Matematica

ESERCIZIO 1: ( )

x

1

(x)=

f

Testo: da costruire il grafico di

2

( )

∣ ∣

x−1

1 −2,

g( x)= 2

g

dire se è iniettiva e trovarne il codominio. Infine risolvere graficamente

−3

g( x)> .

2 ( )

x ¿

1

(x)=

f

Parto da : è un’esponenziale con base , quindi decrescente,

¿ ¿

1¿

2 y=0

sempre positiva, con asintoto orizzontale .

( )

∣ ∣

x−1

1 −2

g( x)=

Ora guardo . La costruisco per trasformazioni:

2 ↦

x x−1 f

1. Sostituzione : spostamento del grafico di di 1 verso destra →

( )

x−1

12 . ∣ ∣

x−1 x ≥ 1

2. Valore assoluto : significa che prendo il ramo per e lo rifletto

x=1

rispetto alla retta , ottenendo un grafico simmetrico rispetto a

x=1 .

−2

3. : traslazione verticale di 2 verso il basso.

g

Quindi il grafico di : x=1

è simmetrico rispetto a ;

 x=1

ha un massimo in :

 ( )

0

1 −2=1−2=−1;

g(1)= 2 −2 x → ± ∞

tende a per , quindi ha asintoto orizzontale



y=−2.

Codominio: (-2; -1] x=1

g non è iniettiva, perché per la simmetria rispetto a si ha:

)=g (1−t)

g(1+t .

Per esempio: −3

(2)=

g(0)=g 2

0 ≠ 2

con . −3

y= g x=0 x=2 g

La retta orizzontale interseca in e ; sta sopra tale

2

retta solo tra questi due valori.

ESERCIZIO 3) P(t)

La popolazione è descritta dall’equazione differenziale

dP r

= P(K−P) ,

dt K

dove: è la capacità portante del lago,

K=1000

 è il tasso di crescita intrinseco annuo,

r=0.5

 è il numero di trote al tempo (in anni).

t

P(t)

 P

Osservo che l’equazione è a variabili separabili, quindi porto tutti i termini con

t

a sinistra e a destra:

dP r

= dt .

K

−P)

P( K

Devo integrare:

dP

∫ .

(

P K−P)

L’idea è scrivere in fratti semplici:

1 A B

= + .

P K−P

−P)

P( K P( K−P)

Moltiplico per per eliminare i denominatori:

1= A( K−P)+ BP .

Sviluppo:

− +(B−A )

1= AK AP+ BP=AK P . 1 1

⇒

=1⇒

AK A= B− A=0 B= A=

Ora confronto i coefficienti: . e .

K K

( )

1 1 1 r

+ dP= dt .

−P

K P K K

Integro entrambi i membri:

( )

1 1 1 r

+

∫ dP= ∫ dt .

−P<