Formulario corso Fisica 1

Incertezze di misura

Incertezze misura: è il valore attendibile, è l’incertezza assoluta (si misura così se N misure è piccolo) = ̅ ± = incertezze = = ∙ 100%̅∑

Valore attendibile: la miglior stima è sempre la media, indifferentemente dal numero N di misure̅ = ∑ ̅)(

Incertezza N grande: deviazione standard se N è grande; si confronta sempre con l’incertezza strumentale = = ∑ ̅)(

Incertezza sulla media: deviazione standard sulla media =̅ ( )

Somma e sottrazione: sommando o sottraendo misure, l’errore del risultato è la somma delle incertezze assolute.

Prodotto e rapporto per scalare: se una grandezza viene x per un N, la sua incertezza assoluta si ottiene come moltiplicazione dell’incertezza di partenza per N, per il :, si ottiene come rapporto della sua incertezza di partenza per N.

Prodotto e rapporto di grandezze: l’incertezza relativa si ottiene in entrambi i casi come somma delle incertezze relative delle grandezze di partenza. A questo punto moltiplicando l’errore relativo del risultato per il suo valore attendibile si ottiene l’incertezza assoluta del risultato.

Cinematica

Posizione: si trova moltiplicando ogni coordinata per il versore u() = () + ()

Spostamento: vettore che indica di quanto è variata la posizione del punto in un lasso di tempo ∆ = ( + ∆) − ()∆

Velocità = , =∆

Componenti cartesiane della velocità = + = +

Legge oraria generica )() = ( + () ∫

Velocità media = () ∫∆

Accelerazione = , = =∆

Componenti cartesiane dell’accelerazione = + = +

Legge della velocità )() = ( + () ∫

Moto verticale di caduta libera

= − ) (() = − ( = 0 ( = 0) () = ℎ − = ℎ) = = 2ℎ( )) ) ( )() = −( − ( ) () = ℎ − ( − = ℎ) =− = ( + 2ℎ

Moto armonico semplice

() = ( + ) () = −( + ) () = − ( + )2= ( + → ; → ; → )

Moto smorzato

(1 )= + − = = −

Moto circolare

∆ 1: = = = = = = () = + () = + ∆∆ 2: = = = = = = = = = +∆

Moto parabolico

= = = ℎ = = =− + ( ) = − = −

Moti relativi

Sistemi di riferimento fissi

Se O’ non si muove rispetto a O (e viceversa di conseguenza), tra i due sistemi di⃗⃗ = + ⃗ riferimento c’è soltanto una traslazione. Ogni posizione di P rispetto a O’ sarà uguale alla sua posizione rispetto a O ⃗ = 0 ↔ ⃗ = ⃗/ / / traslata di un vettore che è sempre costante. Sono uguali velocità e accelerazioni di un punto rispetto ai due sistemi di ⃗ = 0 ↔ ⃗ = ⃗/ / / riferimento. I moti sono quindi avvistati allo stesso modo da due punti di vista differenti, traslati.⃗ O’

Moto rettilineo uniforme rispetto a O

La posizione varia rispetto al tempo a seconda della velocità di un ⃗(t) = () + ⃗ ∙ / / / sistema di riferimento rispetto all’altro. Infatti quindi la distanza tra i due sistemi di riferimento non è ⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗ = ⃗ ∙ ,/ / / / /costante nel tempo ma varia. La velocità di un sistema di riferimento rispetto all’altro è costante, quindi anche in ⃗ = 0 ↔ ⃗ = ⃗/ / / questo caso l’accelerazione tra O’ e O vale 0.

Moto uniformemente accelerato rispetto a O

In questo caso la velocità di O’ rispetto a O varia con a costante. In ⃗(t) = ⃗(t) + ⃗ ∙ + ⃗/ / tutti i casi fino ad ora considera il sistema O’ si trasla soltanto rispetto a O (con accelerazione o senza, o addirittura rimane fermo rispetto ad esso). Non sono contemplate in questi casi possibili rotazioni. ⃗ = ⃗ + ⃗ ⃗ = / / / /

Nessuna traslazione, solo rotazione = + × ′

Traslazione e rotazione ( ) = + + × ′ = + × × + × + 2 × ′

Forze apparenti

Forza centripeta e centrifuga

La forza centripeta è sempre normale rispetto al vettore velocità; genera rotazione. = = = La forza centrifuga invece è una forza apparente: se un sistema inerziale è in rotazione essendoci una accelerazione centripeta sarà un sistema di riferimento non inerziale e caratterizzato da una forza centripeta. Se si osserva una persona su una piattaforma rotante in movimento, si può affermare che la persona si muove di moto circolare uniforme e che è caratterizzato da forza centripeta. Per la persona invece si vede ferma sulla piattaforma, ma cosa fa sì che la somma delle forze agenti su di esso siano pari a 0? Questa forza apparente di nome centrifuga, uguale e contraria alla forza centripeta.

