Lavoro e conservazione dell’energia

Lavoro di una forza

dL = dW = F · ds

ds = v dt

Lavoro infinitesimo della forza F

F = F_T u_T + F_N u_N

dL = F_T d_T + d_T + F_N d_N = F_T d_T

dL = F_T d_T + F_N d_N

dL = F_T d_T d_N

(Il lavoro è un numero, non vettore)

dL = F · cosθ · ds

[L] = [F] · [L] = N·m = J

L_AB = ∫_A^B dL = ∫_A^B F_T·d_T·cosθ

L dipende da θ e da AB

θ 0 Lavoro motore

θ = π/2 L = 0 Lavoro nullo

Sovrapposizione degli effetti

L_AB = ∫_A^B F ds R = F₁ + F₂ + F₃ + ... F_n = F_i

Lavoro di una forza

dL = dW = _F · d_s

dL = _FT d_sT + _FN d_sN

dL = _F · d_s cosθ

L_AB = ∫_A^B _F · d_s cosθ

θ 0, Lavoro motore

θ > π/2, L θ = π/2, L = 0, Lavoro nullo

Sovrapposizione degli effetti

L_AB = ∫_A^B _R · d_s = ∑_i=1ⁿ L_i

Potenza

Potenza media

^L/Δt

P_m = ^L/Δt

Lavoro totale

[P_m]=[^L/_Σt]=J/s=W

Int. tempo

Potenza istantanea

Lavoro infinitesimo

lim P_m = lim ^L/Δt

Δt→0 Δt→0 Δt

P_i^=dL/_dt=^->d/_->ds=^->F->U=F cosθU

P_i = F cosθ U

Teorema delle forze vive

dL=^->F->ds=^F cosθ^ds=m^dv

F_T ds ds ds ds = d ds ds = d

dL = m.v_i.dv

L= _A ∫^B m . v . dv = m(^v_2i)/(2)=¹/₂m_vi²-¹/₂mV_A²

Velocità V_Finale V_RI

Energia cinetica

E_CN = E_K = K = ¹/₂m^v₂

Forma di energia associata al movimento

Teorema forze vive

L = ¹/₂mv_F²-¹/₂mV_A²=E_{K 0 ; EK > 0 ; UP i} :Motore

Lancio Z_iP> Z_f :L K P i :Resistente

Traettoria generica

dL = F_P (k · ds) = -m · g · (k_z · dL = -m · g · dz

L_AB = ∫_A^B dL = -m · g (z_B - z_A)

L_AB = m · g (z_B - z_A)

Lavoro forza elastica

F_EL

Il lavoro della forza elastica non dipende dalla traiettoria

L_AB = ∫_A^B dL = -k ∫_A^B dx = -k [1/2 x²]_A^B = -1/2 k (x_B² - x_A²)

L_AB:|x_B| > |x_A| ⇒ L_AB K |x_B| A| ⇒ L_AB > 0 , ΔE_K > 0

Motore

Forze conservative

La forza conservatrice compie un lavoro non dipendente dal percorso effettuato ma solo dalle posizioni iniziali e finali

L_AB = ∫_A^B F_cons·ds₁ = ∫_A^B F_cons·ds₂ = ∫_A^B F_cons·ds₁

L_ABA = ∫_A^A F_cons·ds = 0

Δ L_AB = ΔE_K ; L_ABA = 0 ⇒ ΔE_K = 0

Il lavoro di forza conservatrice può essere espresso come variazione di energia potenziale

Energia potenziale

L'energia potenziale è una funzione delle sole coordinate la cui variazione è il lavoro di forze con:

L_AB = ∫_A^B F_con•ds = -∫_A^B dE_P = -[E_PB - E_PA]⇒ L_AB = -(E_PB - E_PA)

[E_P] = J

L_AB = -ΔE_P

Energia potenziale forza peso

L_pAB = -(mg z_B - mg z_A) = -(E_PB - E_PA) ⇒ E_P = mg•z

Energia potenziale forza elastica

L_felAB = -(1/2k x_B² - 1/2k x_A²) = -(E_PB - E_PA) ⇒ E_Pel = 1/2kx²

Es.

E_KA = 0

E_RA = mg•z_A

E_KB = 1/2m u²

E_PB = 0

L_AB = -ΔE_PB = (E_PB - E_PA) = mg z_A

L_AB = ΔE_kAB = E_kB - E_kA = 1/2m u²_B⇒ mg z_A = 1/2m u²_B u_B = √2g z_A

Conservazione energia meccanica

L_AB = ΔE_{K sempre}

L_AB = - ΔE_{P F. Cons.}

⇒ ΔE_K = - ΔE_P ⇒ E_KB - E_KA = - (E_PB - E_PA)

⇒ E_KB + E_PB = E_KA + E_PA ⇒ E_MB = E_MA

E_M = E_K + E_P

ex.lungo x: F⃗_el = - k x îx _{F. cons , Fel compie lavoro}

E_M = E_P + E_K = ½ k x₀² + ½ m v₀²

x(t) = A sin (ω t + Ɛ) U(t) = A • ω • cos (ω t, Ɛ)

E_M = ½ k A² sin² (ω t, Ɛ) + ½ m A²(ω²) cos² (ω t, Ɛ) == ½ k A²( sin² (ω t, Ɛ) + cos² (ω t, Ɛ) ) = ½ k A²

E_M = ½ k A²

Conservazione energia meccanica: forza peso

Il peso compie lavoro (componente tangente allo spostamento) L_T⟂ cost.

T non compie lavoro ⟹ E_M si conserva

E_MA = E_KA + E_PA = ¹/₂ m v_A² + mgz_A

E_NB = E_KO + E_PA = ¹/₂ m v_B² + mgz_B

ΔE_MAB = 0

F_P compie lavoro e è conservativa

∇_T non compie lavoro ⟹ C_TOT = cost. ⟹ ΔE_M = 0

ΔE_M = 0 (perché agiscono solo forze conservative)

Forze non conservative

L_AB = ∫_A^B F_NC d_s | x_A ≠ ∫_A^B F_NC d_s | x_B

Attrito dinamico, viscoso

Motore

Lavoro non conservativo attrito

d_s sempre ≠ 0 statica

dL = ^F_AS/_s · d_s = 0

Attrito statico non compie lavoro

dL = -μ_DN · ds

L_AB = ∫_A^B -μ_DN · ds = -μ_DN(x_B-x_A)