Lezioni di Fisica del nucleo

Fenomenologia del nucleo atomico

Intro generale, definizioni, unità di misura, convenzioni

Nucleo: è un sistema composto di neutroni e protoni caratterizzato da una determinata energia di legame.

Nuclide: singola specie nucleare con le caratteristiche generali.

Il numero di protoni in un nucleo è indicato con la lettera Z, mentre il numero di neutroni è indicato con la lettera N. La somma del numero di protoni e neutroni è il numero di massa e si indica con A. A = Z + N.

I neutroni e protoni sono detti senza distinzione nucleoni.

Isotopi: nuclei con stesso numero di protoni Z e diverso numero di neutroni N.

Es. "# "%, ! !: nucleo radioattivo presente in natura.

Isobari: nuclei con stesso numero di massa A.

Es. #&' #&' "% "%, , ,

Isotoni: nuclei con stesso numero di neutroni. ()

Isomeri: nuclei che hanno stesso Z, stesso N e quindi stesso A, ma hanno proprietà differenti. Si indicano con una m di metastabile: l’isomero ha a che vedere con la metastabilità di uno stato eccitato di un nucleo se confrontato con il suo stato fondamentale (sto considerando lo stesso nucleo in diversi stati quantistici).

Es. '') usato per misure di diagnostica medica; si sfrutta la diseccitazione spontanea per via elettromagnetica di questo nucleo e l’emissione di un fotone con opportune caratteristiche; sta nello stato eccitato per mediamente 6h, tempo molto lungo per la norma.

Unità di misura

• Lunghezze *"+ Si utilizza il femtometro o fermi: 1 = 10.
• Aree # *#, # *#% # Usate anche per misurare le probabilità. Si utilizza il barn: 1 = 100 = 10 = 10.

Raggio classico dell’elettrone: raggio dell’elettrone se si considera l’elettrone come una sfera di carica uniforme. ! !! ! = . . = ! ! !"#$ % & % &" # #

• Energie: elettronvolt, energia acquistata da una carica elettrica elementare sottoposta a un potenziale di 1 Volt.

Nel caso della fisica nucleare si usano i multipli: , , , , .

La fisica nucleare si divide in: fisica delle basse, alte o medie energie. 0 → 10; 10 → 100; 100 ↑

• Masse *#3 ~ 10 -./012-1 "%

Unità di massa atomica: corrisponde a 1/12 della massa atomica del . 1 *#31 ≡ ~ 1.66 ∙ 10 !"45 612

Esercizio $#%52- "7 52- 52-' Quanto vale la densità associata ad un nucleo? = M N = = 10- # $#& # #/) "7 /) /)8# '2

Si può calcolare la massa in unità energetica / c. = → =2 (/ 1

• Cinematica e unità # # # # #( )

Energia totale è = +

Se una particella ha quantità di moto nulla, la sua energia corrisponde a quella a riposo.

L’energia cinetica è definita come la totale meno quella a riposo: = − 9 2

Nei termini di relatività speciale l’energia può anche essere scritta come: " "*# # # ## #⃗ = ̅ = = X1 + Y = X1 − Y → = ( − 1)9# # # (: #

In approx NR (nucleoni) ≪ ~1 ≪ ≪ → ≪ 9 2)

In approx ULTRA R (elettroni) ≫ 9 2

• Tempi *#& #7

Si ha a che fare con intervalli energetici enormi: da a 10 10.

Tempo di transito nucleare: tempo necessario ad un nucleone che abbia velocità di un nucleone in un nucleo (e quindi anche energia cinetica) a percorrere le dimensioni in un nucleo.

Questo tempo ha grandezza di 10 *#&.

Costanti numeriche

)*&% ,ℏ = 1.05 ∙ 10 = 3 ∙ 10 → ℏ ≈ 200 ; # 1# ≈ 1,44 = =ℏ 137

Dimensionamento fenomeni fisici

Energia cinetica di confinamento

Secondo i principi della meccanica quantistica si dimostra il principio di indeterminazione che dà un’indeterminazione intrinseca dell’incertezza della quantità di moto e della posizione di una particella.

