Insiemi, sommatorie

Cenni di teoria degli insiemi

Concetti di base

Insieme = collezione di oggetti

Insiemi numerici =

Notazioni insiemi = lettera maiuscola/grassetto (A, B, C)

Elementi = lettera minuscola/greca (a, b, c)

L'elemento "a" appartiene all'insieme "A".

Diciamo che due insiemi A e B sono uguali quando tutti gli elementi di A Anche a B e viceversa.

A è sottoinsieme di B quando tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.

Operazioni tra insiemi

Insieme formato da tutti gli elementi di A e di B. È l'insieme unione di A e B.

Insieme formato dagli elementi che sono sia di A che di B. È l'insieme intersezione di A e B.

Insieme formato dagli elementi di A che NON sono elementi di B. È l'insieme differenza di A da B.

Prodotto cartesiano di A per B. È definito come

Descrizione e proprietà degli insiemi

Descrizione degli insiemi = elencazione, elenca tutti gli elementi.

Caratteristiche: Usa una proprietà per caratterizzare gli elementi dell'insieme.

In generale scriviamo

Si postula l'esistenza di un insieme vuoto, ossia l'insieme che non contiene alcun elemento.

Proprietà e quantificatori

Proprietà = quando gli insiemi sono definiti tramite delle proprietà.

Quantificatori:

• Universale "Per ogni"
• Esistenziale "Esiste un"
• Esistenziale unico "Esiste un unico"

Esempi e attenzione nei quantificatori

La negazione di una proposizione P è quella proposizione Q che è vera se e solo se P è falsa.

Attenzione: quando si usano più quantificatori è fondamentale l'ordine in cui appaiono. Quando si nega una proposizione contenente quantificatori, bisogna far attenzione a cambiare i quantificatori.

Sommatorie

Definizione e proprietà

Definizione = dati

Esempi:

Proprietà = Principio di induzione

Teorema e dimostrazione

Teorema =

Dimostrazione = procediamo per assurdo: supponiamo falsa la tesi, ossia vera la negazione della tesi, ossia vera:

Esercizi con sommatorie e progressioni

1. A partire dal 1/1/24 investo 50€ annualmente con una rendita del 3% annuo. Quanto avrò accumulato dopo 3 anni?
2. La banca mi presta 50€ ad un tasso annuo del 4% sul debito rimanente. Se dopo ogni anno verso una rata di uguale importo. Quanto deve essere il valore della rata perché io saldi il debito dopo 4 anni?

Fattoriale e coefficienti binomiali

Definizione e osservazioni

Definizione =

Osservazioni =

Definizioni =

Proprietà dei coefficienti binomiali

Proprietà dei coefficienti binomiali

Dimostrazioni

Numeri razionali (Q)

Operazioni e proprietà

In Q abbiamo 2 operazioni, somma e prodotto, che verificano le proprietà di campo:

Relazioni d'ordine

Definizione = dato un insieme A, una relazione d'ordine su A è un sottoinsieme R di A×A.

Inoltre diremo che A è totalmente ordinato quando vale anche la proprietà seguente:

Applicazioni

Applicazioni =