Lezione 10 Fisica 1

Oscillazioni

Oscillatore armonico semplice

Primo sotto azione forza elastica

Pendolo semplice / pendolo composto

m ẍ(t) + ω² x(t) = 0 (*)

ω² = k/m (forza elastica)

ω² = g/L (pendolo semplice)

ω² = mgh/I_z (pendolo composto)

Equazione differenziale

• Del II ordine (c'è la derivata seconda di x(t))
• Lineare (x(t) compare solo alla prima potenza)
• 2 coefficienti costanti (1 e ω²)
• Omogenea (termine noto nullo)

Proprietà

• Se x(t) è soluzione di (*), anche a x(t) è soluzione di (*)
• d²/dt² (a x(t)) + ω² (a x(t)) = a ẍ + a ω² x = a (ẍ + ω² x) = 0
• Se x(t) e y(t) sono soluzioni di (*), anche z(t) = x(t) + y(t) è soluzione di (*)
• z̈ + ω² z = (ẍ + ÿ) + ω² (x + y) = (ẍ + ω² x) + (ÿ + ω² y) = 0

Si può dimostrare che l'equazione (*) ammette solo due soluzioni indipendenti e che la soluzione più generale è

x(t) = a sin(ωt) + b cos(ωt)

a, b = costanti arbitrarie

Oscillazioni

Oscillatore armonico semplice

Primo solo azione forza elastica

Pendolo semplice / pendolo composto

X^..(t) + w² x(t) = 0

Equazione differenziale

• Del II ordine (c'è la derivata seconda di x(t))
• Lineare (x(t) compare solo alla prima potenza)
• Q coefficienti costanti (1 e w²)
• Omogenea (termine noto nullo)

w² = k/m (forza elastica)

w² = g/L (pendolo semplice)

w² = mgh/I_z (pendolo composto)

Proprietà

• Se x(t) è soluzione di (*), anche a x(t) è soluzione di (*)
• d²/dt² (a x(t)) + w² (a x(t)) = a x^.. + a w² x = a (x^.. + w² x) = 0
• Se x(t) e y(t) sono soluzioni di (*), anche z(t) = x(t) + y(t) è soluzione di (*)
• z^.. + w² z = (x^.. + y^..) + w² (x + y) = (x^.. + w² x) + (y^.. + w² y) = 0

Si può dimostrare che l'equazione (*) ammette solo due soluzioni indipendenti e che la soluzione più generale è

x(t) = a sen (wt) + b cos (wt)

a, b = costanti arbitrarie

Studio del punto di massa m appeso a una molla

136

Studiamo ora il caso di un punto di massa m appeso ad una molla di costante elastica k

x = 0 = posizione a riposo della molla quando non c'è attaccato nulla

Equilibrio statico

R = 0

mg - kx = 0 => xs = mg/k

Equazione del moto

L'equazione del moto quando il sistema oscilla è:

F = mg - kx

F = ma (= mxpp)

mg - kx = mxpp

xpp + (k/m)x = g ← Eq. diff. II ordine lineare non omogenea

Soluzione dell'equazione differenziale non omogenea

La soluzione di un'eq. differenziale non omogenea della forma

xpp(t) + w²x(t) = F(t)

è:

X(t) = a sen(wt) + b cos(wt) + xp(t)

Xo(t) soluzione dell'eq. omogenea corrispondente

Soluzione particolare dell'eq. non omogenea

X(t) = Xd(t) + Xp(t)

xpp + w²x = xopp + xppp + w²(xo + xp) = xopp + w²xo + xppp + w²xp = F(t)

Quindi per risolvere un'eq. diff. non omogenea devo trovare una sol. particolare

Nell'esempio del punto materiale appeso alla molla, una soluzione particolare è data dalla condizione di equilibrio statico:

x_p = x_s = mg/k

Quindi la soluzione è:

x(t) = a sen(ut) + b cos(ut) + mg/k

con u² = k/m

Riscrittura della soluzione

Questa parte può essere riscritta nella forma A sen(ut + q)

oppure B cos(ut + q'), infatti:

A sen(ut + q) = A [sen ut cos q + cos(ut) sen q]

= A cos q sen(ut) + A sen q cos(ut)

x(t) = A sen(ut + q) + mg/k

Condizioni iniziali

Poste le condizioni iniziali t = 0 { x₀ = 2x_s, v₀ = 0 } si ottiene

x(0) = A sen q + mg/k = 2 mg/k

v(0) = A u cos q = 0 => q = pi/2

A sen pi/2 = mg/k

=> A = mg/k

x(t) = mg/k (1 + sen(ut + pi/2)) = mg/k (1 + cos ut)

x(t) - x_s = x_s cos(ut) ~ oscillazione intorno al punto di equilibrio statico

Energia meccanica dell'oscillatore armonico

E = E_cin + E_pot

Energia cinetica

E_c = 1/2 mv²

v(t) = x'(t) = A w cos(wt + φ)

Energia potenziale della forza elastica

U_el = 1/2 kx²

x(t) = A sen(wt + φ)

E = 1/2 mv² + 1/2 kx² = 1/2 mA²w² cos²(wt + φ) + 1/2 kA² sen²(wt + φ)

= 1/2 kA