Se so che una particella è in una certa dimensione finita dello spazio allora c’è un valore minimo di quantità di moto a cui corrisponde l’energia di confinamento. ∆∆~ℏ ℏ ℏ∆~1 → 10 ∆~~ ~∆ ∆

Consideriamo l’energia cinetica associata a questo valore di quantità di moto.

Considero l’ipotesi di approx NR e considero un nucleone in un nucleo # #() = = ~20 9 #2 2

Un nucleone in un nucleo ha energia cinetica dell’ordine di qualche decina di MeV.

I nucleoni in un nucleo possono essere descritti bene in approx NON relativistica.

Se considero invece un elettrone, ho che l’elettrone ha energia cinetica dell’ordine delle = ~200 .9 centinaia di MeV.

Lo descrivo bene dall’approx ULTRA relativistica.

Energia di attrazione/repulsione colombiana in un nucleo

Interazione elettromagnetica tra particelle di carica e. # ~ ~ / Questa ha le dimensioni di frazioni di MeV o MeV.

Poiché un nucleo è un sistema legato, i nucleoni in un nucleo stanno in una buca di potenziale, generata da un’energia potenziale, hanno energia cinetica dell’ordine delle decine di MeV.

In uno stato legato l’energia potenziale in valore assoluto dovrà essere maggiore di quella cinetica.

Esiste quindi una forma di interazione tra nucleoni in un nucleo che lo fanno stare insieme e che avrà un'intensità molto maggiore di quella elettromagnetica e a carattere globalmente attrattivo. 2

Deve esistere una forma di interazione in queste caratteristiche. Un’interazione che viene avvertita da particelle come protoni e neutroni che ha la caratteristica di avere globalmente un carattere attrattivo, un raggio di azione finito.

La forma di interazione deve avere costante di accoppiamento maggiore di quella che si associa ai fenomeni elettromagnetici perché due protoni in un nucleo sentono l’interazione elettromagnetica come repulsiva.

Questa interazione si chiama interazione nucleare forte, che deve essere avvertita dai nucleoni. # # ≫ <=g

Le particelle soggette alla forma di interazione nucleare forte vengono definite adroni.

Allo stesso tempo possiamo concludere che non possono esserci elettroni in un nucleo.

Gli elettroni non sono adroni.

Nucleo: sistema composto di nucleoni dove le forme di interazione non si riducono solo all'interazione elettromagnetica ma dove esiste anche l'interazione nucleare forte tra nucleoni.

Lunghezze d’onda

ℏ " ridotta ƛ = jƛ = k De Broglie >? >?: 9

La lunghezza d’onda di De Broglie è l’inverso del vettore d’onda associato alla quantità in oggetto.

ℏ/⎧ !(((#)/ )1⎫ )ℏ/ A seconda delle approx abbiamo diversi valori di lunghezza d’onda !⎨ ( ( "(8 )*) / (⎫ ℏ/⎩ 8

Limite classico → ≫ ƛ>? S dimensione spaziale su cui si vuole usare la sonda, la lunghezza di De Broglie deve essere minore della dimensione.

→ ≫ ƛ>?

Se si vuole usare elettroni o protoni per esperimenti di scattering di collisione per sondare le dimensioni dei nuclei ho bisogno di questi valori per scegliere la sonda più adatta.

Il neutrone libero non è una particella stabile, non è scontato ottenere un fascio di neutroni.

Vantaggi di usare i neutroni e protoni, quindi sono le basse energie ma non è scontato ottenere i fasci. La scelta della sonda quindi dipende dagli obiettivi.

Protoni e neutroni non sono però particelle elementari. Hanno una struttura interna e un raggio.

ℏ ridotta ƛ = Compton 6C )/

La lunghezza d’onda Compton ha a che fare con la descrizione quantistica e relativistica di una particella di massa m.

ℏ ℏ$1 -./012-D# *" ƛ = ~10 ƛ = ~10 6C 6C #

Se voglio lunghezze d’onda Compton dell’ordine dei fm devo avere ~100.

