Integrali, funzioni integrali per Analisi matematica 1

Integrali indefiniti

Mercoledì 27 novembre 2024 12:10

Integrali indefiniti

Def: Data g: I ⊆ ℝ → ℝ e F: I ⊆ ℝ → ℝ diciamo che F è primitiva di g in I se:

• F è der. in I
• F'(x) = g(x) ∀x ∈ I

Es: F(x) = Sen x è primitiva di g(x) = Cos x

Obs: Data g: I ⊆ ℝ → ℝ, I intervallo, non è detto che essa ammetta primitiva in I.

Ad E₃:

{1 x ∈ [0;1]
0 x ∈ [-1;0]

non ammette prim. pk la punta di disc. a salter in x₀ non rispetta la prop. dei valori intermedi.

Per x th esisti sui pt. di disc. …g non può essere derivata di alcuna g.

F: [-1; 1] → ℝ

Obs: Vedoem che se g: I ⊆ ℝ → ℝ con I int. e g è continua in I allora essa ammette primitive in I.

(th. fondamentale del calcolo integrale)

Obs: Su alcuni non continue che ammettono primitive in un int.

Es: F(x) = \{x² sen x x≠0
0 x=0
F'(x) = g(x) = \{2x sen x + x² Cos x ÷x

Proprietà delle primitive

1. Se F: I ⊆ ℝ → ℝ è una primitiva di g: I ⊆ ℝ → ℝ in I e C∈ℝ allora anche F(x)+C ∀x ∈ I è prim. di g in I
2. Se F₁, F₂: I ⊆ ℝ → ℝ sono prim. di g: I ⊆ ℝ → ℝ in I, allora

Integrali indefiniti

Mercoledì 27 novembre 2024 12:10

Integrali indefiniti

Def: Data :⊆ℝ→ℝ, e :⊆ℝ→ℝ diciamo che è primitiva di in se: è der. in '_(x)=_(x) ∀∈

Es: ()=Sen è primitiva di ()=Cos

Os: Data :⊆ℝ→ℝ, intervallo, non è detto che essa ammetta primitiva in .

Ad Es:(x)= {1 ∈[0;1) 0 ∈(1; 0) non ammette prim. pk la punta di disc. a salta in ₀ e non rispetta la prop. dei valori intermedi.

Per c kth esist pt. di disc. ∙ ∙ ∙ non può essere derivata di alcuna : [-1, 1)→ℝ

Os: Vedere che se : ⊆ℝ→ℝ con int. e è continua in allora essa ammette primitive in .

(th. fondamentale del calcolo integrale)

Os: sum. non continue che ammettono primitive in un int.

Es: ()= {^sen ≠0 0 =0 '_(x)=_(x)= { sen + Cos ½ ≠0

Prop:

1. Se : ⊆ℝ→ℝ è una primitiva di : ⊆ℝ→ℝ in e c∈ℝ allora anche ()+c ∀∈ℝ è prim. di in
2. Se ₁, ₂: ⊆ℝ→ℝ sono prim. di : ⊆ℝ→ℝ in , allora ∃ c ∈ ℝ : F₁ = F₂ + c

- Os.: se g: I ⊆ ℝ → ℝ è integrale, g può non ammettere primitive in I.

Se esiste, però, F: I ⊆ ℝ → ℝ, allora ve ne sono infinite, tutte e sole nella forma F(x) + c ∀ x ∈ I per c arbitrario.

Dimostrazione

- Dim.:

1) Se F: I ⊆ ℝ → ℝ prim. di g: I → ℝ in I e c ∈ ℝ

Allora (F + c)'(x) = F'(x) = g(x) ∀ x ∈ I. Per def. F(x) + c è prim. di g.

2) Siano F₁, F₂: I → ℝ primitive di g: I → ℝ in I, int.

Definiamo G(x) = F₁(x) - F₂(x) ∀ x ∈ I

Allora G der. in I e G'(x) = F'₁(x) - F'₂(x) = g(x) - g(x) = 0 ∀ x ∈ I.