Forza di Coriolis

Compare se l’oggetto è in moto ed è perpendicolare alla velocità dell’oggetto e all’asse di rotazione. Se un = −2( × ) oggetto si muove di moto rettilineo uniforme, rispetto a un sistema di riferimento rotante segue una traiettoria curvilinea. Anche questa è una forza apparente. Passando dal centro di una giostra che ruota in senso antiorario al bordo la forza ci fa spostare verso destra rispetto al sistema di riferimento non inerziale della giostra.

Altre forze apparenti

Un corpo che cade su un treno in partenza (moto uniformemente accelerato) per il sistema di riferimento non inerziale del treno è soggetto non solo alla forza dovuta all’accelerazione di gravità, ma anche a una forza apparente che compensa la forza che genera l’accelerazione del treno, uguale e contraria.

Lavoro ed energia

Lavoro: è positivo se la forza favorisce lo spostamento, negativo se lo sfavorisce = ∙ ∙

Energia cinetica =

Potenza: è la rapidità di erogazione del lavoro = = = ∙

Energia cinetica e quantità di moto: ricordando che p=mv = ↔ = 2 1 1 = = = = = − → 2 2

Teorema dell’energia cinetica: il lavoro compiuto in un intervallo è la variazione di energia cinetica nell’intervallo = ∆ = −→

Lavoro della forza elastica = −( − ), →

Lavoro della forza peso: nel caso in cui un corpo passi da un punto A a uno B più basso) = −( − , →

Lavoro della forza di attrito aderente = − ∙ ∙ , →

Forze conservative: in tutti i casi in cui il lavoro dipende solo da posizione iniziale e finale e non dal percorso, la = 0∮ forza o le forze sono dette conservative: qualsiasi percorso venga utilizzato per passare da A a B, il lavoro compiuto è sempre lo stesso. Di conseguenza, il lavoro su un percorso chiuso è pari a 0 (A=B e A-B=0). Per forze conservative.

Teorema dell’energia potenziale: valido solo per forze conservative. = = − = −∆∫→

Energia potenziale della forza peso: h l’altezza (o la differenza di altezze), m la massa, g l’accelerazione = ℎ

Energia potenziale della forza elastica = = ∆ = −∆ ↔ ∆ − ∆ = 0 ↔ + = + ↔ = + ↔ =→

Teorema dell’energia meccanica: l’energia meccanica si conserva in presenza di sole forze conservative + = + , = +

Forze non conservative: bisogna considerare anche il lavoro dissipato dalla forza non conservativa = + | |⃗

Momento angolare

Momento angolare: prodotto vettoriale tra il raggio e la quantità di moto. Il vettore momento è ortogonale a = ⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗ entrambi i vettori raggio e quantità di moto secondo la regola della mano destra. Il momento angolare è la tendenza di un corpo a ruotare attorno a un punto. In ogni sistema isolato il momento si conserva (no forze esterne).

Momento angolare: modulo del momento angolare = ∙ ∙ ⃗ ⃗

Momento della forza: braccio per forza, misura quanto una forza tende a far ruotare un corpo intorno a un punto = ⃗ × ↔ = ∙ ∙ se la forza è radiale, allora il momento è nullo (sen0°=0; sen180°=0): quindi il momento di ogni forza centripeta è 0 rispetto al centro di rotazione da cui parte il raggio. Se l’unica forza esterna è la centripeta, il momento si conserva.

Teorema del momento angolare: la derivata temporale del momento angolare è eguale al momento della forza = , = 0, se entrambi i momenti sono riferiti allo stesso polo fisso in un sistema di riferimento inerziale.

Conservazione del momento angolare: il momento angolare di un punto materiale rimane costante nel tempo = ∆ = − = 0∫ (si conserva) se il momento delle forze esterne è nullo. Il momento angolare può variare anche in presenza di sole forze conservative, se queste forze hanno momento risultante non nullo rispetto al punto considerato. Di conseguenza, solo le forze esterne possono modificare il momento, quelle interne non variano il momento totale. Se il moto è circolare uniforme il momento si conserva, se è accelerato no (forza tangenziale esterna).⃗ ⃗ ∆

Teorema del momento dell’impulso: variazione di momento angolare uguale all'impulso applicato al punto = ⃗ × = ⃗ × =∫ ∫⃗ ⃗ ⃗