Le particelle che hanno energia riposo dell’ordine di 100 MeV sono dette mesoni.

# # # # # # # # # #( ) = + ~ ℏ + 3

Sviluppo strumenti fisico-matematici

Grandezze matematiche per la descrizione sistemi/processi fisici

• Scalari, vettori, tensori… tensori n-pli (rango n).

Scalari , , , Vettori ⃗, DTensori (doppi), DE

• Spinori: a due componenti, di rango superiore , , , , , ! !( (

Tensori e spinori soddisfano specifiche trasformazioni con cambio di base, cambiano le proprie componenti.

F La legge di trasformazione è sempre la stessa per ogni ente ed è la sua definizione. = GF

Posso ottenere applicando una legge a . DF ∑

Per un vettore . = DE DE E "F #F

Se ho due tensori uguali e applico la legge di trasformazione ottengo . = = " #

Queste leggi sono utili per cambiare il sistema di riferimento.

Si dice che la legge è covariante quando variano allo stesso modo i due membri dell’uguaglianza.

Anche lo spinore è un ente a due componenti definito nello spazio euclideo a tre dimensioni attraverso la legge di trasformazione delle sue componenti rispetto alla rotazione spaziale del sistema di coordinate.

y⃗ y⃗ ∑ ∑ Prodotto scalare o interno ⃗ ∙ ⃗ ∙ = = D D D DE DE D D1 =

Delta di Kronecker g ⃗ = ̂ + ̂ + ̂ yyy⃗ ∙ yyy⃗ = DE H H I I J J K L DE0 ≠

" "̂ = ∓ (̂ ± ̂ ) = ∓ ( ± )± H I ± H I

In coordinate sferiche ~ ~√# √# = ̂ = ̂ 2 J2 J

Si può definire la legge di trasformazione tra le componenti cartesiane e sferiche: −1 0 dove. ⃗ = ⃗ = 0 0 √2;O /4P 1 0 DEQ DE∗ Q G∗

Hermitiano coniugato: matrice trasposta e complessa coniugata. = =

Matrice inversa: moltiplicata per la matrice stessa dà come risultato la matrice identità. *": =

Matrice unitaria: come U, la sua trasposta coniugata è uguale alla sua inversa. *": =

y⃗ Prodotto vettoriale o esterno ⃗ × = D DE9 E 9 = 1"#&

Dove simbolo di Levi-Civita: è completamente antisimmetrico. g = −1&#"

Consideriamo come trasformazione l’inversione spaziale del sistema di coordinate → −.

Le componenti cambiano segno. Stesso vale per velocità e quantità di moto → −; → −.

Se faccio il prodotto vettore tra due vettori che cambiano segno per inversione spaziale, questo non cambia segno. Un esempio è il momento angolare orbitale = ⃗ × ⃗.

Esistono due tipi di rotazioni spaziali:

• Rotazioni spaziali proprie: cambio angolo.
• Rotazioni spaziali improprie o discrete: riflessione spaziale rispetto ad un piano.

Versori e spinori possono essere quindi classificati anche in base a queste proprietà:

• Vettori polari: cambiano segno in seguito a inversione spaziale.
• Vettori assiali o pseudovettori: non cambiano segno in seguito a inversione spaziale. 4

Uno pseudovettore può essere descritto in corrispondenza biunivoca con un tensore doppio antisimmetrico.

Se faccio il prodotto scalare tra un vettore e uno pseudovettore questo può cambiare segno anche se è uno scalare. ) )

Es. parità di un tensore/spinore per uno scalare(̅ → (−̅ … ……

Prodotto tensoriale o diretto = = … × =DE D E

Tensori di rango n-esimo si possono descrivere tramite queste proprietà.

Componente i per componente j e ottengo la componente ij del tensore di rango superiore. Passo da tensori a rango minore a tensori a rango maggiore.

