Materiale per Informatica (2 crediti)

Informatica

Sezione 1: trattamento dati

∆" = à Sensibilità è la minima grandezza misurata che uno strumento è in grado di rilevare ( ) ∆# à Precisione rappresenta il fatto che la misura riproduca sempre lo stesso risultato quando non ci sono cambiamenti di condizioni (riproducibilità) à Accuratezza in una misura, è legata all’assenza di errori sistematici.

Precisione e accuratezza sono indipendenti fra loro: le misure precise possono essere poco accurate e viceversa. Tutti e tre i parametri contribuiscono all’errore associato ad una misura. Si assumerà che ogni strumento per la misurazione, d’ora in poi, sia correttamente tarato (assenza di errori sistematici).

Se la sensibilità è alta rispetto agli errori casuali, diverse misure forniranno risultati diversi.

Frequenza e probabilità

à Frequenza n. di volte che un evento accade, ad esempio un risultato che ricade in un intervallo di valori $)( =$ Dove n rappresenta il numero di volte che occorre l’evento k, N è il numero totale di eventi. Non va confusa con la probabilità che un evento accada (P ). k

à Esempio giocando a dadi, bisogna calcolare la frequenza di uscita di un numero in 100 lanci totali. Se, ad esempio, uscisse 15 volte, la F sarebbe uguale a F(X )=15/100=0,15. Diversamente si ottiene la probabilità, in quanto il numero k può uscire 1/6 volte, quindi 0,17. In conclusione, si osserva che 0,17¹0,15.

La frequenza tende alla probabilità al crescere del numero delle prove.

Come estrarre il risultato dalle misurazioni

% &∑ = à Media ''(%& "∑ * +! ! = !#$

à Media ponderata , dove w è il peso per ciascun dato, la loro diversa “confidenza”. i "∑ * !!#$

Ma quanto sono dispersi i dati attorno alla media? = − à Scarto ' '

Ma la somma degli scarti è uguale a zero, allora si usa la radice quadrata della media dei quadrati degli scarti, cioè la deviazione standard. & &1 1. . , = 0 = 0( − )%' ' '(% '(%%, ,∑ = − Il suo quadrato è noto come varianza: %'&

Probabilità

In un dado con 6 facce la probabilità che esca uno specifico numero è 1/6. Ma qual è la probabilità che in due lanci la somma sia 7? Ci sono sei possibili combinazioni che ci danno 7:

% % %× = La probabilità del singolo caso è ,- - .-% - %6 × = = ma avendo sei casi: ..- .- -

à La probabilità che avvengano entrambi gli eventi indipendenti è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi.

à La probabilità che avvenga uno qualsiasi dei sei eventi sopra riportati è la somma delle probabilità.

Se, partendo da due dati, calcolassimo la probabilità di ottenere tutte le possibili somme comprese tra 2 e 12, avremmo il seguente grafico di distribuzione della possibilità (discreta).

Si può calcolare il valore medio, cioè il valore che si otterrebbe mediamente facendo un Z numero di lanci? 1= % () = % () !h d2 2

Il risultato sarà 7. Allo stesso modo si potrà calcolare o anche ., , = 0( − ) ()/

Ma se lanciassimo veramente i dadi, cosa otterremmo?

Si vede ancora come la frequenza tenda alla probabilità all’aumentare il numero degli eventi totali. Media e deviazione standard si calcolano dai dati sperimentali: &1=. ,× 0( − )'−1 '(%

Si faccia attenzione al fatto che nel calcolo, utilizzando dati sperimentali, è più corretto inserire N-1, poiché non tutte le deviazioni sono indipendenti (i singoli x sono utilizzati anche per calcolare la media, per cui c’è un grado di libertà in meno).

Distribuzione binomiale discreta

Esistono, oltre a quella di probabilità, molte altre distribuzioni, sia discrete che continue. Un esempio ne è la distribuzione binomiale.

à Distribuzione binomiale data la probabilità p che un evento si verifichi, ci dice qual è la probabilità che su N tentativi se ne verifichino n.

