Formulario per esame scritto Analisi II

Formule di analisi matematica

Integrali e identità trigonometriche

∫ sin kx · dx = - cos kx / k + C

∫ cos kx · dx = sin kx / k + C

∫₀^2π sin kx · dx = 0   ∀ k ∈ ℕ

∫₀^2π cos kx · dx = 0   ∀ k ∈ ℕ

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

cos α · cos β = 1/2 [cos (α - β) + cos (α + β)]

sin α · sin β = 1/2 [cos (α - β) - cos (α + β)]

sin α cos β = 1/2 [sin (α - β) + sin (α + β)]

∫₀^2π cos^hkx · cos^kkx · dx = {0   se h≠kπ   se h=k

∫₀^2π sin^hkx · cos^kkx · dx = 0   ∀ h,k ∈ ℕ

∫₀^2π sin^hkx · sin^kkx · dx = {0   se h≠kπ   se h=k

Formule trigonometriche riscritte

∫ sin kx dx = -cos x + c

∫ cos kx dx = sin x + c

∫₀^2π sin kx dx = 0 ∀ k ∈ ℕ

∫₀^2π cos kx dx = 0 ∀ k ∈ ℕ

cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos a + cos b = ¹/₂ [ cos(a - b) + cos(a + b) ]

sin a sin b = ¹/₂ [ cos(a - b) - cos(a + b) ]

sin a cos b = ¹/₂ [ sin(a - b) + sin(a + b) ]

∫₀^2π cos h∫k. cos∫ k dx == ⎧ π se h ≠ k⎨ 0 se h = k⎩

∫₀^2π sin∫∫k. cos∫ k dx = 0 ∀ h,k ∈ ℕ

∫₀^2π sin h∫k. sin∫ k dx == ⎧ π se h = k⎨ 0 se h ≠ k⎩

Funzioni con moduli e serie di Fourier

Funzioni con moduli ^P₁ P₂ angolo con Zero S=3t-1t-0 S-0

Serie di Fourier a₀=²⁄_T ^T⁄2∫_-T⁄2f(x)dx=-½t

a_k=²⁄_T ^T⁄2∫_-T⁄2f(x)coskxdx=-T⁄2 a_k=0 a₀=0

3. se f_R è pari o dispari posso dividere il Periodo in 2 e moltiplicare 2

Se a_T⁄2 f(x) è Continua part. Integrale ^T⁄2∫_-T⁄2f(x)dx = 0

cosk=(-1)^k

SINC⁽¹⁾_k = ⁰⁄_{se k è pari}, ^(2k)

SINC⁽¹⁾_k = ⁰⁄_{se k è dispari}, ^(x+m)

Continuità, derivabilità e differenziabilità

Continuità, derivabilità e differenziabilità

• 1. se f_R è differenziabile ⇒ derivabile ⇒ continuo
• 2. se f_R è derivabile in tutte le direzioni ⇒ È derivabile parzialmente
• 3. se f∈C¹ ⇒ derivabile - polinomio senza Moduli e Radici.

Differenziabilità ^(x-x₀)⁄_(x-x0) ^(y-y₀)⁄_(y-y0)

f(x)_(h) ⁄ (y-y₀) [x₀y₀(h)]K

Derivate direzionali e piano tangente

Derivate direzionali

• 1. Se f_R è Diff. ⇒ ∂f_yx ⁄ ∂[z₀]
• 2. se f(0) non Diff. ⇒ ^lim⁄_h→0 R(h)

Piano tangente

z=∂f(x₀y₀) + ∂f_yx₀ (y-y₀) + ∂f_yy–0

Flusso di un campo e teoremi

Flusso di un campo F attraverso una superficie ∑Φ_∑(F) = ∫∫_D F(Ψ(u,v)) • {(Ψ_u x Ψ_v) / |Ψ_u x Ψ_v|} dudv

Flusso uscente da una superficie e teorema di Gauss o della divergenza

∬_E dx dy dz = ∮_∑ ∇ = { ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z } = { ___ }

F = { F₁ F₂ F₃ }

*Il teorema della divergenza considera il flusso uscente da una superficie nel caso del calcolo di un flusso entrante si pone il – davanti all'integrale

Flusso e teorema di Stokes o del rotore

∬_D ( ∇ x F ) (Ψ(u,v)) • {(Ψ_u x Ψ_v)}s dudv = ∮_∂∑ F dx = ∫_A F dx = ∫_A ( f₁ dx + f₂ dy + f₃ dz )