∗ Combinazioni lineari/somme = + = − 0 0") 0 0

La somma diretta di tre matrici è data da + + = ( , , #" # & " # & 0 0 &

Tensori/spinori possono essere funzioni dipendenti da variabili indipendenti:

• Funzioni dinamiche ̅ (), (), () ̅(̅), ), ),
• Campi (̅ (̅ (̅ ) S T T # (∇)

Altre operazioni sono:

• Derivate , , , ∇, ∇ ∙, ∇, ∇ ∇(∇) = 0 ∇ ∙ = 0S5 T5 TH
• Integrali ,∈ …∫
• Funzionale: operatore lineare definito su spazio vettoriale definito in R, collega funzione ad un numero reale.

5 ( Es. Azione = ℒ( , ẏ , )∫ D K5 !

Descrizione dinamica di sistemi fisici

• Tipo di sistema: punto, corpo rigido/deformabile, campo, n° gradi di libertà, infinito/finito...
• Livello/framework: contesto fisico scelto: classica NR, quantistico, relativistico, MQR, QFT…
• Formalismo: approccio newtoniano, lagrangiano, hamiltoniano…

Formalismo lagrangiano

Riveste un ruolo di grande rilevanza. Infatti:

• Consente di usare in modo sistematico coordinate generalizzate;
• Base della descrizione hamiltoniana;
• Contesto naturale anche per la relatività speciale SR;
• Naturale per studi di simmetria dei sistemi fisici.

La funzione lagrangiana è una funzione che può dipendere da posizione, velocità e tempo. ℒ = ℒ( , ẏ , )D K

Può anche essere scritta nella forma ℒ ℒ= ẏ K D Tℒ

Il momento canonicamente coniugato alla variabile q i-esima è ≡D ẏTV* ∑

Dalla funzione Lagrangiana posso costruire la funzione hamiltoniana = ẏ − ℒD D K e da questa è possibile fondare la descrizione dinamica del sistema attraverso l’equazione di Hamilton ẏ = ẏ = −K K D D

55 ( Con la Lagrangiana è possibile costruire il funzionale azione = ℒ( , ẏ , )∫ D K5 !

Principio di minima azione: la dinamica del sistema è andando a cercare la stazionarietà dell’azione, considerando la variazione dell’azione rispetto alla variazione arbitraria delle coordinate generalizzate ma variazioni nulle a tempo iniziale e finale. Ponendo la variazione dell’azione uguale a zero si ottiene l’equazione della dinamica.

= 0 ’ “ = 0‘ D OD-( ) = 0D D-

Le equazioni di Lagrange sono giustificate dal principio dell’azione stazionaria.

Lagrangiane

• Particella libera !(" YOP11 (# OP11 #ℒ = ℒ = − j1 − k<X (# / !*(Tℒ Tℒ Tℒ Tℒ YOP11 (̅ = j , , k = ̅ = ̅ = j1 − k<X X[\ (TYZ TY TY TY /! ( # !(:OP11 OP11 # % # #( )ℌ = ⃗ ∙ ⃗ − ℒ = ℌ = + (<X X[\#)(ℏ T]
• =− •# ∇ ℏ = ⃗ = −ℏ∇#) S5
• Contributo di energia potenziale (̅ ) OP11 OP11 ℒ = ℒ − ℌ = ℌ +
• Particella di massa m e carica q in un campo EM esterno dato T(̅"… = − − Teoria del campo magnetico di Maxwell ~ / T5̅… = ∇ ×

In questo caso V Tℒ V̅k ̅OP11ℒ = ℒ − j − ̅ ∙ ̅ = = ̅ +TYZ/ /

• Più particelle immerse in un campo EM OP11∑
• Particelle non interagenti ℒ = ℒD DOP11∑
• Particelle interagenti ℒ = ℒ + ℒD D-5D interpretabile come energia potenziale .ℒ −D-5 :25
• Più particelle immerse in un campo EM ognuna con propria m e q VOP11 ̅∑ ∑ (̅+ℒ = ℒ − ( (̅ , ) − š ∙ , )D D D D K DD /̅
• ) ( ) Campo di densità di carica e corrente elettrica (̅ ̅ &

Ad ogni i-esima carica corrisponde un contributo infinitesimo di carica elettrica data → D