Introduzione alla misura dei rischi finanziari

Introduzione alla misura dei rischi finanziari

Capitolo 1 — Il Value At Risk: definizione e fondamenti

1.1 Cosa intendiamo per rischio finanziario

Prima di addentrarci nella definizione tecnica del Value at Risk, è utile soffermarsi su una domanda apparentemente semplice: che cosa intendiamo per rischio in ambito finanziario? La risposta non è banale quanto potrebbe sembrare. Da un punto di vista concettuale, il rischio forward looking non è qualcosa che appartiene al passato, ma è una misura ovvero orientata al futuro, e sempre associata a uno specifico orizzonte temporale. Dire che un investimento "è rischioso" non basta: occorre specificare in quale arco di tempo e con quale grado di probabilità si sta ragionando.

In finanza, il rischio nasce dall'incertezza sull'evoluzione futura del valore di un portafoglio. Questo valore dipende da una serie di variabili che chiamiamo fattori di rischio: il prezzo di un'azione, il tasso di interesse, il tasso di cambio, la volatilità implicita di un'opzione. Ogni variazione di questi fattori si traduce in una variazione del valore del portafoglio, e quindi in una potenziale perdita o guadagno per l'investitore.

1.2 La distribuzione della perdita di un portafoglio

Il punto di partenza per qualsiasi misura di rischio è la costruzione della distribuzione della perdita del portafoglio. Definiamo formalmente la perdita nel seguente modo: dato il valore di mercato del portafoglio al tempo t, che indichiamo con V(t), la perdita sull'orizzonte temporale [t, t+h] è:

L(t+h) = −[V(t+h) − V(t)]

Il segno negativo è intenzionale: la perdita è positiva quando il valore del portafoglio diminuisce. Possiamo anche esprimerla in termini percentuali, dividendola per il valore iniziale V(t).

Conoscere questa distribuzione è fondamentale perché ci permette di rispondere a una domanda pratica cruciale: con quale probabilità la perdita supererà una certa soglia? È esattamente su questa domanda che si innesta il concetto di Value at Risk.

Per un portafoglio azionario composto da N titoli, il valore del portafoglio è:

V(t) = Σ αₙ · eᵓⁿ⁻ᵗ

dove αₙ è il numero di azioni del titolo n-esimo e Zₙ(t) = ln(Sₙ(t)) è il logaritmo del prezzo. La perdita linearizzata risulta essere una combinazione pesata dei log-rendimenti di ciascun titolo, con pesi ωₙ pari alla percentuale di ricchezza investita in quel titolo. Questo ci dice che il rischio del portafoglio dipende sia dai rischi dei singoli titoli sia dalla struttura dei pesi di investimento.

1.3 Le Greche: misure di sensibilità del portafoglio

Prima di definire il VaR, è indispensabile introdurre le cosiddette Greche, ovvero le misure di sensitività del valore di un portafoglio rispetto ai fattori di rischio. Esse sono strumenti operativi fondamentali per il risk manager, perché consentono di quantificare come il valore del portafoglio reagisce a piccole variazioni di ciascun fattore.

Il Delta (Δ) è la misura di sensitività di primo ordine, definita come il rapporto tra la variazione del valore di portafoglio (Δπ) e la variazione del fattore di rischio sottostante (ΔS):

Δ = Δπ / ΔS

Se il Delta è pari a −15.000, significa che a ogni euro di aumento del fattore di rischio, il valore del portafoglio si riduce di 15.000 euro. Un portafoglio si dice delta neutrale quando il suo delta complessivo è pari a zero, ovvero quando le posizioni si compensano reciprocamente rispetto a piccole variazioni del sottostante.

Il Gamma (Γ) è la derivata seconda del valore di portafoglio rispetto al fattore di rischio, e cattura la curvatura della relazione tra valore e sottostante. I prodotti lineari, come le azioni, hanno gamma nullo; le opzioni, invece, hanno gamma non nullo. Un gamma positivo indica che il delta aumenta all'aumentare del sottostante, mentre un gamma negativo indica il comportamento opposto.

Il Vega (V) misura la sensitività del portafoglio alla volatilità del sottostante. Un compratore di opzioni vanilla ha sempre vega positivo: beneficia di aumenti di volatilità. Un venditore, al contrario, ha vega negativo.

Il Theta (Θ) misura la sensitività rispetto al trascorrere del tempo, mentre il Rho (ρ) misura la sensitività rispetto alle variazioni del tasso di interesse. Vale la pena ricordare che il theta rappresenta un'utile approssimazione del gamma: quando il theta è grande e negativo, anche il gamma tende ad esserlo, e viceversa.

