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Riassunto scritto Analisi 2

Continuità [ ad esempio in 0,0 ]

  1. Controllo i punti in cui cadono più leggi
  2. \lim_(x,y)->(0,0) \frac{| f(x,y) - f(0,0) |}{ \rho(x,y) } Prendo come \rho(x,y) Va presa la legge che vale nell'intorno del punto in esame.
  3. Se ottengo una f.i. passo alle polari
  4. \lim_{ \rho->0 } deve venire (f(0,0))
  5. Provo l'uniformità rispetto a θ prendendo l'equaz. in forma polare trovo il limite e ne traggo il modulo. Se ciò che rimane !=0 quando ρ->0 allora è uniforme.
  • Derivabilità parziale [in 0,0]
    1. Controllo i punti in cui: 1) cambia legge 2) si annulla un va assoluto 3) si annulla una radicando
    2. Costruisco i rapporti incrementali rispetto a x e y ovvero R(h) = R(k) così: R(h)= \frac{f(x0+h, y0) - f(x0,y0)}{h} Una volta calcolato il rapp. inc. ne faccio il limite per h->0 NB: Se non si annullano comincio raccogliere h o k e studiare il loro comportamento quando tendono a 0. Esse sono chiamate f_x(x0,y0) e f_y(x0,y0)
    3. Differenziabilità [es: in (0,0)]
      1. Controllo gli stessi punti, degli cap sappe (& check; se in un punto non esista una deriv definta, oppure non è continua, sicuramente non sarà differex di una qualche funzione)
      2. Calcolo \lim_{(x,y)->(0,0)(f(x,y) - f(x,0) - f(0,y) + f(o,o)) / \sqrt(x^2+y^2) deve venire 0

      NB:

      Se f è diff in P0 => f der parziamentre rispetto ogni direz

      ∇ f( P0 ) = < \nabla f (P0 ), \lambda > ovvero che la deriv parz di f rispetto a λ è uguale al prod. scal. del grad calcolato nel punto con &Lambda stesso

    4. Derivate direzionali
      1. Controllo sempre gli stessi punti (chiamati di probabile non derivabilità)
      2. Calcolo: \lim_{h->o} \frac{f(x0+λ1h, y0+hλ2) - f(x0,y0)}{h} Se 3 -> φ è dern. secondo la dir A in P0 ed il Risultato del limite = \frac{∂f}{∂λ}(P0)

      NB: nei limiti conviene cercare di spealificar h tra monotame e conuax.

RIASSUNTO SCRITTO ANALISI 2

  • CONTINUITÀ [AD ESCLUSIONE DI PO]
  1. CONTROLLO I PUNTI IN CUI CADONO PIÙ LEGGI

  2. (x,y) → (0,0) f(x,y) = f(0,0) ONE f(x,y) VA PRESA LA LEGGE CHE VALE NELL’INTORNO DEL PUNTO. IN CASATE

SE OTTENGO UNA F.T. PASSO ALLE POLARI

LIM (x,y)→(0,0) DEVE VENIRE f(0,0)

  1. PROVO L’UNIFORMITÀ RISPETTO A PH PREMEDENDO L’EQUAZ. IN FORMA POLARI TENNO IL LIMITE E NE TRAGGONO IL MODULO

SE CIO’ CHE FILIMANE->0 QUANDO Ϙ->0 ALLORA É UNIFORME.

  • DERIVABILITÀ PARZIALE [IN x O y]
  1. CONTROLLO I PUNTI IN CUI: O CAMBIA LEGGE O SI ANNULLA UN VA ASSOLUTO O SI ANNULLA UN PIDICIANDO
  2. COSTRUISCO I RAPPORTI DIFFERENZIALI RISPETTO X E Y. OMERÓ R(h) = R(Ϙ) COSÌ:

R(h) = f(xo+h, yo) - f(xo, yo) UNA VOLTA CALCOLATA IL RAPP. INC. NE FACCIO IL LIMITE PER h->0

ESSI SONO CHIAMATI ∂f(xo, yo) ∂x E ∂f(xo, yo) ∂y SE NON SI ANNULLANO COMINCIA RACCOGLIERE h O Ϙ E STUDIARE IL LORO COMPORTAMENTO QUANDO TENDONO A PO

  • DIFFERENZIABILITÀ [ES: IN (xo, yo)]
  1. CONTROLLO GLI STESSI PUNTI. SCELGA UNA PARTE (ANCHE SE IN UN PUNTO NON ESISTA UNA DERIV. DEFIN, OPPURE CHE È CONTINUA, SICURAMENTE NON SARÀ DIFFERENZIALE IN QUEL PUNTO)
  2. CALCOLO

LIM (x,y)→(0,0) [f(x,y) - f(0,0) - fx(0,0) (x-0) - fy(0,0) (y-0)] √x^2+y^2 DEVE VENIRE 0

IN GENERALO: LIM (x,y)→(xo, yo) f(x,y) - f(xo, yo) - fx(xo, yo)(x-xo) - fy(xo, yo)(y-yo) √(x-xo)^2+(y-yo)^2

  1. SE OTTENGO UNA F.T. PASSO A COORD POLARI

E DI CONSEGUENZA BISOGNA POLARIZALE L'UNIFORMITÀ

NB: SE f È DIFF IN PO ⇔ DE DEDEAR PARZIALMERINTE RISPETTO OGNI DIREZ λ

E ∇f(po) = <∇f(po), λ>

OVVERO CHE LA DERIV PARZ DI f RISPETTO A λ E' UGUALE AL PROD. SCAL. DEL GRAD CALCOLATO NEL PUNTO CON λ STESSO

  • DERIVATE DIREZIONALI
  1. CONTROLLO SEMPRE GLI STESSI PUNTI (CHIAMATI DI PROABILE NON DERIVABILITÀ)
  2. CALCOLO: LIM h→0 f(xo+hλ1, yo+hλ2) - f(xo, yo) h SE ∃→ f È DERIV. SECONDO LA DIREZ DI λ IN PO

ED IL RISULTATO DEL LIMITE = ∂f ∂λ (po)

NB: NEI LIMITE CONJUNCA CERCARE DI SEMPLIFICARE h TRA NUMERATORE E DEMIN.