Impulso: forza applicata per intervallo di tempo in cui agisce = = ∙ ∆∫⃗

Impulso e quantità di moto = ∆⃗ = ⃗ − ⃗

Urti

Urti elastici: si conserva sia la quantità di moto che l’energia cinetica, i corpi rimbalzano senza deformarsi = ↔ = ( ) ( ), , , , = ↔ =, ,( ) ( )

Anelastici: si conserva solo la quantità di moto; i corpi non si uniscono ma perdono E ; E > E + = + m Ki Kf, , , ,

Completamente anelastici: si conserva solo la quantità di moto, i due corpi si uniscono; E >> E + = ( + ) Ki Kf, + , , = ↔ = =, ,( )+

Coefficiente di restituzione (e): misura quanto è elastico un urto, in termini di differenza di velocità relativa prima, ,= , , e dopo l’urto. Se e=1 l’urto è elastico, se 0<e<1 l’urto è parzialmente anelastico, e=0 l’urto è anelastico.

Energia cinetica persa: dissipata durante l’urto nei casi anelastici (1 )∆ = − − , , + = + , , , ,

Urti in due dimensioni: se l’urto non è perfettamente frontale, bisogna scomporre le velocità + = + , , , ,

Sistema del centro di massa: è un sistema di riferimento che si muove insieme al centro di massa del sistema di, , = particelle; nel sistema CM la quantità di moto totale è sempre zero e l’urto può risultare più semplice da analizzare.

Velocità relative nel sistema CM: per passare al sistema CM si sottrae a tutte le velocità (sia con v che v ) = − ↔ = − i f, , ,, nel nuovo sistema di riferimento, per urti elastici le velocità si invertono ( se volessi tornare indietro) = − ↔ = − = +,, ,, , ,

Dinamica dei sistemi di punti materiali

( ) ( ) F e F : la F sull’i-esimo P è risultante di agenti su P e le esercitate su P dagli altri n-1 punti del sistema (I) (E) ( ) ( ) = + ∑ ⋯

Centro di massa: è il punto geometrico la cui posizione è individuata nel sistema di riferimento considerato da = = ∑ ⋯∑ ∑ ∑ le cui componenti sono le coordinate del centro di massa in un sistema cartesiano con origine in O = , = , = ∑ ∑ ∑

Velocità di massa: data dalla quantità di moto totale del sistema sulla sua massa totale ⃗ = + ⃗, = = ∑

Accelerazione del centro di massa = = ( ) ( )

Teorema del moto del centro di massa: dato che la somma delle forze interne è nulla ( ) ( )=∑ =∑ + = = =

Teorema del momento angolare: se il polo O è fisso o coincide con il CM, l’evoluzione del momento angolare A( ) = del sistema è determinata dal momento delle forze esterne rispetto a O se ( ) = 0, = Il sistema di riferimento del centro di massa ha centro O nel CM e si muove rispetto al sistema inerziale di moto =∑ ′ =0 Traslatorio. La quantità di moto del sistema del CM risulta nulla = ∆ ′ 1 1 1 1 1 = = = + | | = + ( ′) = + = , 2 2 2 2 2

L’evoluzione del momento angolare A’ regolato dal momento delle forze esterne è legato da questa relazione ( ) =

Primo teorema di Konig: per il momento angolare permette di scrivere il momento angolare del sistema di punti = × + = + ′ materiali in un sistema di riferimento inerziale come somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e di quello rispetto al centro di massa.

Secondo teorema di Konig: per l’energia cinetica = + = + ′,

Lavoro: fatto da un sistema di forze che agisce su un sistema di punti materiali ∑ = ( − ) = −, , se tutte le forze sono conservative può essere anche espresso come variazione dell’energia potenziale = −( − ) = −∆

Conservazione energia meccanica: le non modificano l’energia meccanica totale del sistema (al ( ) ( )∆ = 0 ↔ =0 massimo la trasformano da potenziale a cinetica, ma la somma resta uguale: considerando per esempio un sistema palla terra in una palla cade da un’altezza h ad h/2, mentre la palla cade perde energia potenziale ma acquista energia cinetica, la somma delle energie fornisce l’energia meccanica del sistema che rimane costante durante la caduta. In questo esempio la forza di gravità è una forza interna al sistema, mentre considerando solo una palla che cade sarebbe stata esterna e l’energia potenziale sarebbe stata anch’essa interna al sistema. Inoltre come altra differenza ci sarebbe tecnicamente da considerare che anche la terra si muove verso la palla, ma è trascurabile. Ci fosse stata però per esempio la forza d’attrito questa sarebbe stata al sistema che modificava l’energia meccanica)( )

Conservazione quantità di moto: se un sistema è isolato (per esempio un sistema composto da un uomo e da ( ) = =0 ↔ = 0, , un blocco su un pavimento ghiacciato privo di attrito