Limiti e successioni

Successioni

Es. a_n = 2n - 3 => a₀ = -3, a₁ = -1, a₂ = 1, a₃ = 3.

Funzioni a_n: ℕ → ℝ => Rappresentazione di una successione nel piano cartesiano.

f(x) = 2x - 3

g_n = 2n - 3

Definizione di successione limitata

Una successione si dice:

• Limitata inferiormente se esiste M ∈ ℝ a_n ≥ M ∀ n ∈ ℕ, cioè se tutti i termini di ℕ sono maggiori o uguali di un certo numero (M).
• Limitata superiormente se esiste H ∈ ℝ a_n ≤ H ∀ n ∈ ℕ.
• Limitata contemporaneamente limitata sup. e inf. ⇔ ∃ m, M ∈ ℝ: M ≤ a_n ≤ H ∀ n ∈ ℕ.

Esempio

La successione {1/n} ai primi termini sono {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} è limitata sia inferiormente che superiormente (0 ≤ an ≤ 1).

La successione {n} in cui primi termini sono {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} è limitata inferiormente (a_n ≥ 0) ma non superiormente.

Monotonia

Una successione a_n si definisce:

• Monotona crescente se a_n+1 ≥ a_n ∀ n ∈ ℕ (nessun termine deve scendere).
• Monotona strettamente crescente se a_n+1 > a_n ∀ n ∈ ℕ.
• Monotona decrescente se a_n+1 ≤ a_n ∀ n ∈ ℕ.
• Monotona strettamente decrescente se a_n+1 < a_n ∀ n ∈ ℕ.

Si dice che una certa successione {a_n} possiede (o acquisisce) una certa proprietà definitivamente se esiste n₀ ∈ ℕ tale che {a_n} soddisfa quella proprietà per ogni n ≥ n₀.

Esempio: a_n = 2n - 3 è definitivamente positiva (a_n > 0 se n > 2).

Successioni

Es. a_n = 2n - 3: a₀ = -3, a₁ = -1, a₂ = 1, a₃ = 3.

Funzioni a_n : N -> R -> Rappresentazione di una successione nel piano cartesiano.

Una successione si dice:

• Limitata inferiormente se esiste m ∈ R, a_n >= m ∀ n ∈ N, cioè se tutti i termini a_n di a_n sono magg. o uguali di un certo numero (m).
• Limitata superiormente se esiste M ∈ R, a_n ∃ m, M: m 1 \) \( 1 \) se \( q = 1 \) (costante) \( 0 \) se \( 0 \( a \) (irregolare) se \( q Successione armonica.

Per \( a \) (fisso) e \( r \), definiamo \( a_n = n^a \).

Allora la successione armonica \(\{a_n\}\): Se \( a Se \( a = 0 \) è costante. Se \( a > 0 \) è infinitesima.

Arroganza successioni e limiti

N.B. \(\lim_{n \to \infty} a_n = a \iff \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ (tale che)} \forall n \geq n_0, |a_n - a| Oss. \( |a_n - a|

Dimostrare che un limite converge utilizzando la definizione

\(\lim_{n \to \infty} a_n = a_n = 0\), per definizione \(\forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n \geq n_0, |a_n - a| \).

\( \left|\frac{1}{n} - 0 \right| \) con \( n \in \mathbb{N} > 0 \) e \( n \in \mathbb{N} \).

Quindi \( \frac{1}{n} \frac{1}{\varepsilon} \).

Per individuare \( n_0 \): \( n_0 = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil + 1 \) (parte intera).

\(\text{è il primo numero naturale maggiore di } \frac{1}{\varepsilon}\)

Oss. Tanto è più piccolo \( \varepsilon \), tanto sarà grande \( n_0 \) → \( n_0 \) cambia al variare di \( \varepsilon \).

Dimostrazione divergenza a +∞

lim_{n → +∞} n² = +∞

∀ VER ∃ n₀ t.c. ∀ n > n₀: n² > M.

n² > M M M ≥ 0 → n > √M.

Dimostrazione divergenza a -∞

lim_{n → +∞} -n³ = -∞

∀ VER ∃ n₀ s.c. ∀ n > n₀: -n³ -n³ n > ³√-M → n₀ = [³√-M] + 1.

NB lim_{n → +∞} sin(n) lim_{n → +∞} cos(n).

Sin e cos irregolari.

Forme indeterminate nel calcolo dei limiti

• [⁰/₀]
• [∞/∞]
• [0 · ∞]
• [∞ - ∞]
• [^∞₀]
• [¹_∞]
• [⁰₀]

lim_{x → 0} se lim_{x → 0}

NB Per sciogliere le forme indeterminate bisogna manipolare il limite affinché la f.i. non scompaia.

