte le possibilità perché, per esempio, le

variabili manifeste possono essere un mix tra variabili metriche e categoriche.

Idee generali

I LVM sono strettamente legati al concetto classico di modello di regressione.

Nell’analisi fattoriale, la relazione di regressione è tra una variabile manifesta

(variabile dipendente) e le variabili latenti (variabili indipendenti).

Anche in questo contesto vengono fatte assunzioni riguardo la distribuzione dei

residui o termini di errore.

L’aspetto fondamentale è quindi di invertire la relazione per ottenere informazioni

sulle variabili latenti, note le manifeste. Dal momento che non è possibile osservare le

variabili latenti, è possibile conoscere qualche cosa di questa relazione solo

indirettamente.

Alcune delle variabili manifeste possono dipendere dalle medesime variabili latenti e

questa dipendenza determina correlazione tra loro.

L’esistenza di correlazione tra due indicatori può essere determinata da una causa

comune

I primi sviluppi dell’analisi fattoriale

Gli aspetti caratteristici dell’analisi fattoriale si fondano sulle origini del metodo, che

si è sviluppato all’inizio del secolo scorso ad opera di Spearman, nell’ambito della

ricerca psicometrica sulle misure delle capacità psicoattitudinali

In un lavoro del 1904, Spearman riporta le correlazioni osservate tra i risultati (voti)

conseguiti da un gruppo di studenti in tre diverse materie: lettere (X1), francese (X2),

inglese (X3).

Domanda di Spearman:

le correlazioni osservate possono essere spiegate dalla relazione delle tre variabili x

con un’unica variabile latente y che può essere, per esempio, l’intelligenza o la

predisposizione allo studio in determinate materie?

Possibile risposta

Se esiste una variabile y in grado di render conto delle correlazioni tra ciascuna

coppia di variabili osservate x, allora significa che la correlazione residua tra le

variabili osservate, una volta che si è eliminato l’effetto di y su ciascuna di esse, deve

essere non significativamente diversa da zero, ovvero le variabili osservate devono

essere linearmente indipendenti condizionatamente ai valori di y.

I primi sviluppi dell’analisi fattoriale

In sintesi:

 la correlazione rX tra due variabili X e X può risultare dalla loro

X ’ i i’

i i

associazione con una terza variabile esterna y ed è misurabile attraverso la

correlazione parziale rX X ’y

i i

 Essa misura, infatti, l’associazione tra X e X quando y è resa costante ed è

i i’

quindi la correlazione “residua” tra X e X dopo che si è eliminato l’effetto

i i

lineare di y su ciascuna di esse.

 Poste certe condizioni sulla variabile y non osservata è facile verificare che un

modello che ipotizzi una relazione lineare di ciascuna delle variabili osservate

con y, è in grado di spiegare la correlazione tra le X.

Obiettivi dell’analisi fattoriale

Fasi dell’analisi fattoriale

1. Specificazione del modello

2. Identificazione del modello:

3. Stima dei parametri

4. Valutazione bontà del modello

5. Interpretazione risultati

Specificazione del modello

p variabili osservate manifeste (quantitative), l’idea è che queste

x , … , x

1 p

variabili siano correlate tra loro perché l’analisi fattoriale ha come obiettivo quello di

spiegare la correlazione tra variabili.

x

La generica variabile osservata corrisponde alla variabile dipendente, le variabili

i

indipendenti (regressori) sono detti fattori comuni, comuni perché ciascuna variabile

u

osservata è espressa in funzione degli stessi fattori, invece è il fattore specifico

i

della i-esima variabile. Ciascuna variabile è espressa in funzione di fattori comuni, un

fattore specifico che è diverso per ciascuna variabile e dalla media. invece

λ

corrisponde ai pesi, doppio indice, il primo pedice fa riferimento alla variabile

manifesta mentre il secondo pedice fa riferimento al fattore.

 prima variabile manifesta, k-esimo fattore

λ 1 k

dove

Identificazione del modello

In generale, un qualunque modello si dice identificato se la soluzione al problema di

stima esiste ed è unica.

o Per il modello fattoriale non esiste una soluzione unica al problema di stima dei

pesi fattoriali.

o Il modello risulta infatti INVARIANTE rispetto a rotazioni ortogonali.