Applicando concetti non trattati, si ottiene la seguente formula: & / &2/() = 5 6&,1 /

Dove N/n è il coefficiente binomiale e rappresenta le combinazioni possibili di N eventi presi n a n. !& =5 6 (! − )!/

à Esempio immaginiamo di avere un pacco di fiammiferi e sapere già che il 25% è difettoso. Ci chiediamo quale sia la probabilità che provando 4 fiammiferi, se ne accendano 3.

p=0,75 q=0,25 N=4 n=3 !3 . .(3) = 0,75 × 0,25 = 0,75 × 0,25 = 0,425 63,4.67 (! − )!.

La probabilità che se ne accendano 3 è 0,42.

à A cosa servono i coefficienti binomiali? A verificare la probabilità che accada l’evento positivo.

Distribuzione di Poisson

Si ha quando, in una distribuzione binomiale, considero una probabilità (p) dell’evento molto bassa e un numero di prove (N) molto alto. / 28 () = = 8 !

Distribuzione di Gauss

Si ha quando si effettua una misura con un metodo accurato e abbastanza sensibile, in modo che gli errori casuali distribuiranno i risultati sperimentali intorno al valor vero.

• I risultati sperimentali in molti casi si distribuiscono in accordo alla distribuzione di Gauss.
• Anche se singoli errori non seguono questa distribuzione, le medie dei gruppi di questi errori, se abbastanza numerose, seguiranno la Gaussiana à teorema del limite centrale.

Il fatto che gli errori seguano la distribuzione di Gauss può essere dimostrato (in determinate condizioni), ma è soprattutto un’evidenza sperimentale. %1 (+2:)2() = × %,< × √2

• La distribuzione è continua ed è simmetrica intorno ad m (valor medio).
• Essendo una distribuzione di probabilità, la => () = 1)∫ funzione è normalizzata ( 2>
• L’area compresa tra (m-s) e (m+s) (punti di flesso) è uguale a 0,683. Tra (m-2s) e (m+2s) è 0,954. Tra (m-3s) e (m+3s) è 0,997.

A volte, la gaussiana viene riportata come 1 %2? /,= J √2 = ( − )/ Dove Così la curva in funzione di t è univoca. L’integrale tra due valori è ovviamente un numero compreso tra 0 e 1 e rappresenta la probabilità che un dato cada nell’intervallo (a,b).

Criterio di Chauvenet

In una serie di N misure, è lecito scartare un dato?

à Criterio di Chauvenet prassi che ci permette di scartare un risultato che sembra anomalo in una serie di N misure, se la probabilità di avere quel risultato (ipotizzando una gaussiana) è minore di 1/2N (se N*p < 0,5).

! Ma non è un criterio assoluto! Infatti, ci potrebbero essere molti dati da scartare e bisogna verificare dov’è il problema.

Frequenza osservata e probabilità

A volte ci si può trovare di fronte al dubbio se una serie di dati segua o meno una particolare distribuzione. Come C 2 misura dello scarto tra la distribuzione teorica e quella osservata si usa il parametro definito (per variabili discrete): ,[() − ()], = 0 ()/

Dove N è il numero delle prove, F(n) la frequenza con cui il valore n è osservato ed f(n) il valore previsto dalla distribuzione di probabilità.

Deviazione standard della media

La deviazione standard dei dati può essere considerata una misura della precisione dei dati. Immaginiamo di fare N C d. misure di una grandezza, avremmo un e un Se ripetessimo le misure M, avremmo due parametri leggermente diversi. Consideriamo:

• µ.x il valore misurato nella i-esima misura nel set di misure µ i:
• µ-simoX media del set di misure µ :
• X: media di tutte le misure.
• D = x – X µi µ i
• D = X - X µµ

" %$# ! ∑ ∑ = , ∑ = come varianza della media. In che Avremo: come varianza, e! 2%'" &'" =1%& : #$ A rapporto sono tra loro? $ $ $1 1 1 = − = + − = +( − ) = + % % %& %& %& &'" &'" &'"

Quindi 1 11 2 2( ) = ( ), = 0 0 0 0: 2 =1 =1 =1 =1

Le due formule sono diverse, ma i termini misti della somma sopra hanno segni positivi e negativi che per la distribuzione gaussiana tendono ad elidersi se M e N sono grandi, quindi: ! ! = → =/ / √d1/√

La varianza sulla media è volte la varianza. ci dà informazioni sull’affidabilità della media. m

Principio della massima verosimiglianza

à Qual è l’informazione più attendibile che posso ottenere da una serie di dati?

