Limiti, studio di funzione, derivate, integrali

ANALISI - PARZIALE 2

Continuità: Una funzione è continua su un insieme A⊆ℝ se è continua in ogni punto x₀∈A

Quali sono?Tutte le funzioni elementari e quelle ottenute da loro tramite operazioni algebriche/composizione sono CONTINUE * dove non presentano problemi di definizione (es: √x, log(x))

LIMITI NOTEVOLI

lim_x→0 (sin(x)/x) = 1

lim_x→0 ((1+x)^1/x) = e

lim_x→0 ((1+x)^1/x) = e

lim_x→0 ((e^x - 1)/x) = 1

lim_x→0 (log(1+x)/x) = 1

lim_x→0 (tan(x)/x) = 1

lim_x→0 (arctan(x)/x) = 1

lim_x→0 (a^x - 1)/x = log(a)

lim_x→0 (xlog(x)) = 0

* Tutti a zero tranne le due e

ANALISI - PARZIALE 2

CONTINUA funzione è continua su un insieme A⊆R se è continua in ogni punto x₀∈A

Quali sono? Tutte le funzioni elementari e quelle ottenute da loro tramite operazioni algebriche composizioni sono continue

* dove non presentano problemi di definizione (es: den, log(2-1))

LIMITI NOTEVO

• lim_x→0 ^{sin x}/_x = 1
• lim_x→∞ (1 + ¹/_x)^x = e
• lim_x→0 ^{(1 + xk)}/_x = k
• lim_x→0 ^{1 - cos x}/_x² = ¹/₂
• lim_x→∞ ^{ex - 1}/_x = 1
• lim_x→0 ^{log (1+x)}/_x = 1
• lim_x→∞ ^{tan x}/_x = 1
• lim_x→∞ ^{arctan x}/_x = 1
• lim_x→0 ^{sin x}/_x = a
• lim_x→0 ^{ax -1}/_x = log a
• lim_x→0⁺ x log x = 0

* Tutti a zero tranne le due ✌

Cambi di Variabile

Si usano spesso per portarsi ai limiti notevoli:

es.

_x->0 =

bisogna portarsi a _X->0

(Cambio Variabile)

Criterio Funzioni - Successioni

possiamo risolvere le successioni usando funzioni

es. _m->∞ ⁽ _1/m ⁾ = _X->0 = 1

(Cambio di Variabile)

Limiti Teoria

1. Punto Isolato: vicino a X_o non c'è niente altro (in un intorno e)
2. Punto di Accumulazione: in un intervallo e trovo sempre altri punti vicino X_o
3. Punto Interno: posso muovermi di e a dx e sx rimanendo in A

• ∞ sono pt. di accumulazione per A se A è inf/sup illimitato

FUNZIONI CONTINUE

f(x) è continua in x₀ se:

• p.to isolato di A
• p.to di accumulazione per A e lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

Tipi di discontinuità

1. x₀ è discontinuità eliminabile

se lim_x→x0 f(x) = l = f(x₀) l ∈ ℝ

2. x₀ è discontinuità di salto (I specie)

se lim_x→x0 f(x) = l₁, lim_x→x0^- f(x) = l₂, l₁ ≠ l₂ ∈ ℝ

3. x₀ è discontinuità di 2^a specie negli altri casi

Prolungabilità

f è prolungabile per continuità in x₀

il prolungamento è:

f: A ∪ {x₀} → ℝ data da

f(x) = { f(x) x ∈ A, f(x₀) x = x₀.

x se e solo se a dx e sx la lim_x→x0 f(x) esiste

o-piccolo

def1: f(x) = o(g(x)) sse f(x) = g(x) ω(x)

           ω(x)_x→x0→0

def2: f(x) = o(g(x)) sse lim_x→x0 ^f(x)⁄_g(x) = 0

X o-piccolo ci dice che una funzione sta sotto

X² = o(x) per x→0

X = o(x²) per x→+∞

             quel più veloce a zero

             che più lento a ∞

X^α = o(X^β) se α>β per x→0

X^α = o(x^β) se α<β p