Le informazioni disponibili sono quelle contenute nella matrice di Varianza e

covarianza o di correlazione

Stima dei parametri

L’idea generale qualsiasi sia il metodo

I metodi di stima dei parametri del modello che vedremo sono due:

1) Metodo dei fattori principali

2) Metodo della massima verosimiglianza

Esistono anche altri metodi ma sono meno utilizzati

I parametri incogniti del modello fattoriale sono μ, Σ, Λ e Ψ.

Metodo dei fattori principali

 Il dei fattori principali (Thompson 1934) è un metodo di stima non

parametrico, che non richiede alcuna assunzione distributiva sulla variabile

multidimensionale X. (al contrario del metodo ML)

 È un metodo iterativo (segue e ripete diversi passi fino a convergenza, fino a

quando si ottengono stime che riteniamo soddisfacenti)

 È simile all’analisi delle componenti principali

 È invariante rispetto a trasformazioni di scala

Passo 0

Il presupposto di base è che siano stabilite delle stime iniziali per le comunalità. La

comunalità è la parte di varianza di una variabile spiegata dai fattori comuni.

Criteri per queste stime inziali:

Passo 1

Il modello fattoriale è un modello invariante rispetto a trasformazioni di scala ma non

tutti i metodi sono invarianti rispetto a trasformazioni di scala (ad es il metodo dei

fattori principali, quindi bisogna decidere se lavorare sulle variabili standardizzate R

o non trasformate S), mentre il metodo della ML è invariante rispetto a trasformazioni

di scala. �

Si calcola la matrice ridotta − Ψ sostituendo le comunalità stimate agli elementi

(unitari) sulla diagonale di R.

Passo 2

Questa matrice è semi definita positiva di rango m e quindi per il teorema spettrale

viene scomposta in:

Dove: ~

- �: matrice diagonale che contiene, in ordine decrescente gli autovalori di R- Ψ

- A: matrice ortogonale avente per colonne i corrispondenti autovettori

Passo 3 Passo 4

Metodo della massima verosimiglianza

• Aspetti negativi:

- può talvolta portare a soluzioni inammissibili (specificità minori di zero- problema

di Heyhood)

- le soluzioni derivanti dalla sua applicazione non sono di facile interpretazione dal

punto di vista fenomenico.

• Aspetti positivi:

- produce stime invarianti rispetto a cambiamenti di scala delle osservazioni. Le

stime di Λ e Ψ restano immutate sia che si operi sulla matrice S di varianze e

covarianze campionarie, che sulla matrice di correlazione R

- Permette di applicare un test per verificare la bontà di adattamento rispetto al

numero di fattori (test del rapporto di verosimiglianze generalizzato)

Rotazione dei fattori

- Esistono un numero infinito di trasformazioni ortogonali che portano alla

medesima quota di variabilità delle variabili spiegata dai fattori. La rotazione dei

fattori consiste nello scegliere una delle possibili trasformazioni ortogonali della

matrice dei pesi fattoriali.

- La rotazione serve per semplificare la struttura del sistema di pesi e interpretare

più facilmente i fattori.

- Si cerca di suddividere le variabili in gruppi, in modo tale che i pesi all’interno di

ciascun gruppo siano elevati su un singolo fattore e bassi o trascurabili sugli altri.

Le più usate sono:

- METODO VARIMAX: minimizza il numero di variabili che hanno correlazioni

alte con un fattore

- METODO QUARTIMAX: minimizza il numero di fattori che hanno correlazioni

alte con una variabile

- METODO EQUIMAX: è una combinazione dei due metodi precedenti

In ogni caso la percentuale di varianza complessiva dei fattori ruotati rimane

inalterata, mentre si modifica la percentuale di varianza spiegata da ciascun fattore

Calcolo dei punteggi fattoriali

Si definiscono punteggi fattoriali (factor score) i valori assunti dai fattori comuni in

corrispondenza delle osservazioni campionarie.

Due sono i metodi più noti per calcolare questi punteggi:

1. Metodi di Thompson

2. Metodo di Bartlett

Sia F la matrice di dimensione nxm (n numero di unità e m numero di fattori)

Metodo di Thompson

Metodo di Bartlett

Analisi in classi latenti

Introduzione

• Il presupposto dei modelli CL è che la popolazione sia composta da sottogrup