Esempio: lim_{n → +∞} n²_(n)

lim_{n → +∞} x^(1_n) = 0

Teorema del confronto

_Ipotesi

Siano {a_n}, {b_n} due successioni tali che:

• i) a_n ≤ b_n ∀ n ∈ ℕ
• ii) lim a_n = l _n→∞
• iii) lim b_n = m _n→∞

Allora l ≤ m (l’operazione di limite preserva l’ordinamento).

Teorema dei carabinieri

_Ipotesi

Siano {a_n}, {b_n}, {c_n} tali che:

• a_n ≤ b_n ≤ c_n ∀ n ∈ ℕ
• ii) lim a_n = lim c_n = l _n→∞

⇒ Allora lim b_n = l _n→∞

Esempio

lim _n→∞ {b_n} → b^-n

{c_n}

[a_n]

1/b^n + cos(n)

L_· 5ⁿ+cos(n) ≤ 5ⁿ

1/bⁿ + 1/c = 1/(n·c) ≤ 1/5ⁿ

Allora lim_n→∞ 1/(bⁿ+cos(n)) = 0.

Permanenza del segno

_Corollario

Sia {a_n} tale che lim a_n = l _n→∞

• 1) a_n ≥ 0 ∀ n ∈ ℕ, allora l ≥ 0.
• 2) a_n ∈ (α, β) ∀ n ∈ ℕ, allora l ∈ (α, β).

Oss.: a_n ≥0 (strettamente) allora il limite non sarà maggiore strett 0̲ ⇒ {1/n} >0 ∀ n ∈ ℕ ma lim 1/n = 0 _n→∞.

NB Il passaggio al limite non conserva le disuguaglianze strette ma solo quelle lasche!

Regolarità/successioni monotone (inf. sup. successioni)

N.B. monotonia crescente (risp. decrescente) sse _an = _an+1) - strettamente crescente (risp. decrescente) sse _an an+1 (risp. _an > _an+1).

Se {_an}_n∈N è monotona (X), allora è regolare (convergente o divergente) ed in particolare:

• Se {_an}_n∈N è crescente allora lim_{n→∞ an} = sup {_an : n ∈ N}
• Se {_an}_n∈N è decrescente allora lim_{n→∞ an} = inf {_an : n ∈ N}

(Dimostrazione)

Successioni asintotiche (confronto tra successioni)

{_an}_n∈N = {_bn}_n∈N si dicono asintotiche sse lim_n→∞ ^an/_bn = 1.

(Si scrive _an ~ _bn per n→∞)

Osservazione - _an~_bn => lim_{n→∞ an} = lim_{n→∞ bn}

Esempio

_an = n²-3n+2

_bn = n²+1

lim_{n→∞ an} lim_{n→∞ bn} n²-3n+2/n²+1

n²-3n+2 ~ n²

lim_n→∞ n²-3n+2/n²+1 = 1

Osservazione

_an = 1/n^5/2 + 1/n² + 1/n^1/2 + 2

{_an} risulterà asintotica al termine di grado maggiore {_cn}, cioè _cn = 1/n^5/2 + 1/n² + 1/n^1/2 + 2 ~ 1/n^5/2

Principio di sostituzione

Se _an ~ _{an bn} ~ _bn allora lim_n→∞ ^an_bn = lim_n→∞ ^an_bn

Osservazione

N.B. questo vale solo per moltiplicazioni e divisioni.

Esempio lim_{n→∞ an}^3n3-3n2+3/ⁿ³ ~ 1/n^5/2 ~ 3n^5/2

Esercizi sulle successioni

Verificare attraverso la definizione che lim _n→∞ n+4 / n = 1

(Def. ∀ ε > 0 ∃ n₀ : ∀ n ≥ n₀ ⇒ |u_n - l| (Suggerimento)

∀ ε > 0, ∃ n₀ : ∀ n ≥ n₀ n+4 / n - 1 |n+4 / n - 1|

Oss. che 1 / n > 0 ∀ n ∈ N: posso togliere il modulo ⇒ 4 / n 0 = [4 / ε ] + 1

Calcolare lim _n→∞ n^3/2 + 3 / 2n + 1

n ^3/2 ⇔ 1 ^ n^3/2

2n ⇔ 1 ^ 2n

⇒ lim _n→∞ n^3/2 / 2n = lim _n→∞ √n³ / 2 √n = √n / 2

⇒ lim _n→∞ √n / 2 = +∞

Calcolare lim _n→∞ 1 + √n / (n+1)² l n^a

1 + √n ~ n^1/2

(n+1)² ~ n²

n^a ~ √n^a

⇒ lim _n→∞ n^1/2 / n^2-a = lim _n→∞ n^(1/2-2-a) = {= +∞ * ∞ > 0 = 1 * =0 = 0 *