Queste misure sono utilizzate dai risk manager per effettuare gli aggiustamenti di portafoglio necessari a mantenere l'esposizione al rischio entro i target stabiliti dalla politica di investimento o dalla regolamentazione.

1.4 La definizione formale del Value at Risk

Il Value at Risk (VaR) è la misura di rischio più diffusa in ambito finanziario e regolamentare. Risponde alla seguente domanda: qual è la perdita massima che un portafoglio può subire, su un dato orizzonte temporale, con una determinata probabilità?

Formalmente, il VaR al livello di probabilità p, al tempo t e sull'orizzonte temporale h è definito come:

Pr[L(t+h) > VaRₚ(t+h)] = p

ovvero:

VaRₚ(t+h) = F⁻¹_L(1−p)

dove F⁻¹_L è l'inversa della funzione di ripartizione della distribuzione della perdita. In parole semplici, il VaR è il quantile (1−p) della distribuzione delle perdite: siamo certi al (1−p)% che la perdita non supererà quel valore.

Due parametri caratterizzano completamente il VaR: il livello di confidenza (1−p), tipicamente pari al 99% o al 95%, e l'orizzonte temporale h, solitamente pari a un giorno nell'operatività quotidiana delle banche, oppure a 10 giorni ai fini regolamentari.

Vale la pena sottolineare un aspetto importante: il VaR non ci dice nulla su cosa accade nel restante p% dei casi, ovvero nella coda della distribuzione. Questo è uno dei principali limiti della misura, che affronteremo nel Capitolo 3 quando introdurremo l'Expected Shortfall.

1.5 Il VaR su orizzonte temporale multiplo

Nella pratica, spesso si ha a disposizione una stima del VaR giornaliero e si ha la necessità di scalarlo a un orizzonte temporale più lungo. Sotto l'ipotesi che le perdite giornaliere siano indipendenti e identicamente distribuite, la volatilità scala con la radice quadrata del tempo. Pertanto, il VaR su h giorni si ottiene da quello giornaliero applicando la seguente Scaling Rule:

σ_h ≅ σ_daily × √h

Ad esempio, se la volatilità giornaliera di un portafoglio è pari al 2,64%, la volatilità mensile, calcolata su 20 giorni di trading, sarà approssimativamente pari a 2,64% × √20. Di conseguenza, il VaR decadale si ottiene moltiplicando il VaR giornaliero per √10 ≍ 3,162.

Esempio 1 – VaR di un singolo titolo con distribuzione normale

Supponiamo di detenere un portafoglio investito interamente in un singolo titolo azionario. La variazione giornaliera di valore si distribuisce normalmente con media nulla e deviazione standard pari a €10 milioni.

Vogliamo calcolare il VaR giornaliero al 99% di confidenza, ovvero p = 1%.

Sotto l'ipotesi di distribuzione normale, il VaR è dato da:

VaR₀,₀₁(t+1) = σ × Φ⁻¹(0,99)

dove Φ⁻¹(0,99) è il 99° percentile della normale standard, pari a 2,326.

Quindi:

VaR₀,₀₁ = €10 milioni × 2,326 = €23,26 milioni

Questo significa che, nel 99% dei giorni, la perdita del nostro portafoglio non supererà €23,26 milioni. Solo nell'1% dei casi — in media circa 2-3 giorni ogni anno lavorativo — la perdita potrebbe eccedere tale soglia.

Se volessimo invece calcolare il VaR al 90% di confidenza, p = 10%, il quantile della normale standard da usare è Φ⁻¹(0,90) = 1,282, e quindi:

VaR₀,₁₀ = €10 milioni × 1,282 = €12,82 milioni

Come ci aspettiamo, una soglia di confidenza più bassa produce un VaR inferiore: stiamo accettando un rischio maggiore di essere sorpresi da una perdita più elevata.

Esempio 2 – VaR di un portafoglio con due attività rischiose

Consideriamo ora un portafoglio più articolato, composto da due posizioni: azioni ATT con prezzo corrente di €30, di cui vengono acquistate quantità per un valore esposto di €120.000 con volatilità dell'1%, e opzioni scritte su ATT con delta pari a 20.000 e correlazione tra i due fattori di rischio pari a 0,03.

