Formulario completo di Meccanica quantistica

Formulario analitico di meccanica quantistica

Sintesi avanzata per esame

1 Concetti fondamentali

1.1 Stern-Gerlach (SG) e spin 1/2

• Vettore di spin: S = σ.ℏ/2
• Matrici di Pauli: σ_x = −i0 1 0 1 0, σ_y = −11 0 i 0 0, σ_z = −e1.

1. Componente S_x: autovalori + ℏ/2, ℏ/2

Autovettori

|→⟩(a) = 1/√2 11 (spin up lungo x)

|←⟩(b) = 1/√2 11 −2 (spin down lungo y)

2. Componente S_y: autovalori + eℏ/2, ℏ/2

Autovettori

|→⟩(a) = 1/√2 11 i2 (spin up lungo y)

|←⟩(b) = 1/√2 11 −i2 (spin down lungo y)

3. Componente S_z: autovalori + eℏ/2, ℏ/2

Autovettori

|↑⟩(a) = 1 0 (spin up)

|↓⟩(b) = 0 1 (spin down)

• Algebra di Pauli: [σ_i, σ_j] = 2iε_ijkσ_k, {σ_i, σ_j} = 2δ_ij, (⃗σ a)(⃗σ b) = a b + i⃗σ(a × b).
• Autoket di S (direzione ñ): |+⟩_n = cos θ/2 |+⟩_z + e^iφ sin θ/2 |−⟩.
• Probabilità SG in sequenza: P(S_x+ | S_z+) = |⟨S_x+|S_z+⟩|² = 1/2.

1.2 Formalismo di Dirac e algebra degli operatori

• Relazione di completezza (identità): Σ_i|a_i⟩⟨a_i| = 𝟙.
• Rappresentazione matriciale: A → ⟨a_i|A|a_j⟩, |α⟩ → ⟨a_i|α⟩.
• Operatore proiezione: Λ_i = |a_i⟩⟨a_i|. Proprietà: Λ_i² = Λ_i, Tr(Λ_i) = 1.
• Funzioni di operatori: f(A) = Σ_if(a_i)|a_i⟩⟨a_i| (solo se A è hermitiano).

1.3 Misura e indeterminazione

• Valore medio (aspettativa): ⟨A⟩ = ⟨α|A|α⟩.
• Varianza (scarto quadratico): ΔA² = ⟨A²⟩ − ⟨A⟩².
• Relazione di indeterminazione generalizzata: ΔA ΔB ≥ 1/2 |⟨[A, B]⟩| + 1/4 |⟨{A − ⟨A⟩, B − ⟨B⟩}⟩|².
• Osservabili compatibili: [A, B] = 0 ⇒ base comune di autoket |a, b⟩.

1.4 Posizione, momento e traslazione

• Commutazione canonica: [x_i, p_j] = iℏδ_ij. [p_i, p_j] = [x_i, x_j] = 0.
• Operatore traslazione: T(l) = exp −ip·l/ℏ.
• Proprietà di T: [x, T(l)] = lT(l).
• Momento come generatore: p = −iℏ d/dx è il generatore delle traslazioni spaziali.
• Lemma di Schwartz: ⟨f, g⟩⟨g, f⟩ ≥ |⟨f, g⟩|.
• Spettro continuo: ⟨x|x′⟩ = δ(x − x′), ∫_−∞^∞|x⟩⟨x|dx = 𝟙.

1.5 Funzioni d’onda nello spazio delle coordinate e dei momenti

• Funzione d’onda nello spazio delle coordinate: ψ_α(x) = ⟨x|α⟩.
• Funzione d’onda nello spazio degli impulsi: ϑ_α(p) = ⟨p|α⟩.
• Rappresentazione del momento in x: p_i = −iℏ ∂/∂x_i ψ_α(x).
• ⟨x|p⟩ = 1/(2πℏ)^3/2 e^ipx/ℏ.
• Trasformata di Fourier (funzione ponte): ϑ(p) = 1/√2πℏ ∫ e^−ipx/ℏψ(x)dx, ψ(x) = 1/√2πℏ ∫ e^ipx/ℏϑ(p)dp.
• Normalizzazione: ∫|ψ(x)|²dx = ∫|ϑ(p)|²dp = 1.