Poiché G è definita in I intervallo dev'essere G(x) = c costante ∀ x ∈ I (conseguenza Lagrange) ⇒ F₁(x) - F₂(x) = c ∀ x ∈ I ⇒ F₁(x) = F₂(x) + c ∀ x ∈ I ▢

Osservazioni ed esempi

- Os.:

- Def₂: L'insieme di tutte le primitive di f: I ⊆ ℝ → ℝ prende il nome di integrale indefinito di f e si indica con ∫ f(x) dx

- Os₂: Se F(x) è una primitiva di f(x) in I, I intervallo, spesso si scrive ∫ f(x) dx = F(x)+C, con C ∈ ℝ arbitrario

Proprietà dell'integrale

- Prop. (linearietà integrale)

Date f, g : I ⊆ ℝ → ℝ α, β ∈ ℝ allora:

∫ α f(x) dx + β g(x) dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx

- Prop. (intg. per parti)

Siano f, g : I ⊆ ℝ → ℝ, I int₂, derivabili in I.

∫ f'(x) g(x) dx = f(x) g(x) - ∫ f(x) g'(x) dx

(se H: I ⊆ ℝ → ℝ è primitiva di f(x) g(x), f(x) g(x) - H è primitiva di f'(x) g(x)

- Prop. (integrale per sostituzione)

Sia f: I ⊆ ℝ → ℝ I intervallo ψ : J → I, J intervallo ψ den. in J.

Allora ∫ f (ψ(t)) ψ'(t) dx = ∫ f(x) dx con x = ψ(t)

- Os₃: Se ψ invertibile e H: I ⊆ ℝ → ℝ è primitiva di (f o ψ)ψ', in J, allora H o ψ^-1 è primitiva di f in I.

Esempi di integrali indefiniti

- Es₁: ∫ x²+2e^-3x-Cosx dx

- E₅: ∫ x² e^x dx per parti

∫(x) = x² g'(x) = e^x g(x) = x² g'(x) = 2x

= ∫(x) . g(x) - ∫g'(x).∫(x) dx

= e^x x² - ∫ 2x e^x dx

= e^x x² - (e^x . 2x - ∫ 2e^x dx)

= e^x x² - e^x . 2x + 2e^x + c = e^x (x² - 2x + 2) + c

- E₆: ∫ t 1 + t² dt = 1/2 ∫ 2t/1 + t² dtx = γ'(t) = 1 + t² → γ'(t) = 2t x' = 1

→ 1/2 ∫ 1/x dx = 1/2 log x + c = 1/2 log (1+ t²) + c

- E₇: ∫ 1/e^x + e^x dx =

t = e^x x = log t dt = e^x dx → 1/t dt = dx

= ∫ 1/t + t^-1 1/t dt

= ∫ 1/1 + t^-1 dt

= ∫ 1/t^-1 + 1 dt

= ∫ 1/t^-1 + 1 dt

= arctg (t) + c = arctg (e^x) + c

- Ob: È un algoritmo che fa intergare P(x)_dx scampo in fratti semplici

Integrali definiti

Problema: Data β : [a,b] ⟶ R limitata in [a,b] come definire e calcolare l'area sottesa al suo grafico?

Più in generale l'integrale definisce la somma di oo contributi infinitesimi. Viene usato in un botto di applicazioni.

Osso : 3 molte def. tutte equivalenti

Integrale di Riemann

Def: (Integrale di Riemann) β : [o.1│] ⟶R limitata ∀ n ∈ N dividiamo [a,b] in n parti di lunghezza b-ax_k = a + ^k/_n(b - a) k = 0, ..., n

Fare la somma di Cauchy-Riemann

Ad ogni passo scegliamo sia i punti x₀,...,x_n che realizzano la partizione di [a,b] che i punti t_k⁽ⁿ⁾ ∈ [x_k-1;x_k].

La somma di Cauchy-Riemann S_n dà un valore approssimato di ciò che vogliamo chiamare "Integr. di Rie. di g in [a,b]", che si ha sommando aree R_k dei rettangolini con base = [x_k-1;x_k] e altezza = g(t_k⁽ⁿ⁾) k = 1,...,n.