∇ = { ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z }

Rotore = { ( ∇ x F ) = ( ∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z ) ( ∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x ) ( ∂F₂/∂y - ∂F₁/∂y ) }

F = { F₁, F₂, F₃ }

La circuitazione equivale al lavoro del campo di forze lungo la superficie presa positivamente (la percorro tenendo il dominio a sinistra)

F = F dx = F_s componente del campo di forze a cui sostituisco

g = la componente della curva parametrizzata

dx = derivata della componente della curva parametrizzata

Equazioni differenziali del primo ordine

Equazioni differenziali del 1^o ordine

Variabili separabili ^y'=A(x)⋅B(y)

• B(y)≠0 ⇒ y = _α è soluzione
• { x = α }
• D_y/d_x = α_0,x,yA(x) ⇒
• D_y/B(y) = α_xA(x)
• [1/B(y)] d_y = [A(x)] d_x + c

Equazioni omogenee di Maffredi

^y'= _f(x/y)

Rapporto tra polinomi omogenei dello stesso grado.

Sostituzione z= _y/x ⇒ y=z⋅x ⇒ y' = x⋅z' + z

• [1/x*z+z] = [ϕ(x)]

⇒ d _z/1 ^{[x * z]} = ϕ(x*t + x) ⇒ diventa a variabili separabili

Equazioni differenziali lineari nel primo ordine

Equazioni differenziali lineari nel 1^o ordine

^y'= a(x)⋅y + b(x)

y(x)=e^{{∫[a(x)]d_x} [b(x)⋅e-∫a(x)d_x+c]}

Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale

y' = α(x)yⁿ + β(x). yⁿ ≠ 0 (lineare)

y' = α(x) + β(x).yⁿ ln y^n-1 (variabili separabili)

Divido per yⁿ se y ≠ 0

^y'/_yⁿ = α(x) + β(x) y^1-n

Sostituzione y = z^1/1-n

^y'/_yⁿ = ^y'/_y^m

Se m=n+k => moltiplico per y^m

Equazioni differenziali del secondo ordine

Equazioni differenziali del 2° ordine

Ordinaria in cui manca y'

F(x, y", y) = 0

Sostituzione: z = y', z' = y"

Si riconduce ad un’equazione differenziale del 1° ordine

Ordinaria in cui manca x' (equazioni autonome)

F(y', y, y") = 0

Sostituzione: z = y^'

Si riconduce ad un’equazione del 1° ordine

Lunghezza, lavoro e coordinate

Lunghezza di una curva

L = ∫_a^b |d s| = ∫_α^β |u'(t)|dt

Integrale della norma del vettore derivato

Lavoro di un campo lungo una curva

W = ∫_α^β < F(γ(t)) | γ'(t)> dt = ∫_a^b < F(ψ(t)) | u'(t)>dt

Coordinate polari

x = x₀ + ρ cosθ

y = y₀ + ρ sinθ

|J| = ρ

Coordinate cilindriche

x = ρ cosθ

y = ρ sinθ

z = z

|J| = ρ

Coordinate sferiche

x = ρ sinψ cosθ

y = ρ sinψ sinθ

z = ρ cosψ

|J| = ρ² sinψ

Coordinate ellittiche

x = a cosφ

y = b sinφ

(x/α)² + (y/β)² = 1

|J| = a b ρ

Coordinate cilindriche ellittiche

x = α cosφ

y = β sinφ

z = z

|J| = a b ρ

Cambio di coordinate e Jacobiano

Cambio di coordinate e calcolo dello Jacobiano

∂x'₂/∂x₂ ∂y'/∂x ∂x/∂y = |J|

∂z'/∂y∂x ∂y₁/∂x'₂⇒ ∂/∂x

Derivate di u rispetto a l

Teorema di Guldino e Gauss-Green

Teorema di Guldino (Volume)

Rotazione attorno asse y

V = α ∫ ∫ x dx dy

Rotazione attorno asse x

V = α ∫ ∫ y dx dy

α = angolo di rotazione

Formula di Gauss-Green (forme differenziali lineari)

∬_D ( ^∂N/_∂x - ^∂M/_∂y ) dx dy = ∮ ( M dx + N dy )

