Lezione 10 Fisica 1

OSCILLAZIONI

OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE:

• punto sotto azione FORZA ELASTICA
• pendolo semplice / pendolo composto

\(\ddot{x}(t) + \omega^2 x(t) = 0\)

(*) \(\omega^2 = \frac{k}{m}\) (forza elastica)

\(\omega^2 = \frac{g}{L}\) (pendolo semplice)

\(\omega^2 = \frac{mgh}{I_c}\) (pendolo composto)

EQUAZIONE DIFFERENZIALE:

• del II ORDINE (c'è la derivata seconda di \(x(t)\))
• LINEARE (\(x(t)\) compare solo alla prima potenza)
• a COEFFICIENTI COSTANTI \(1\) e \(\omega^2\)
• OMOGENEA (termine noto nullo)

PROPRIETA':

1. Se \(x(t)\) è soluzione di (*), anche \(a x(t)\) è soluzione di (*)

\(\frac{d^2}{dt^2} (a x(t)) + \omega^2 (a x(t)) = a (\ddot{x} + \omega^2 x)\ = a (\ddot{x} + \omega^2 x) = 0\)

2. Se \(x(t)\) e \(y(t)\) sono soluzioni di (*), anche \(z(t) = x(t) + y(t)\) è soluzione di (*)

\(\ddot{z} + \omega^2 z = (\ddot{x} + \ddot{y}) + \omega^2 (x + y) = (\ddot{x} + \omega^2 x) + (\ddot{y} + \omega^2 y) = 0\)

Si può dimostrare che l'equazione (*) ammette solo due soluzioni indipendenti e che la soluzione più generale è:

\(X(t) = a \sin (\omega t) + b \cos (\omega t)\) \(a, b =\) costanti arbitrarie

OSCILLAZIONI

OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE:

• punto sotto azione FORZA ELASTICA
• pendolo semplice / pendolo composto

\(\ddot{x}(t) + \omega^2 x(t) = 0\)

Equazione Differenziale:

• del II Ordine (c'è la derivata seconda di \(x(t)\))
• Lineare (\(x(t)\) compare solo alla prima potenza)
• A coefficienti costanti \(1\) e \(\omega^2\)
• Omogenea (termine noto nullo)

Proprietà:

1. Se \(x(t)\) è soluzione di \((*)\), anche \(a x(t)\) è soluzione di \((*)\)

\(\frac{d^2}{dt^2} (a x(t)) + \omega^2 (a x(t)) = a (\ddot{x} + \omega^2 x) = a (\ddot{x} + \omega^2 x) = 0\)

2. Se \(x(t)\) e \(y(t)\) sono soluzioni di \((*)\), anche \(z(t) = x(t) + y(t)\) è soluzione di \((*)\).

\(\ddot{z} + \omega^2 z = (\ddot{x} + \ddot{y}) + \omega^2 (x + y) = (\ddot{x} + \omega^2 x) + (\ddot{y} + \omega^2 y) = 0\)

Si può dimostrare che l'equazione \((*)\) ammette solo due soluzioni indipendenti e che la soluzione più generale è

\(X(t) = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)\)

\(a, b =\) costanti arbitrarie

Studiamo ora il caso di un punto di massa m appeso ad una molla di costante elastica k

x = 0 posizione a riposo della molla quando non c'è attaccato nulla

EQUILIBRIO STATICO

mg - kx = 0 → x_s = ^mg/_k

L'equazione del moto quando il sistema oscilla è:

F = mg - kx → F = ma (= mx¨)

mg - kx = mx¨

⇒ x¨ + ^k/_m x = g

EQ. DIFF. II ORDINE LINEARE NON OMOGENEA

La soluzione di un eq. differenziale non omogenea della forma:

x¨(t) + ω² x(t) = F(t)

IN GENERALE

x(t) = a sin(ωt) + b cos(ωt) + x_p(t)

x_p(t) Soluzione dell' eq. omogenea corrispondente

x¨(t) = x_o(t) + x_p(t)

x¨ + Ω² x = x¨_o + x¨_p + Ω²(x_o + x_p) = x¨_o + Ω² x_o + x¨_p + ω² x_p = f(t)

Quindi, per risolvere un' eq. diff. non omogenea devo trovare una sol. particolare

Nell'esempio del punto materiale appeso alla molla,

una soluzione particolare è data dalla condizione di

equilibrio statico:

x_p = x_s = ^mg⁄_K

Quindi la soluzione è:

x(t) = a  sen (ωt) + b  cos (ωt) + ^mg⁄_K

con ω² = ^K⁄_m

questa parte può essere riscritta

nella forma A  sen (ωt + φ)

(oppure B  cos (ωt + φ')), infatti:

A  sen (ωt + φ) = A [  sen ωt  cos φ +  cos (ωt)  sen φ]

= A  cos φ  sen (ωt) + A  sen φ  cos (ωt)

X(t) = A  sen (ωt + φ) + ^mg⁄_K

Poste le condizioni iniziali: t = 0 { x_o = 2x_s , v_o = 0

{ ^Mg⁄_K

X(0) = A  sen φ + ^mg⁄_K = 2 ^mg⁄_K

V(0) = Aω  cos φ = 0   ⇒   φ = ^π⁄₂

A  sen ^π⁄₂ = ^mg⁄_K   ⇒   A = ^mg⁄_K

X(t) = ^mg⁄_K (1 ±  sen (ωt + ^π⁄₂)) = ^mg⁄_K (1 ±  cos (ωt))

x(t) - x_s = x_s  cos (ωt)