S_n = ^b-a⁄_n Σ_k=1ⁿ g(t_k⁽ⁿ⁾)

Def: Diciamo che g:[a,b]→R è limitata è integrabile secondo Riemann in [a,b] se $rarr;∞½ una qualunque successione di somme di Cauchy-Riemann (costruita come sopra), S_n è limitata lim S_n = L ∀ ε>0 ∃n∈N tale che lim non dipende dalla scelta dei pt. t_k⁽ⁿ⁾ operata ad ogni passo n.

Chiamiamo L = lim_n→∞ S_n = ∫_a^b g(x) dx integr. di Riemann di g in [a,b].

Def: Se g:[a,b]→R è Riemann integrabile in [a,b] e se ∃g₀ in [a,b]

Posto D = { (x,y): a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ g(x) }

definiamo A(D) = ∫_a^b g(x) dx

Oss: Se \( f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) è Riemann integrabile in \([a,b]\)

L'area data da \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\) è un'area con segno.

L'area della regione di piano compresa tra le rette \( x=a, x=b \) \(y=0\) e il grafico di \( f \) è Area \((b)=\int_{a}^{b} f(x)1 \, dx\)

Es₁: Se \( f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) - costante

\(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = c \, (b-a)\)

Es₂: Una \( f \) non Riemann integrabile è:

\(f(x) =\begin{cases}1 & x \in [0;1] \cap \mathbb{Q} \\0 & x \in [0;1] / \mathbb{Q}\end{cases}\)

Costruiamo due succ. di somme di Cauchy-Riemann.

\(S_n, \, s_n\)

\(\quad t_k^{(n)} \in (x_{k-1}, x_k) \, in \, [0;1] / \mathbb{Q}\)

\(S_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f(t_k^{(1)}) = 0\)

\( \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} S_n = 0 \)

\(s_n \rightarrow \quad t_k^{(n)} \in (x_{k-1}, x_k) \, in \, [0;1] \cap \mathbb{Q}\)

\(s_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f(t_k^{(1)}) = b-a = 1\)

=> lim (n->+∞) s_n = 1

Poiché lim (k->+∞) y_n = 0 ≠ 1 = lim (k->+∞) s_n

g non è Riemann integrabile ma è limitata.

Oss: Se una funzione non è continua non è Riemann integrabile.

Classi di funzioni integrabili

Th: Se g: [a, b] -> ℝ monotona allora essa è Riemann integrabile in [a, b]

Oss: Nelle 4p. g è automaticamente limitata

Se esecuta g(a) ≤ g(x) ≤ g(b)

Th: Se g: [a, b] -> ℝ continua in [a, b] essa è R. int. in [a, b]

Oss: Se è cont. è limitata per Weierstrass.

Th: Se a 1: [a, c) -> ℝ, g₂: (-c, b] -> ℝ sono g₃ R. int. in [a, c) e in (a, b] allora ∀ λ ∈ ℝ

g(x) = { g₁(x) x ∈ [a, c) { x = c { g₂(x) x ∈ (c, b] è R. int. in [a, b]

Oss: Vale analoga anche nel caso di un numero finito di pt.

Proprietà integrali di Riemann

Proprietà int. di Riemann

Siano g, g: [a, b] -> ℝ R. int. in [a, b] l, β ∈ ℝ

Allora _{d 1} g + _{d 2} g ₂ ∈ R-I. in [a,b] e ^b ∫_a [_{d 1} g(x) + _{d 2} g(x)] dx = _{d 1} ∫_a^b g(x) dx + _{d 2} ∫_a^b g(x) dx

TR₁. (additività nel Q)

Data g: [a,b] → ℜ, c ∈ [a,b]. Allora g ∈ R-I. in [a,b] ↔ g ∈ [a,c] ∈ [c,b] e:

^b ∫_a g(x) dx = ^c ∫_a g(x) dx + ^b ∫_c g(x) dx.

Convenzione: se a b ∫_a g(x) dx = -^a ∫_b g(x) dx

* vale quindi qualunque sia l'ordinamento di a,b,c ∈ ℜ

TR₂. g: [a,b] → ℜ. R-I. in [a,b]. Sia ϕ: [c,d] → ℜ continuia e: [m,g] ⊂ [c,d].

Allora la g ⋅ ϕ ⋅ g: [a,b] → ℜ ϕ ⋅ g = ϕ(g(x)) ∈ L.I. in [a,b].

