Meccanica statistica

Meccanica statistica

Meccanica Statistica

• Landau & Lifšits, Fisica statistica
• Touchek & Rossi, Meccanica Statistica
• Huang, Trattato di Meccanica Statistica

Studiare il comportamento di sistemi macroscopici.

N ≅ 6.10²³

Approccio complementare alla termodinamica, partendo da meccanica Hamiltoniana, ma non si può scrivere eq. del moto e risolvere da approccio deterministico a descrizione probabilistica, statistica.

Sistema Hamiltoniano

Consideriamo un sistema Hamiltoniano composto da N particelle.

3N gradi di libertà e 6N eq. di Hamilton.

q_i̇ = ∂H / ∂p_i

p_i̇ = - ∂H / ∂q_i

6N eq._a differenziali del primo ordine.

Se abbiamo abbastanza condizioni di regolarità per 2N δq_i e condizioni iniziali f_qi f_pi, esiste un'unica soluzione:

q_i(t) = q_i(t₀, f_qi, f_pi)

p_i(t) = p_i(t₀, f_qi, f_pi)

La soluzione del sistema è determinata in modo univoco → sistema deterministico.

(Esiste anche il caos deterministico, come per il pendolo non lineare)

Problema delle condizioni iniziali

Problema: se N è molto grande, la soluzione è impossibile. Se N ≅ N_A = 6.02.10²³ è impossibile scrivere e risolvere le equazioni del moto.

Se anche potessimo risolvere, è impossibile conoscere e imporre le condizioni iniziali f_qi, f_pi.

• Dobbiamo rinunciare a risolvere le eq.a di Hamilton e passare da una descrizione deterministica a una probabilistica.
• Studieremo proprietà statistiche come probabilità, le medie, le varianze, le fluttuazioni...
• Ci mettiamo su uno spazio delle fasi (q_i, p_i) e supponiamo che aspettando un tempo sufficientemente lungo il sistema (ovvero i punti di fase) passi vicino a ogni punto dello spazio delle fasi che non sia proibito dalle condizioni macroscopiche (E tot, P_tot...)

Meccanica statistica

Meccanica Statistica

• Landau & Lifshitz, Fisica statistica
• Touchek & Rossi, Meccanica Statistica
• Huang, Meccanica Statistica

Studiare il comportamento di sistemi macroscopici.

N ≈ 6.10²³

Approccio complementare alla termodinamica, partendo da meccanica Hamiltoniana, ma non si può scrivere eq. del moto e si evolve da approccio deterministico a descrizione probabilistica, statistica.

Sistema Hamiltoniano e gradi di libertà

Consideriamo un sistema Hamiltoniano composto da N particelle.

3N gradi di libertà e 6N eq. di Hamilton.

⎧ q̇_i = ∂H/∂p_i

⎨

⎩ ṗ_i = -∂H/∂q_i

6N eq. differenziali del primo ordine.

Se abbiamo abbastanza condizioni di regolarità per 24 ore e condizioni iniziali {q_i, p_i}, esiste un'unica soluzione:

q_i(t) = q_i(t, {q_i0, p_i0})

p_i(t) = p_i(t, {q_i0, p_i0})

La soluzione del sistema è determinata in modo univoco → sistema deterministico.

(Esiste anche il caos deterministico, come per il pendolo non lineare)

Condizioni iniziali influenzano molto evoluzione sistema.

Limiti della soluzione deterministica

Problema: se N è molto grande, la soluzione è impossibile.

Se N ≈ N_A = 6.02.10²³ è impossibile scrivere e risolvere le equazioni del moto, diversi miliardi di particelle.

Se anche potessimo risolvere, è impossibile conoscere e imporre le condizioni iniziali {q_i0, p_i0}.

Dobbiamo rinunciare a risolvere le eq. di Hamilton e passare da una descrizione deterministica a una descrizione probabilistica.

Studieremo proprietà statistiche come probabilità, le medie, le varianze, le fluttuazioni....

Ci mettiamo in uno spazio delle fasi {q_i, p_i} e supponiamo che aspettando un tempo sufficientemente lungo il sistema (ovvero i punti di fase) passi vicino ad ogni punto dello spazio delle fasi che non sia proibito dalle condizioni macroscopiche (E, T,

Ipotesi ergodica

Il sistema è talmente complicato che prima o poi passa vicino a ogni punto dello spazio delle fasi (che ha 6N dimensioni).

Volumetto nello spazio delle fasi:

Usiamo la complessità come metodo di soluzione.

Definiamo la probabilità di trovarsi nel volumetto ΔpΔq come il rapporto tra il tempo passato nel volumetto Δt e il tempo totale T:

Δw = lim (Δt/T)

T→∞, Δt = Σ Δt_u

Volumetto nello spazio delle fasi: Δw = ΔΒΔΘ = Δp₁, ... Δp_3N Δq₁, ... Δq_3N

Numeriamo i volumetti nello spazio delle fasi con un indice "s", tale che "s" cresce con l'energia corrispondente al volumetto.

Coordinate e impulsi al centro del volumetto.

Stiamo introducendo una discretizzazione.

Abbiamo tanti volumetti Δw, quando Δw→0 si torna al caso continuo.