• Max e min relativi

  1. Cerco i candidati in:

    • A ovvero il bordo del dominio
    • Punti interni di probabile non derivabilità
    • Punti critici mettendo a sistema x=0 & y=0

NB: Specificare sempre in quale zona del dominio stiamo operando

NB: Lo faccio escludendo i punti già candidati

NB: Verificare l’accettabilità

  1. Per i punti critici uso il metodo Hessiano a patto che:

    • Esista un intorno del punto in cui non si cambia legge
    • La H in cui cade il punto sia di classe C2

    Se H(po)>0

    xx(po)>0 ⇒ min rel

    xx(po)<0 ⇒ max rel

    Se H(po)<0 ⇒ sella

    Se H(po)=0 ⇒ ?

  1. Per gli altri punti applico la definizione, ovvero cerco la quota dei candidati

    e li confronto con le zone del dominio adiacenti al punto, studiando il segno

    della funzione

NB: Bisogna sempre verificare che i punti trovati siano accettabili

Max e min assoluti

  1. Verifico l'applicabilità di Weierstrass sul dominio dato (T)

T compatto

f continua

NB: Se in T cadono più leggi → ℘ ∉ c(T)

T compatto = chiuso + limitato

T comprense il suo bordo

Posso applicarlo

  1. Cerco i candidati tra:
  • Bordo del dominio
  • Punti interni di probabile non derivabilità
  • Punti interni critici
  1. Controllo punti evidenti grazie allo studio dei max/min relativi
  2. Scrivo i punti trovati come funzione di un’unica variabile

Es: AB = {x, z} : -1 dσ = ∰T < ∇F > dx dy dz

Teorema della div

AREA DI UNA SUPERFICIE

Da 0 a 4 vedi flusso ↑

Apparte che in 3 potrebbero servire coord sferiche

  • Area = ∬D &err; (ϕ (u, v)) || ϕu x ψv || du dv

    NB.: Se ti viene data in forma paramatrica l'integrale diventa ∬D || ϕu x ψv || du dv

    PROVARE IL TEOREMA DI STOKES

    Da 0 a 4 vedi flusso ↑

  • Calcolo separatamente

    ∬∬ < F (ϕ (u, v)), ϕu x ψv > du dv

            E dimostro che hanno lo stesso risultato

    1. F1 dx + F2 dy + F3 dz
    ∂ ∑   (CIRCOLAZIONE)

    Infatti th di Stokes:

    ⍬ < ∇F, ν > dσ = &Ball; ∂ ∑ +

    Integrali Doppi

    A) Formule di riduzione su domini normali

    Se riesco a tracciare i fili

    ∫∫∬A ρ(x,y) dx dy = ∫ab dx ∫d(x)β(x) ρ(x,y) dy

    B) Coordinate Polari

    ∫∫∬A ρ(x,y) dx dy = ∫∬ ρ(h(u,v), g1(u,v)) |J| du dv

    x² + y² + ax + by + c = 0

    J = a 2 + b 2 2 -c

    Se la funz di ρ o β non è chiara, basta sostituire le coord scelte all'interno della β(x,y) che descrive la curva

    C) Coordinate Ellittiche

    x = a cosθ y = b sinθ

    \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

    Nelle coordinate ellittiche l'estremo max in cui varia ρ è sempre 1

    D) Cambio di Variabili

    Domini in cui y è compreso tra due uguali potenze di x

    Esempio:

    • x/2 ≤ y ≤ x
    • 1/x ≤ y ≤ 3/x; x > 0
    • 1/2 ≤ 1 ≤ 1
    • 1 ≤ x y ≤ 3

    u = y/x v = x y

    Controllo: h e g e C∞ (D)

    J ≠ 0

    INTEGRALI DOPPI IMPROPRI

    SI VERIFICANO IN 2 CASI:

    • FUNZIONE NON CONTINUA IN D
      • È INTEGRABILE SE È DI SEGNO COSTANTE IN UN INTORNO DEL PUNTO PROBLEMATICO
      • SPECIFICO CHE SIA IMPROPRIO
      • STUDIO IL SEGNO → β(x) ≥ 0
    • FUNZIONE SU DOMINIO ILLIMITATO
      • PROCEDO AL CALCOLO UTILIZZANDO ± ∞ COME UNO/ENTRAMBI GLI ESTREMI DI INTEGRAZIONE IN BASE AL DOMINIO
      • PUÒ CONVERGERE O DIVERGERE

    INTEGRALI TRIPLI

    A) DOMINI NORMALI AD UN PIANO

    ∬E β(x, y, z) dx dy dz = ∬D dx dy ∫a(x, y)β(x, y) β(x, y, z) dz

    B) COORDINATE CILINDRICHE

    {x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z

    |J| = ρ

    C) COORDINATE SFERICHE

    {x = ρ sin ɸ cos θ y = ρ sin ɸ sin θ z = ρ cos ɸ

    |J| = ρ2 sin ɸ

    TIPICA EQ CIR ⇨ x2 + y2 + z2 = 1

    INTERVALLO DELLA θ

    INTERVALLO DELLA ɸ

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    Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
    I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher davidedostilio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università Politecnica delle Marche - Ancona o del prof Papalini Francesca.
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