Limiti notevoli e successioni

Limiti di polinomi

Per calcolare il limite di un polinomio per x → ±∞ basta calcolare il limite del termine di grado massimo.

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n, a₀≠0 grado n

lim_{x → ±∞} P(x) = lim_{x → ±∞} a₀xⁿ

Esempio: lim_{x → -1} (7x³ + 3x² = 16) lim_{x → ±∞} 7x⁵ = ±∞

Limiti di funzioni razionali (rapporto polinomi)

P_n = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n grado n

Q_k = b₀x^k + b₁x^k-1 + ... + b_k grado k

lim_{x → ±∞} P_n(x) / Q_k(x) = lim_{x → ±∞} a_nxⁿ / b_kx^k

Esempio: lim_{x → ±∞} 2x - x³ / 2x ± x²

Limiti di funzioni trigonometriche

lim_{x → 0} sin(x) / x = 1

lim_{x → ±∞} cot x

Limiti di polinomi

Per calcolare il limite di un polinomio per x → ±∞ basta calcolare il limite del termine di grado massimo.

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n, a₀ ≠ 0 grado n

P(x) = a₀xⁿ(1 + ^a₁/_a0⋅¹/_x + ^a₂/_a0⋅¹/_x² + ... + ^a_n/_a0⋅¹/_xⁿ)

lim_x→±∞ P(x) = lim_x→±∞ a₀xⁿ(1 + ^a₁/_a0⋅¹/_x + ^a₂/_a0⋅¹/_x² + ... + ^a_n/_a0⋅¹/_xⁿ) = lim_x→±∞ a₀xⁿ

Esempio: lim_x→+∞ (7x³ + 3x² - 16) = lim_x→+∞ 7x³ = ±∞

Limiti di funzioni razionali (rapporto polinomi)

P = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n grado n

Q = b₀x^k + b₁x^k-1 + ... + b_k grado k

lim_x→±∞ P(x)/Q(x) = lim_x→±∞ ^a₀/_b0x^n-k = 0 se n<k, a₀/b₀ se n=k, ±∞ se n>k

Esempio: lim_x→±∞ 2x - x²/_3x(x+2) = lim_x→±∞ ^{x - x2}/_3x² = lim_x→±∞ -¹/₃ = 0

lim_x→-∞ 2x² + 5x + x²/_{x - 5} = lim_x→-∞ 6x²/_x = lim_x→-∞ 6x = ±∞

Limiti di funzioni trigonometriche

lim_x→0 sin x/x = 1

lim_x→0 [f(α+x) - f(α)]/x - cos(α) f'(α) = una funzione pari.

È sufficiente calcolare lim_x→0 sin x/x.

L'arco del triangolo ÔÂA è minore di quello del settore circolare ÔÂA che è a sua volta minore di quello del triangolo ÔTA.

• 1. ≤ x ≤ 1/ < x < 1/ (completo uno).

Poiché lim cosx=1 e lim _{x→0 x→0} x=1

Per il teorema del confronto: lim sinx = 1_x→0 x

La parità: lim sinx = 1_x→0 x

lim _x→0 (1−cos(x))⁄x = 2

Si calcola lim (1−cosx) = lim sin(x) = lim x−cosx = 2 sin(x₂)_{x→0x→0x→0}