Il valore del portafoglio varia come:

ΔV = 120.000 · ΔS₁ + 600.000 · ΔS₂

dove il secondo termine, 30 × 20.000 = 600.000, rappresenta l'esposizione lineare dell'opzione tramite il suo delta.

La volatilità complessiva del portafoglio si calcola tenendo conto delle volatilità individuali e della correlazione tra i due fattori:

σ_V = √[(120 × 0,02)² + (600 × 0,01)² + 2 × 120 × 600 × 0,01 × 0,02 × 0,03] σ_V ≅ 7,099

Il VaR al 95% su un orizzonte di 5 giorni è quindi:

VaR₀,₀₅ = 7,099 × 1,65 × √5 = €26.193

Questo esempio mostra un aspetto cruciale del rischio di portafoglio: la correlazione tra i fattori di rischio gioca un ruolo determinante. Una correlazione bassa, come 0,03 in questo caso, riduce il rischio complessivo rispetto a quello che si avrebbe sommando semplicemente i rischi individuali, illustrando concretamente il beneficio della diversificazione.

Capitolo 2 — Metodologie per il calcolo del VaR

2.1 Il problema centrale: stimare la distribuzione delle perdite

Nel capitolo precedente abbiamo definito il VaR come il quantile (1−p) della distribuzione delle perdite di un portafoglio. Tuttavia, definire qualcosa e saperlo calcolare sono due cose molto diverse. Il problema pratico che si pone è il seguente: la distribuzione delle perdite di un portafoglio reale non è mai nota con certezza. Il portafoglio può essere molto complesso, il suo valore può dipendere in modo non lineare dai fattori di rischio, e le distribuzioni di probabilità di questi ultimi non sempre assumono forme matematicamente trattabili.

Per affrontare questo problema, la teoria e la pratica finanziaria hanno sviluppato tre grandi famiglie di metodologie: il metodo parametrico, la simulazione storica e la simulazione Montecarlo. Prima di presentarle, è utile introdurre una distinzione concettuale fondamentale che le attraversa tutte.

2.2 Local Valuation e Full Valuation

Le metodologie di calcolo del VaR si distinguono innanzitutto per il modo in cui approssimano il valore del portafoglio al variare dei fattori di rischio.

Nell'approccio di Local Valuation, il valore della perdita di portafoglio viene espresso come una funzione lineare, o localmente lineare, dei fattori di rischio, sfruttando le misure di sensitività come le Greche illustrate nel capitolo precedente. Questo approccio è computazionalmente efficiente, ma introduce un'approssimazione che può essere significativa in presenza di strumenti con profili di payoff non lineari, come le opzioni.

Nell'approccio di Full Valuation, invece, il portafoglio viene rivalutato integralmente per ciascuno scenario simulato, usando le appropriate formule di pricing, ad esempio la formula di Black & Scholes per le opzioni. Questo approccio cattura con precisione la non linearità, ma richiede un numero elevato di simulazioni e un costo computazionale superiore.

Il metodo parametrico è tipicamente un approccio di local valuation; la simulazione storica e la simulazione Montecarlo operano invece in logica di full valuation.

2.3 Il metodo parametrico

Il metodo parametrico è il più semplice e diretto tra le tre metodologie. Esso parte dal presupposto che la distribuzione della perdita di portafoglio sia nota e appartenga a una famiglia parametrica, ovvero sia completamente caratterizzata da un numero finito di parametri stimabili dai dati storici, come media e varianza. Dati questi parametri e noto l'orizzonte temporale h e il livello di confidenza (1−p), il VaR si calcola analiticamente come quantile della distribuzione assunta.

Le due distribuzioni più utilizzate in questo contesto sono la distribuzione Normale e la distribuzione t-Student.

Il VaR sotto ipotesi di normalità

L'ipotesi più comune è che la perdita giornaliera del portafoglio si distribuisca come una normale con media μ e deviazione standard σ:

L(t+1) ~ N(μ, σ²)

Il VaR al livello di probabilità p su orizzonte di h giorni è allora:

VaRₚ(t+h) = h·μ + √h · σ · Φ⁻¹(1−p)

dove Φ⁻¹(1−p) è il quantile (1−p) della distribuzione normale standard, calcolabile in Excel con la funzione INV.NORM.S. Si noti come la formula moltiplica la deviazione standard giornaliera per √h, in coerenza con la scaling rule vista nel capitolo precedente.