Il metodo descritto si basa sul principio della massima verosimiglianza, cioè, se io ottengo N valori da altrettante misure, considero la massima probabilità che questi valori si presentino. Fatta questa premessa, sia x il valore più attendibile (che non conosco) e x i valori misurati, se supponiamo che i valori si i distribuiscano in modo gaussiano intorno al valore più attendibile, la probabilità di ottenere x è: i 1 ! !0(202 ) /!5 = #& √2d

Essendo una caratteristica della distribuzione, il massimo di questa probabilità si avrà quando è minima $ !∑ ( − ) la somma degli scarti quadratici: &&'"

à Qual è il valore più attendibile che posso stimare dai miei dati?

Dalla discussione precedente, il valore più attendibile di una grandezza dopo N misure è quello che minimizza la somma dei quadrati dei singoli valori. Per cercare il minimo di questa funzione, azzero la derivata prima: $ !+( − ) = 0& &'"

Da cui $1 = + & &'"

Il valor medio soddisfa questo requisito.

Interpolazione di dati: i minimi quadrati

Applichiamo il metodo dei minimi quadrati per ottenere la migliore interpolazione di una serie di dati sperimentali (si trascurano gli errori sulle x). L’andamento sperimentale può essere fittato con una retta del tipo y=ax+b.

Per ricavare i coefficienti a e b si possono minimizzare gli scarti quadratici tra i valori ottenibili (usando l’equazione scritta sopra) e quelli sperimentali, cioè si vuole trovare i valori di a e b tali da minimizzare la funzione & , = 0( − − )' ''(% BC =0B8U

Per minimizzare rispetto ad a e b si risolve il sistema: BC =0BD

La funzione per fittare i dati risulta molto più complessa rispetto alla funzione lineare considerata sopra, per questo si ricorre a metodi iterativi per calcolare i coefficienti. Per valutare qualitativamente la scelta del modello assunto, si può riportare l’andamento degli scarti tra i dati sperimentali ed il modello stesso.

Parametri statistici - Kaleidagraph

> 0, % #,E/$(%∑ = ( − )( − ) V à Covarianza #,E ' ' < 0, − & #,E< &,( = −1 < < 1 à Coefficiente di correlazione #,E #,E< <& (

Nel caso di interpolazione lineare (y=ax+b) i coefficienti a e b ottenuti applicando il metodo dei minimi quadrati si possono anche esprimere come: #,E= = − #,

à Kaleidagraph software che permette di calcolare una serie di parametri legati alla distribuzione dei dati intorno al valor vero di una serie di dati. Sono riportati di seguito i singoli parametri:

à Maximum e minimum costituiscono il valore minimo e quello massimo del set di dati.

à Sum è la somma algebrica di tutti i valori selezionati.

à Points è il numero dei valori selezionati.

à Mean è la media aritmetica dei valori selezionati calcolata % /'(%∑ = secondo la nota formula: '/

à Median è la misura di posizione in cui il valore è inferiore al valore del 50% e superiore al valore dell’altro 50%. Divide i dati in due metà numericamente uguali. Rispetto alla media, i valori estremi molto grandi o molto piccoli non ne modificano il valore.

• Se il numero delle osservazioni è dispari e monotono, il valore della mediana coincide con il valore del dato (n+1)/2.
• Se il numero delle osservazioni è pari, viene assunto come valore la media aritmetica dei valori dei dati n/2 e (n+2)/n % /'(%`∑ , = à RMS (root mean