Gli insiemi
Se il AA = {x P(x) Se BA = {x ∈ B | P(x) A = {x ∈ B |P(x) l'ilconnonallora è e oparole., non.
Def: insieme delle parti
Def: insieme delle parti.. l'. il numero degli elementi è detto cardinalità.
Operazioni fra insiemi
- A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} unione
- A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} intersezione
- A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} differenza
- Ac = {x | x ∉ A ∧ x ∈ B } = CA complementare
Proprietà delle operazioni fra insiemi
- A ∩ E = A
- A ∪ E = A
- A ∩ B = B ∩ A proprietà commutativa
- A ∪ B = B ∪ A
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
- A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C proprietà associativa
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) proprietà distributiva
- A ∩ Ac = ø
- A ∪ Ac = U
Gli insiemi
Se ℓ l'insieme di tutti gli elementi A sono caratterizzati da una certa proprietà P scriveremo A = {x ∈P(x).
Se B ⊆ A è un insieme e A = {x ∈ B |P(x)}.
Def: l'insieme delle parti
Def: L'insieme delle parti è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A.
L'insieme ℓ ha un elemento che contiene tutti gli elementi di A, ℓ e l’insieme universo cardinalità.
Operazioni fra insiemi
- A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} unione
- A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} intersezione
- A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} differenza
- Ac = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} complementare
Proprietà essenziali fra insiemi
- A ∩ A = A
- A ∪ B = A
- A ∩ B = B
- A ∪ B = B
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C prop. associativa
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
- (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
- (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
Prima legge di De Morgan.
Seconda legge di De Morgan.
Def
Una applicazione è definizione di coppie di A in B. È una relazione R ∈ A x B tale che ogni elemento di A corrisponda in uno e in un elemento di B.
∀ x ∈ E ∃! b ∈ B : (x,b) ∈ R
A,b = insiemi non vuoti
- f : A → B
- g : B → C
- g ∘ f : A → C
- g ∘ f : a → b → c
- g ∘ f : a → c = A → g(b) = c = A
La funzione composta ha la proprietà associativa, ma non commutativa.
Esempio
A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}
f : A → B
- 3 → 1
- 3 → 2
- 4 → 4
- 4 → 3
g : B → {1, 2, 3, 4}
- 3 → 1
- 3 → 2
- 2 → 4
- 1 → 1
- 4 → 3
g ∘ f : a → b → c
- 2 → [1,2] ∆
- 5 → 1 a → 1, 4
Def
In un ogni insieme X c'è una visto unico IdX = d : X → X con X, d(x) = X
Def
Una applicazione f : A → B è detto invertibile se esiste una applicazione g : B → A tale che f ∘ g = IdB ; f ∘ g = IdA
- g : A → B
- f ∘ g = IdA
- g ∘ f = IdB
Proposizione
Una applicazione è invertibile se e solo se è biiettiva, tale cioè è iniettiva e suriettiva. f ∘ f-1 = IdB ; f-1 ∘ f = IdA
f con il seguire restrizioni di dominio o codominio:
- f : g → B
- g : A → B
Esempio
- f: W → Y
- C → I ∈ ED
- a → 2a ∈ EP
- f10: ID → D
- a → b-1
Possiamo restringere anche il dominio B senza attualmente ∈ C B ↔ ∈ Emp
2. E successioni
Una successione numerica è una funzione che associa ad ogni numero naturale k un numero reale ak:
- a: N → R
- a(k) = ak
Il grafico della successione è costituito da domini, che inizia dal dominio di R (la linea dei numeri reali).
Def
Def. R è una relazione di equivalenza su A se è conte
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