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Approssimazione con la derivata prima

Sia f: (a; b) → ℝ e x0 ∈ (a; b). f' è derivabile in x0.

f'(x0) = limh→0 [f(x0 + h) - f(x0)] / h

limh→0 [f(x0 + h) - f(x0) - f'(x0)h] / h = 0(h → 0)

Dunque α(h) è un infinitesimo poiché limh→0 α = 0

α(h) = [f(x0 + h) - f(x0) - f'(x0)h] / h

f(x0 + h) = f(x0) + f'(x0)h + α(h)h

Polinomio di 1o grado in h:     a + b h

a = f(x0), b = f'(x0)

f(h resto = o((x-x0)n))

f(x) = Pn(x-x0) + o((x-x0)n)

Formula di Taylor

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0)(x-x0)2/2 + fm(x0)(x-x0)3/3! + ... + f(n)(x0)(x-x0)n/n!

Se x = 0 → Mac Laurin

f(x) = f2(0) + f'(0)x + f''(0)x2/2 + fm(0)x3/3! + ... + f(n)(0)xn/n! + o(xn)

Sviluppi di McLaurin

  • f(x) = sin(x)

    • f(0) = 0

    f'(x) = cos(x)   f'(0) = 1

    f''(x) = -sin(x)   f''(0) = 0

    f'''(x) = -cos(x)   f'''(0) = -1

    fIV(x) = sin(x)   fIV(0) = 0

  • n! → n dispari
  • 2n+1 → n dispari
  • f(x) = sin x → x → 0

limx→0 sin x / x3 = 0

limx→0 x2 = 0

f(x) = sin x - x

limx→0 (sin x/x) = 0

limx→0 (sin x/x) = 0

Esempio: n = 1

sin x ∼ x = x * o(x)

limx→0 sin x / x = 1

f(x) = sin x - x

limx→0 (sin x - x) = 0

Ricorda che

cos(x)

  • f(x) = cos(x)

    • f(0) = 1

    f'(x) = -sin(x)   f'(0) = 0

    f''(x) = -cos(x)   f''(0) = -1

    f'''(x) = sin(x)   f(0) = 0

cos(x) ∼ 1 - x2/2! + o(x3)

limx→0 (1 - cos(x))/x2 = 1/2

ex

f(x) = ex

f'(x) = ex   f'(0) = 1

ex ∼ 1 + x + x2/2! + o(x3)

limx→0 (ex - 1)/x = 1

ex - 1 & infinito

limx→0 (1 + x + x2/2 + o(x3))/x2 - 1 - x = 1/2

Logaritmo naturale

f(x) = ln(1+x)

f'(x) = 1/1+x

f''(x) = -1/(1+x)2

f'''(x) = 2/(1+x)3

fIV(x) = -3!⋅2/(1+x)4

f(n)(x) = (-1)n-1⋅(n-1)!/(1+x)n

f(0) = 0

f'(0) = 1

f''(0) = -1

f'''(0) = 2

fIV(0) = -6

f(n)(0) = (-1)n-1⋅(n-1)!

ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 + ... + (-1)n+1 xn/n + o(xn)

lim x→0 ln(1+x)/x = lim x→0 o(x)/x = 1

Esempio: ex - 1 - ln(1+x)

f(x) = ex - 1 - ln(1+x)

ex = 1 + x + x2/2 + x3/3! + o(x3)

ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3! + o(x3)

Teorema (Formula di Taylor con resto di Lagrange)

Sia f: (a;b) → R, x0 ∈ (a;b). f è derivabile n volte in (a;b) con derivate continue. f con derivata m+1 in (a;b) (esiste f(n+1)(c)).

Allora ∀ x ∈ (a;b)

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0)/2!(x-x0)2 + ... + f(n)(x0)/n!(x-x0)n + f(n+1)(ξ)/(n+1)! (x-x0)n+1

dove ξ = x0 + θ(x-x0) con 0<θ<1

resto = (coeff.) (x-x0)n+1 = o(x-x0)n

Casistica

Casistica di n

n = 0

f continua in (a;b)

f derivabile in (a;b)

f derivabile n in (a;b)

⇒ Teorema di Lagrange

f(x) - f(x0)/x-x0 = f'(ξ) ξ∈(x0,x)

Applicazioni della formula di Taylor

Sviluppi composti

f(x) = ln (cos√x)

lim x→0 f(x)=0

f è infinitesima

cos t = 1 - t2/2 + o(t2)

t = √x

cos √x = 1 - 1/2 x + o(x)

ln (1 + t) ≅ t + o(t)

ln (cos√x) = ln (1 - 1/2 x + o(x))

ln (1+x) ≅ x + 0, f ≅ -1/2 x + o(x) infinitesima di ordine 1

f(x) = ex3-1

lim x→0 f(x)=0

ordine?

