Lezione 9 Fisica 1

Rotazioni rigide intorno ad un asse fisso (continuazione)

Abbiamo già dimostrato che, per un sistema di punti in rotazione rigida intorno ad un asse z, l'energia cinetica è _Ec = ¹/_{2 Iz}ω²

_Iz = momento d’inerzia intorno a z

ω = velocità angolare

Questa relazione è valida anche per un corpo rigido continuo: in questo caso _Iz sarà calcolato con un integrale invece che con una sommatoria.

n punti discreti: _Iz = ∑_i=1ⁿ m_iRi²

_Ri = distanza del punto dall’asse z

corpo rigido continuo: _Iz = ∫_M r² dm = ∫_V x² ρdV

Vediamo ora il calcolo del momento angolare per un sistema di punti in rotazione rigida. Anche in questo caso il risultato si estende anche al caso di un corpo rigido continuo.

_L^→_i = _R^→_i × m_{i v}^→_i

⊥ al piano individuato da _R^→_i e _v^→_i

|_L^→_i| = _Ri m_i v_i = _Ri m_{i Ri}ω

Calcoliamo la componente di _L^→_i lungo la direzione dell’asse z.

|_Liz| = _Li senθ_i = senθ_{i Ri} m_{i Ri} ω = m_{i Ri}² ω

Rotazioni rigide intorno ad un asse fisso (continuazione)

Abbiamo già dimostrato che, per un sistema di punti in rotazione rigida intorno ad un asse z, l'energia cinetica è:

I_z = momento d'inerzia intorno a z

ω = velocità angolare

Questa relazione è valida anche per un corpo rigido continuo: in questo caso I_z sarà calcolato con un integrale invece che con una sommatoria.

n punti discreti: I_z = Σ_i=1ⁿ m_i R_i²

corpo rigido continuo: I_z = ∫_M r² dm = ∫_V x² ρ dV

Vediamo ora il calcolo del momento angolare per un sistema di punti in rotazione rigida. Anche in questo caso il risultato si estende anche al caso di un corpo rigido continuo.

L_i = R_i x m_i V_i

➞ al piano individuato da R_i e V_i

|L_i| = R_i m_i R_i ω

Calcoliamo la componente di L_i lungo la direzione dell’asse z:

|L_iz| = L_i senθ_i == senθ_i R_i m_i R_i ω = m_i R_i² ω

Quindi, il MOM. ANG. TOTALE L = ∑_iL_i non è detto che sia // all'asse di rotazione.

Tuttavia possiamo scrivere una relazione di proporzionalità tra L_z (proiezione di L lungo l'asse di rotazione z) e la velocità angolare:

L_z = ∑_im_iR_i²ω̂ = I_zω̂ => L_z = I_zω̂

Quando z è un asse di simmetria del corpo rigido, cioè ∀ punto i ∃ un punto j t.c. L_i + L_j ha risultante parallela all'asse di rotazione z, allora L // ω̂.

=> L = I_zω̂

=> ^dL/_dt = I_z^dω̂/_dt ⇙ M = I_zα̂

momento delle forze esterne

accelerazione angolare

Eq. del moto di rotazione

N.B. Parallelismo tra grandezze fisiche/equazioni usate per il moto di TRASLAZIONE e di ROTAZIONE

TRASLAZ.

ROTAZ.

̂̂ω̂̂α̂

m

I_z

F

M

p

L

TRASLAZ.

ROTAZ.

F = mâ

M = I_zα̂

p̂ = mv̂

L_z = I_zω̂

Esempio: pendolo fisico (detto a