Cor.: Se g: [a,b] → ℜ è R.I. allora lo sono anche |g|, g², g³ ∀ n ∈ ℕ, e^g, sin g...

TR₃. (positività e monotonia)

1. Se g: [a,b] → ℜ è R.I. in [a,b] e g ≥ 0     ^b ∫_a g(x) dx ≥ 0
2. Se g,g: [a,b] → ℜ sono R.I. in [a,b] e g ≤ g allora     ^b ∫_a g(x) dx, ≤ ^b ∫_a g(x) dx
3. Se g: [a,b] → ℜ è R.I. in [a,b] ∫_a^b |g(x)| dx ≤ ∫_a^b |g(x)| dx

TR₄. (della media integrale)

Sia : [,]→ℝ continua in [,],

Allora ∃ ₀ ∈ [,] :(₀) = ¹/_(-) ∫ ()

Def: Se : [,]→ℝ e p.l. in [,] allora ¹/_(-) ∫ () Si dice media media di in [,].

Dim: Essendo continua in [,] essa è R.I. in [,].

Inoltre per il t.l. di Weier. essa ha max e min assoluti in [,]: max : min ∀ ∈ [,] ≤ () ≤

Poiché le funzioni costanti sono integrabili, per monotonia dell'integrale

∫ ≤ ∫ () ≤ ∫ ⇒ (-) ≤ ∫ () ≤ (-)

⇒ ≤ ¹/_(-) ∫ () ≤ cioè ¹/_(-) ∫ () ∈ [;] ∈ [,] = Im ⇒ ∋ ₀ ∈ [,] :(₀). ¹/_(-) ∫ ()

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Teorema: (fondamentale del calcolo integrale I - formula fondamentale del calcolo integrale)

Sia : [,]→ℝ Riemann int. in [,], Supponiamo che formuli primitivia in [,]

Allora ∫ () = ()-()= [()]

Osservazione: Funzioni non R.I. in [,] che non ammet. primitiva in [,]... ... ... ... ... ... ammano ... ...... ... ... " non "... ... ... su RI. ... il pmtimo

In particolare tutte le fni continue in [a,b] sono R.i. in (a,b) e ammettono prim. in [a,b]

Th (int. pa path per int. Riemann/definite)

Siano f, g : [a,b] -> R der. in [a,b] con f', g' : [a,b] -> R R.i. in [a,b]

Allora ∫_a^b f(x) g(x) dx = f(b) g(b) - f(a) g(a) - ∫_a^b f(x) g'(x) dx

Th (integrale per sostituzione per int. Riemann/definita)

f : [a,b] -> R continua, ψ : [α,β] -> [a,b] derivabile e sull'ettiva (copaz tutta,b) con ψ' : [α,β] -> R R.i. in [α,β].

Allora ∫_ψ(a)^b f(x) dx = ∫_α^β (f ∘ ψ)(x) ψ'(t) dtx = ψ(t) → dx = ψ' dt

dove A,B ∈ ℝ : Ψ(α)=a , ψ(β)=b

Oss.: non serve che ψ sia invert

Oss.: integrale dll s. con do e salti

Sia f : [a,b] -> R

{ x ∈ [a₀,r₁] x ∈ [r₁,r₂]:con _fi: [v_i-1, v_i] => ℝ

f_j: [x_ni-1, x_ni] => ℝ

R.I. nei rispettivi domini

Allora f(x) R.I. I. in [a, b] e rk

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b f_g(x) dx + ... + ∫_a^b _n+1(x) dx

= _k=1ⁿ⁺¹ ∫_xni-1^x_ni f_gi (x) dx

Integrale di Riemann generalizzato

- Integrale di Riemann generalizzato -

Vogliamo definire l’integrale anche per funzioni f: I ℝ -> ℝ con I ≤ ℝ intervallo che può esse non chiuso o non limitato e dove f possa essere non limitata in I.

Def: Sia f: (a, b) => ℝ con a ℝ, b ℝ ∪ {∞}, a b^-)

Sia f R.I. in [a, B) ∀ b (a, b)

b ℝ, f non limitata in b

b = +∞

Definiamo ∫_a^b f(x) dx = lim_{b -> a}⁺ ∫_a^B f(x) dx