f(0)=0

f'(x) ≅ ex3 x2 (f'(0)=0 un c'è ordine 1)

f(x) ≅ ex3x2 + ex2x

f(0)=0

fm(x) ≅ ex3x + ex34 x3

fm(0)=2

f(x) ≅ ex3-1 ordine 3

ex3-1 = x 3/3!x3 + o(x3) ≅ 1/3 x3 + o(x3)

Teorema

f: (a,b) → ℝ

derivabile n volte in x ∈ (a,b) n > 2

nì

f'(x0) = f"(x0) = ... = f(n-1)(x0) = 0

f(n)(x0) ≠ 0

⇒ se n pari: f(n)(x0) >0 ⇒ x0 minimo locale

f(n)(x0) < 0 ⇒ x0 massimo locale

⇒ se n dispari: x0 non è ne minimo ne massimo

Dimostrazione

f'(x) = ... = f(n-1)(x0) =0

f(x) = f(x0) + f(n)(x0)⁄n (x-x0)n + o((x-x0)n)

f(x) - f(x0) = f(n)(cx)⁄n! (x-x0)n + o((x-x0)n)

g(x) = (x-x0)n h(x) con limx->x0 h(x) = 0 ⇒ g(x) = (x-x0)n o(1)

f(x) - f(x0) = f(n)(x0)⁄n! (x-x0)n + o(1)(x-x0)n = (x-x0)n [f(n)(x0)⁄n! + o(1)]

Se n pari

(x-x0)n positivo

o(1) -> 0 per x -> x0 allora il segno dipende da f(n)(x0)

Se f(n)(x0) > 0

⇒ f(x) - f(x0) > 0 ⇒ x0 minimo

Se f(n)(x0) < 0

⇒ f(x) - f(x0) < 0 ⇒ x0 massimo

Se n dispari

(x-x0)n cambia segno

⇒ f(x) - f(x0) cambia segno ⇒ x0 non massimo ne minimo

Esempio

f(x) = x (ex-1)

f'(x) = ex-1 + x ex

f'(0)=0 x=0 punto di massimo locale

f''(x) = ex + ex + x ex

f''(0)=2>0

Sviluppi Composti

f(g(x)) in un intorno di x0 con limx→x0 g(x) = z0 (g non necessariamente definita in x0)

Studiamo lo sviluppo di Taylor di f, g

Supponiamo di conoscere Taylor per f in z0

f(z) = f(z0) + f'(z0)(z-z0) + ⋯ + f(n)(z0) n! n {(z-z0)}n + o ((z-z0)n)

In un intorno di x vale

f(g(x)) = f(z0) + f'(z0) (φ(x) - z0) + ... + f(n)(z0)

Esempio

f(x) = e3√xx =0

Sviluppo Taylor

f(x) = 1 -3/2 x2/3

f'(0) non è definito, d'altronde è

ez = 1+z+ z2/2+ ... + zn/n! + o (zn)

e3√x = 1 + 3√x + (3√x)2/2 + ... + (3√x)n/n! + o ((3√x)n)

Esempio

f(x) = ln (1+sinx)

sinx = x - x3/6 + o(x3)

ln (1+f) = f -1/2 f2 +1/3 f3 + o(f3)

ln (1 + sinx) = sinx - sin2x/2 + sin3x/3 o(sinx)3

Esempio

o(x + x2) = o(x)

dim.o(x + x2) ⊂ o(x)o(x) ⊂ o(x2)

f = o(x + x2) si dimostra f = o(x)

lim x→0 f(x)⁄x = 0

lim x→0 f(x)⁄x2

lim x→0 f(x)⁄(x+1)x

lim x→0 f(x)⁄x(1+x)

lim x→0 f(x)⁄x [f(x)⁄x = 0] 1⁄(1+x) = 0

Esempio

f(x) = sin (sin x)

sin x = x − x3⁄6 + o(x3)

sin (sin x) = sin x − sin3 x⁄6 + o(sin3 x) − x − x3⁄6 + o(x3) − 1(x − x3⁄6 + o(x3)⁄6) − 2(x − x3⁄6 + o(x3))

= x − x2⁄6 + o(x7) − 1(—) + 0(x3) − 2x - (x − x3⁄6 + o(x3))⁄6 − x − x3⁄6)

== x − x3⁄6 + o(x7) − 1⁄6[(x3, o(x)] + o(x3) − x − x3⁄3 + o(x7)

sin (sin x) ∨ x

lim x→0 sin (sin x)⁄x = 1

Esempio

lim x→0 ex − sin x − cos x − x2⁄x3

ex = 1 + x + x2⁄2 + x3⁄6 + o(x3)

sin x = x − x3⁄6 + o(x3)

cos x = 1 − x2⁄2 + x4⁄4! + o(x3) − 1 − x2⁄2 − x2)

lim x→0 (1 + x + x2⁄2 + x3⁄6 + o(x7) − x + x3⁄6 + o(x3) − (− x2⁄2) ⁄ x3) = 1⁄3

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Riccardo_Nico di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica i e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Di Cristo Michele.
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