Formulario Matematica per l'economia e la finanza

Formulario matematica generale

Lezione 1: insiemi numerici

∈ a è un elemento dell'insieme A, si scrive a ∈ A.

∉ non appartiene.

∅ L'insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con ∅.

∪ A B (A unione B)

A ∩ B (A intersezione B)

CX(A) (elementi di X senza gli elementi di A)

∀ si legge 'per ogni'.

∃ si legge 'esiste' (∄ si legge 'non esiste').

Numeri naturali

N = {0, 1, 2, 3 . . .}

Numeri interi

Z = {0, ±1, ±2 . . .}

Numeri razionali

Q = n/m

Numeri irrazionali

(Radice quadrata dei numeri)

Numeri reali

R (insieme dei numeri razionali e irrazionali)

Lezione 2: vettori

∈ Si chiama vettore di dimensione n, con n ∈ N e n ≠ 0, una *n*-upla (n-pla) ordinata di numeri reali del tipo x = (x₁, x₂, . . ., x_n).

Proprietà

Commutativa: x + y = y + x

Associativa: (x + y) + z = x + (y + z)

Se 0 è il vettore con componenti tutte nulle, detto vettore nullo, risulta: x + 0 = x.

Moltiplicazione di un vettore

cx = (cx₁, cx₂, . . ., cx_n)

Combinazione lineare dei vettori

x = c₁x¹ + c₂x² + . . . + c_kx^k

Lezione 3: matrici

1m: righe, n: colonne

A + B somma tra due matrici

A × B moltiplicazione tra due matrici

Trasposta di una matrice A (invertire righe e colonne): A^T

Inversa A^-1 (1/det A)

Determinante

(det A) se a due si fa ad incrocio, se a tre si calcola con la regola di Sarrus, bisogna guardare le righe e colonne, somma pari= +, somma dispari= -.

Teorema di Binet

det(AB) = det A · det B

det A diverso da 0 sempre

In conclusione, risultano invertibili tutte e sole le matrici quadrate che hanno determinante diverso da 0.

Sistemi di equazioni lineari

ax = b, soluzione se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero.

Formula: x = A^-1 b

Calcolare prima il determinante, poi x₁ e x₂ attraverso det x₁/det della matrice.

Un sistema lineare si dice omogeneo se b è il vettore nullo, cioè Ax = 0.

Lezione 6: limite notevole

Tale limite si indica con la e = numero di Nepero

Calcolo del limite di una successione

Lim n→∞ {a_n + b_n} = A + B

Lim n→∞ {a_n · b_n} = A · B e Lim n→∞ a^α_n = A^α con α > 0

Lim n→∞ {a_n/b_n} = A/B con b_n diverso da 0.

-infinito -infinito= +infinito

-infinito +infinito= -infinito

Forme determinate

2 Forme indeterminate

Intorni

] c − r, c + r[. indicano che gli estremi sono esclusi, mentre le parentesi [.] esprimono al contrario che gli estremi sono inclusi.

Valore assoluto: limiti di una successione

Una successione {a_n} si dice convergente al numero reale A e si pone: lim n→∞ a_n = A A→0

Proprietà del limite

Teorema dell’unicità del limite = se il limite di una successione esiste, esso è unico.

Teorema della permanenza del segno = se il limite di una funzione è diverso da zero la funzione è concorde con il limite e quindi esisterà un intorno contenuto nel dominio della funzione.

Teorema del confronto = permette di determinare il risultato di un limite finito o infinito mediante opportune minorazioni e maggiorazioni della funzione.

Lezione 7: funzioni reali di una variabile reale

Una funzione reale di una variabile reale è una legge che ad ogni elemento x di un sottoinsieme X di R associa un solo elemento di R, denotato con f.