1.6 Pacchetto d’onde gaussiano

• Forma standard (t = 0): ψ₀(x) = 1/(2πσ²)^1/4 exp −(x − x₁)²/4σ² + ip₁x/ℏ.
• Incertezze: Δx = σ, Δp = ℏ/2σ.
• Minima indeterminazione: ΔxΔp = ℏ/2.
• Nello spazio p: ϑ(p) = (2σ²/πℏ²)^1/4 exp −(p − p₀)²σ²/ℏ².

2 Dinamica quantistica

2.1 Evoluzione temporale e equazione di Schrödinger

• Operatore di evoluzione temporale: U(t, t₀) = exp −iH(t−t₀)/ℏ (per H indipendente dal tempo).
• Proprietà di unitarietà: U†U = I; composizione U(t₂, t₀) = U(t₂, t₁)U(t₁, t₀).
• Equazione di Schrödinger (ket): iℏ ∂/∂t |α, t; t₀⟩ = H|α, t; t₀⟩.

Deriviamo soluzioni formali dell’equazione di Schrödinger per l’operatore U(t).

1. L’operatore H non dipende dal tempo: anche quando t cambia H non varia come ad esempio nell’interazione di un momento magnetico di spin con un campo magnetico indipendente dal tempo. In questo caso avremo: e^{−iH(t−t₀)/ℏ}|α, t₀⟩ = |α, t⟩.
2. H dipende dal tempo ma le H a tempi diversi commutano, cioè gli autostati dell’energia non cambiano nel tempo. Abbiamo dunque [H(t′), H(t″)] = 0, ∀t′, t″. U(t, t₀) = exp −i/ℏ ∫_t0^tdt′ H(t′).
3. H dipende da t ma le H a tempi diversi non commutano [H(t′), H(t″)] = 0. In questo caso si usa la Serie di Dyson.

• Autoket dell’energia: se H|n⟩ = E_n|n⟩, allora |n, t⟩ = e^−iE_nt/ℏ|n⟩.
• Evoluzione dei valori medi: d⟨A⟩/dt = i/ℏ ⟨[H, A]⟩ + ⟨∂A/∂t⟩.

2.2 Schemi di Schrödinger e Heisenberg

• Trasformazione tra schemi: |α, t⟩_S = U†(t)|α, t⟩_H = U(t)|α, t = 0⟩_S; A_H(t) = U†(t)A_SU(t).
• Equazione del moto di Heisenberg: dA_H/dt = i/ℏ [A_H, H]. Condizione iniziale dell’equazione differenziale: A_H(t = 0) = X_0S.
• Ket di base: gli autoket di un osservabile A nello schema di Heisenberg sono |a, t⟩_H = U(t)|a⟩_S.

Nota: A_H(t)|a, t⟩_H = a|a, t⟩_H.

• Teorema di Ehrenfest: d⟨⃗x⟩/dt = ⟨⃗p⟩/m, d⟨⃗p⟩/dt = ⟨−∇V⟩.

2.3 Particella libera (1D e 3D)

• Hamiltoniana: H = p²/2m. Commuta con p⃗, quindi [p⃗, H] = 0.
• Funzione d’onda (Schrödinger): ψ(⃗x, t) = 1/(2πℏ)^3/2 ∫ϑ(⃗p)e^{i(⃗p·⃗x−Et)/ℏ}d³p.
• Propagatore (1D): K(x, t; x′, 0) = √m/2πiℏt exp im(x−x′)²/2ℏt.
• Evoluzione operatori (Heisenberg): x_H(t) = x(0) + p(0)t/m; p_H(t) = p(0).

2.4 Oscillatore armonico semplice

• Hamiltoniana del sistema: Ĥ = p̂²/2m + 1/2 mω²x̂².
• Energia: E_n = ℏω(n + 1/2) mentre N = a†a.
• Operatori scaletta: a = √mω/2ℏ (x + ip/mω); a† = √mω/2ℏ (x − ip/mω).
• Operatori posizione e momento: x = √ℏ/2mω (a + a†), p = −i√mℏω/2 (a − a†).
• Commutatore: [a, a†] = 1.
• Autostati: a|n⟩ = √n|n − 1⟩; a†|n⟩ = √n + 1|n + 1⟩; |n⟩ = (a†)ⁿ|0⟩/√n!; Ĥ|n⟩ = (n + 1/2)ℏω|n⟩.
• Stato fondamentale (coordinate): (x + ℏ/mω d/dx)ψ₀(x) = 0 ⇒ ψ₀(x) = (mω/πℏ)^1/4 exp −mωx²/2ℏ.
• Evoluzione temporale Heisenberg: a(t) = a(0)e^−iωt; a†(t) = a†(0)e^iωt.
• Dispersione posizione (GS): ⟨x²⟩_n=0 = (2n + 1)ℏ/2mω → ℏ/2mω.
• ⟨p²⟩_n=0 = (2n + 1)mℏω/2 → mℏω/2.