Nella pratica operativa, quando la media è trascurabile rispetto alla volatilità su orizzonti brevi, il che è tipico per orizzonti di un giorno, si assume spesso μ = 0 per semplicità, ottenendo:

VaRₚ(t+1) = σ · Φ⁻¹(1−p)

Il VaR sotto ipotesi di distribuzione t-Student

L'evidenza empirica sui mercati finanziari mostra in modo sistematico che i rendimenti dei titoli azionari presentano code più pesanti di quelle della distribuzione normale: eventi estremi si verificano con frequenza maggiore di quanto la normale preveda. Questo fenomeno è noto come fat tails o leptocurtosi.

Per tenerne conto, si utilizza la distribuzione t-Student con ν gradi di libertà, che consente di modellare code più spesse. Al diminuire di ν, le code della t-Student diventano più pesanti; per ν → ∞ la distribuzione converge alla normale. Sotto questa ipotesi:

L(t+1) ~ t(ν, μ, σ²)

con varianza pari a νσ²/(ν−2), e il VaR risulta:

VaRₚ(t+1) = μ + σ · t⁻¹_ν(1−p)

dove t⁻¹_ν(1−p) è il quantile (1−p) della t-Student con ν gradi di libertà, calcolabile in Excel con la funzione INVT. Poiché i percentili della t-Student sono sempre maggiori di quelli della normale per lo stesso livello di confidenza, il VaR calcolato con la t-Student sarà sistematicamente più elevato: la distribuzione "ammette" scenari più avversi e il modello li prende in carico.

2.4 La simulazione storica

La simulazione storica è il principale metodo non parametrico per il calcolo del VaR. Il suo punto di forza risiede nel fatto che non assume alcuna forma funzionale per la distribuzione delle perdite: è il dato stesso a parlare. Il procedimento logico è semplice e intuitivo.

Si raccoglie una finestra di osservazioni storiche dei fattori di rischio — tipicamente tra 250 e 500 giorni — e per ciascun giorno passato si calcola quale sarebbe stata la perdita dell'attuale portafoglio se le variazioni di quel giorno si fossero verificate oggi, cosiddetto approccio frozen portfolio. Si ottiene così una distribuzione empirica di perdite ipotetiche. Ordinando queste perdite dalla più bassa alla più alta, il VaR al livello di confidenza (1−p) non è altro che il quantile empirico corrispondente: ad esempio, con 500 osservazioni e un livello di confidenza del 99%, il VaR è la quinta perdita più elevata.

Il grande vantaggio di questo metodo è che cattura automaticamente le asimmetrie, le code pesanti e qualsiasi altra caratteristica non standard della distribuzione reale dei rendimenti, senza imporre ipotesi distributive. Il limite principale è che si è completamente dipendenti dalla storia osservata: se nel periodo considerato non si sono verificati eventi estremi, il modello potrebbe sottostimare sistematicamente il rischio.

La simulazione storica ponderata con EWMA

La simulazione storica classica assegna lo stesso peso — pari a 1/n — a ciascuna delle n osservazioni storiche, trattando un evento di tre anni fa esattamente come quello di ieri. Questo è evidentemente un limite: le condizioni di mercato cambiano nel tempo e le osservazioni recenti contengono informazioni più rilevanti sullo stato attuale del rischio.

Il modello EWMA, Exponentially Weighted Moving Average, risolve questo problema facendo declinare i pesi in modo esponenziale nel tempo. Il peso assegnato alla variazione tra il giorno (n−i) e (n−i+1) è pari a λ volte il peso del giorno successivo (n−i+1), con 0 < λ < 1. Affinché i pesi sommino a 1, il peso della i-esima osservazione è:

wᵢ = λⁱ⁻¹(1−λ) / (1−λⁿ)

Il parametro λ controlla la velocità di decadimento: un valore di λ vicino a 1, es. 0,97, dà ancora peso considerevole alle osservazioni lontane; un λ più basso, es. 0,90, attribuisce peso quasi esclusivo alle osservazioni recenti. Il valore ottimale di λ può essere determinato empiricamente tramite tecniche di grid search, random search o algoritmi di ottimizzazione che minimizzano un opportuno criterio di errore sulle previsioni del VaR.

2.5 La simulazione Montecarlo

La simulazione Montecarlo è la metodologia più generale e potente tra quelle disponibili. Anziché usare osservazioni storiche o assumere una distribuzione parametrica, genera artificialmente un grandissimo numero di scenari futuri possibili tramite numeri casuali e modelli stocastici per la dinamica dei prezzi.

Il punto di partenza è la modellizzazione del comportamento del prezzo del sottostante. Lo strumento standard è il modello logaritmico dei prezzi, basato sull