Se W è chiusa ⇒ ∮ W = 0

Parametrizzazione di superfici

Parametrizzazione di una superficie regolare

x = x(u,v)

y = y(v)

z = z(x(u,v))

Ψ_u = (1,0, ^∂z/_∂x(u,v) )   r_ux r_v = ( -^∂z/_∂y(u,v), -^∂z/_∂v(u,v), 1)

Ψ_v = (0,1, ^∂z/_∂y(u,v))

‖ r_u x r_v ‖ = √(^∂z/_∂x)² + (^∂z/_∂y)² + 1

Parametrizzazione di una superficie di rotazione

x = t cosσ

y = t sinσ

z = z(t) o funzione rispetto con la σ

r'(t) = (cosσ, sinσ, z'(t))   ‖ r_σ x r_t ‖ = x(t) √(x'(t))² + (z'(t))²

r_σ(t) = ( -t sinσ , t cosσ , 0)

Area di una superficie

A = ∬_D ‖ r_u x r_v ‖ du dv   D = proiezione della superficie su un piano

Area di una superficie di rotazione

A = 2π ∫_a^b ‖ r'_σ x r_t ‖ = 2π ∫_a^b x(t) √(x'(t))² + (z'(t))²

(modulo del normale che ruota)

Metodo della variazione della costante arbitraria

Metodo della variazione della costante arbitraria - 2^o ordine

• Domino: a₂y'' + a₁y' + a₀y = f(x)    Equazione Lineare II ^ordine
• Risolvere l'equazione c omogenea e formazione caratteristica: a₂x'' + a₁x' + a₀x = 0
• A₂m² + a₁m + a₀ = 0
• Scrivo gli zeri dell'equazione ^{caratteristica}...
• Det \not= 0 → λ = α ± ib
• Scrivo l'integrale particolare: y₀(x) = K₁(x) · y₁(x) + K₂(x) · y₂(x)
• Costruisco poi il sistema: { K'₁(x) · y₁(x) + K'₂(x) · y₂(x) = 0 { K₁(x) · y'₁(x) + K₂(x) · y'₂(x) = { f(x) / a₀(x) } Coefficiente ^γ''
• Calcolo il Wronskiano: W(x) = | y₁(x)   y₂(x) |  | y'₁(x)   y'₂(x) |
• *Condizione necessaria T. di Cramer per avere (soluzione)
• Calcolo K'₁(x)   e   K'₂(x)   con la regola di Cramer
• K'₁(x) = { f(x) · y₂(x) } / { a₀ · W(x) }
• K'₂(x) = { -f(x) · y₁(x) } / { a₀ · W(x) }
• W(x) = ...

Metodo di somiglianza

Metodo di Somiglianza: 2^o Grado

• Dominio: Calcolo zero equazione caratteristica a₀y^(m) + a₁y^(m-1) + a₂y^(k)
• Pongo λ^(k)∈ℝ
• Pre-grado massimo tra il grado P(x), Q(x)
• Pi=ki e ai sono costanti ed in loro
• Se P≠0 ⇒ non c'è l'esponenziale
• Se D=0 ⇒ non ci sono le funzioni logaritmiche
• λ=Pt±λ

Dopo aver trovato ② calcolo il grado del polinomio in cui ho bloccato cost: Pt± (λ)

• Scrivo l'integrale particolare: y₀(x)={... n=Pt±2} = e^cλ(...)cos(...)+(...)sin(...)}
• Calcolo la derivata 1^a e la derivata 2^a dell'integrale particolare
• Costruisco ai valori delle ... lettere cost: s fa per il metodo di Hermite

6) Dopo aver calcolato i valori delle lettere li sostituisco all'integrale particolare.

7) Scrivo l'equazione dell'integrale generale (y(x) = c₁y₁ + c₂y₂) + integrale particolare.

8) Calcolo c₁, c₂ con lo stesso metodo della sostituzione delle costanti arbitrarie.

Equazione di Eulero

Equazione di Eulero

a₀xⁿy⁽ⁿ⁾ + a₁x^n-1y' + a₂y = f(x)

(x₀) = 0 , y⁽ⁿ⁾ = y_{n Problema di Cauchy}

x > 0 -> x = e^t

x < 0 -> x = -e^-t

Sostituzioni

x = ce^t/^ct- y' = e¹/c^t

* Doppie la sostituzione ottengo un'equazione del 2^o ordine a coefficienti costanti