2.5 Pacchetto d’onda gaussiano e Baker-Campbell-Hausdorff

• Pacchetto gaussiano (evoluzione temporale): ψ(x, 0) = 1/√d√π^1/4 exp −x²/2d² + 2ip₀x/ℏ = 1/√d√π^1/4 exp −(p−p₀)²d²/2ℏ².
• Evoluzione della varianza: ⟨(Δx)²⟩ = d²/4 [1 + ℏ²t²/m²d⁴].
• Larghezza del pacchetto: Δx = Δx₀ √1 + ℏ²t²/4m²(Δx₀)⁴.
• Formula di Baker-Campbell-Hausdorff (BCH): Esprime il prodotto di due esponenziali di operatori non necessariamente commutativi come un unico esponenziale di un’espressione che coinvolge i commutatori di tali operatori.
• e^Ae^B = exp A + B + 1/2[A, B] + 1/12([A, [A, B]] + [B, [B, A]]) + ....
• Identità utile: e^−ABe^A = B + [A, B] + 1/2![A, [A, B]] + ...
• Caso particolare [A, B] c-number: e^A+B = e^Ae^Be^−[A,B]/2.

3 Meccanica ondulatoria

3.1 Fondamenti della rappresentazione x

• Equazione di Schrödinger: iℏ ∂/∂t ψ(x, t) = [−ℏ²/2m ∇² + V(x, t)]ψ(x, t).
• Equazione di Schrödinger indipendente dal tempo in 1D: −ℏ²/2m d²/dx² ψ_E(x′) + V(x′)ψ_E(x′) = Eψ_E(x′).
• Densità di probabilità: ρ(x, t) = |ψ(x, t)|².
• Corrente di probabilità: J(x, t) = ℏ/m Im(ψ*∇ψ) = ℏ/2mi [ψ*(∇ψ) − (∇ψ*)ψ].
• Equazione di continuità: ∂ρ/∂t + ∇·J = 0.

3.2 Analisi unidimensionale e proprietà

• Eq. di Schrödinger indipendente dal tempo: d²ψ/dx² + 2m/ℏ²[E − V(x)]ψ = 0.
• Potenziali costanti a tratti.

1. Caso 1: E > V_n > V₁

Abbiamo due soluzioni indipendenti, spettro continuo e deg=2. La soluzione generale è una combinazione di due soluzioni indipendenti oscillanti (una da destra e una da sinistra).

2. Caso 2 (barriera di potenziale): V₁ < E < V_N

Nella regione 1 la soluzione è una combinazione di esponenziali oscillanti: ψ₁(x) = Asin(kx+ϑ).

Nella regione 2 la soluzione è nella forma di combinazioni di e^−κx, e^κx, ma scartiamo il primo pezzo: ψ₂(x) = Be^−κx.

Il moto è infinito solo per x = −∞ e questo diventa un punto di inversione classico. A x = +∞ la soluzione è finita ed è pari a 0. Fissando le condizioni al contorno:

ψ₁(0) = ψ₂(0) → Asinϑ = B

ψ′₁(0) = ψ′₂(0) → kAcosϑ = −κB

Da questo deduciamo che B=0 e che ψ₁(x) = Asin(kx). Quindi ψ₂(x) = 0 e in questo modo si perde la continuità quando la discontinuità è di II specie (salto infinito). Ci limitiamo a richiedere la continuità della sola funzione. Lo spettro è continuo perché la soluzione è unica e quindi nessuna degenerazione.

3. Caso 3: V > E > V_min

L’energia è al di sopra del minimo assoluto del potenziale. In questo caso non esistono soluzioni e, se esistono, esistono solo per alcuni valori particolari dell’energia. Abbiamo dunque: spettro discreto, una soluzione (no deg) e uno stato legato perché il moto è limitato ad una regione finita (il moto è illimitato per x → −∞).

4. Caso 4: E < V_min

Non ci sono soluzioni. Ho soluzioni non limitate ma esponenziali.