Integrali impropri

Scheda sugli integrali impropri

(1)

Determinare per quali α il seguente integrale improprio è convergente

R 1 2αZ x sin x dx.log(cos x)0

(2)

Determinare per quali α il seguente integrale improprio è convergente

R √1 −Z cos x 1 dx.αx log(1 + x)0

(3)

Determinare per quali α > 0 il seguente integrale improprio è convergente

+∞ αxZ 1 + e dx2x1 + e0

e calcolarlo per α = 1.

(4)

Stabilire per quali α > 0 il seguente integrale improprio è convergente

√1 α−Z 1 cos x dx.x log(1 + x)0

(5)

Stabilire per quali α > 0 il seguente integrale improprio è convergente

√1 αZ x log(1 + x ) dx.−1 cos x0

(6)

Stabilire per quali α > 0 il seguente integrale improprio è convergente

1Z log(1 + x) dxαx012 .

e calcolarlo per α =

(7)

Stabilire per quali α > 0 il seguente integrale improprio è convergente

√+∞Z x + x dx2 α−(x x)x21

e calcolarlo per α = .2

Svolgimento

(1)

Sia f (x) := e osserviamo che f ∈ C((0, 1]). Studiamo il comportamento di

2αx sin x ∈(1) Sia f (x) := e osserviamo che f C((0, 1]). Studiamo il comportamento di

log(cos x)+→f (x) per x 0 . Utilizzando la relazione di asintotico abbiamo

2α 2α+1 +∼ →x sin x x per x 0 .

Dai limiti notevoli, per x 0 , abbiamo

2x− ∼ − ∼ −log(cos x) = log(1 + (cos x 1)) (cos x 1) .212

Ne segue che

2 2 +∼ − − →f (x) = per x 0 .1−2α2−(2α+1) xx

1Z 1Ricordando che dx è convergente per p < 1, dal confronto asintotico abbiamo chepx01Z −f (x) dx è convergente per 1 2α < 1, ovvero per ogni α > 0.0

(2)

√ −cos x 1 ∈e osserviamo che f C((0, 1]). Studiamo il comportamento di

(2) Sia f (x) := αx log(1 + x)+→f (x) per x 0 . Utilizzando la relazione di asintotico abbiamo

2√ 1 xp +− − − ∼ − ∼ − →cos x 1 = 1 + (cos x 1) 1 (cos x 1) per x 02 4

e

α α+1 +∼ →x log(1 + x) x per x 0 .

Ne segue che

1 1 1 1 +∼ − − →f (x) = per x 0 .α+1−2 α−14 x 4 x

1Z 1Ricordando che dx è convergente per p < 1, dal confronto asintotico abbiamo chepx01Z &