Introduzione alle matrici con eliminazione di Gauss e studio del determinante

Algebra Lineare

Matrici e sistemi lineari

Note: §3.3, 7.2 e 7.3, 9

Introduzione ai sistemi lineari

Def. Un sistema lineare è un insieme di equazioni di primo grado (lineari) considerate tutte simultaneamente

Esempio esplicito: Bilanciare la reazione chimicaC₃H₈ + HNO₃ → C₃H₅O₆N₅ + H₂O

Se si usano 1 molecola di C₃H₈, quante molecole di HNO₃ servono?

1 C₃H₈, x HNO₃, y C₃H₅O₆N₅, z H₂O

solvo per sostituzionex = 3

questo sistema lineare ha esattamente 1 soluzione

Esempio esplicito: In un bar1 caffè + 2 spremute + 1 toast = 10€1 caffè + 3 toast = 10€

1° domanda: 2 caffè + 2 spremute + 4 toast = 15€

conti errati3 soluzioni

Algebra lineare

Matrici e sistemi lineari

Abate: cap. 3, 7.2 e 7.3, 9

Introduzione ai sistemi lineari

Un sistema lineare è un sistema di equazioni di primo grado (= lineare) considerate tutte simultaneamente

es. 3x + 5y = 0 x - 4y = e³ lineare

3x² + 5x 5y = 0 x - 4e^y = e³ non lineare

Esempio esplicito: Bilanciare la reazione chimica

C₉H₈ + HNO₃ → C₇H₃O₆N₅ + H₂O

Se si usa 1 molecola di C₉H₈, quante molecole di HNO₃ servono?

1 C₉H₈, x HNO₃, y C₇H₃O₆N₅,  z H₂O

• C : 7 = 7y
• H : 8 + x = 5y + 2z
• N : x = 3y
• O : 3x = 6y + z

risolvo per sostituzione ⁷/_₁ 8 + 3 = 5 + 6v → x = 3 x = 3 9 - 6 = 3

questo sistema lineare ha esattamente 1 soluzione (x/,z/) = (7/3)

Esempio esplicito: In un bar

1 caffè + 2 spremute + 1 toast = 10€

1 caffè + 3 toast = 10€

1^a domanda : 2 caffè + 2 spremute + 4 toast = 15€

• x + 2y + 3z = 10
• x + 3z = 10
• 2x + 2y + 4z = 15

2y - 2z = 0 x = 10 - 3z

y = z

conti correnti − 3 soluzioni"

Def

Un sistema lineare è detto compatibile se ha almeno una soluzione, incompatibile se non ammette soluzioni.

Esempio esplicito: La un bar

1 caffè + 2 spremute + 1 toast = 10€

1 caffè + 3 toast = 10€

2^a domanda: 2 caffè + 2 spremute + 4 toast = 20€

• x + 2y + z = 10
• x + 3z = 10
• 2x + 2y + 4z = 20

• 2y - 2z = 0
• x = 3
• x - 10 = 3z
• 2x = 20 - 6z
• 0 = 0

Dato che l'eq. 0 = 0 è inutile, il sistema iniziale è equivalente al sistema semplificato:

• y = z
• x = 10 - 3z

Def

Due sistemi lineari sono equivalenti se hanno esattamente le stesse soluzioni.

Questo sistema semplificato è compatibile e ha ∞ (infiniti) soluzioni:

z "variabile libera" diventando z = t ∈ ℝ

Tutte le terne ^(x/y/z) = ^(10-3t/t/t) al variare di t ∈ ℝ, sono soluzioni del sistema semplificato e del sistema iniziale equivalente.

Oss x variabile libera

• y = z
• x = 10 - 3z

→

• ^(x/y/z) = ^(10-3/t/t)
• t ∈ ℝ

Introduzione allo spazio Rⁿ: prodotto scalare, norma

• Caso noto: n = 2
  • R² = {v = (_v1^v₂) v₁∈R, v₂∈R} vettori del piano applicati all'origine

  Somma di due vettori: v + w = (_v1^v₂) + (_w1^w₂) = (_{v1 + w1}^{v₂ + w₂})

  Prodotto per uno scalare: k∈R y∈R²

  • k v = (_{k v1}^{k v₂}) se k < 0, inverte il corso del vettore

  Vedremo che lo spazio R² con le operazioni di somma e prodotto per uno scalare è uno spazio vettoriale

  Base canonica: e₁ = (₁⁰) e₂ = (₀¹) versori

  v = (_v1^v₂) = v₁ e₁ + v₂ e₂

  • coordinate

  Lunghezza o norma di un vettore (Teorema di Pitagora)

  • (lunghezza (v)) ² = ||v||² = v₁² + v₂²

  ||v|| = √v₁² + v₂² oss ||v||