Fondamenti e Applicazioni dell'energia nucleare in Latex

Fondamenti e applicazioni dell'energia nucleare

Appunti e schemi delle lezioni del CDL in ingegneria energetica - UniBO 2022/2023

Indice

• Introduzione
• Capitolo 1: L'energia di legame per nucleone
• Capitolo 2: Leggi del decadimento radioattivo
• Capitolo 3: Stati eccitati e reazioni nucleari
• Capitolo 4: Reazioni di scattering e cattura
• Capitolo 5: Reazione nucleare di fissione
• Capitolo 6: Sezione d'urto e legge di attenuazione del fascio
• Capitolo 7: Flusso, densità e corrente neutronica
• Capitolo 8: Tasso di reazione e sezioni d'urto medie
• Capitolo 9: Ipotesi sulla teoria della diffusione, equazione di continuità
• Capitolo 10: Equazione della diffusione, condizioni al contorno
• Capitolo 11: Soluzione dell'equazione della diffusione in una lastra piana
• Capitolo 12: Reattore critico, formula dei 4 fattori
• Capitolo 13: Diffusione in sistemi moltiplicanti, teoria ad un gruppo
• Capitolo 14: Diffusione in sistemi moltiplicanti, metodo stazionario
• Capitolo 15: Moderazione dei neutroni
• Capitolo 16: Equazione multigruppo in un mezzo infinito
• Capitolo 17: Equazione multigruppo in un mezzo finito
• Capitolo 18: Cinetica punto: equazione InHour per 6 gruppi di ritardati
• Capitolo 19: Cinetica punto: un solo gruppo, pronto criticità
• Capitolo 20: Reattore BWR
• Capitolo 21: Reattore PWR
• Capitolo 22: Ciclo dell'uranio ed evoluzione del combustibile in reattori termici
• Capitolo 23: Avvelenamento da Xeno
• Capitolo 24: Fertilizzazione, ciclo chiuso, MOX
• Capitolo 25: Gestione e tipologie delle score radioattive
• Capitolo 26: Elementi di sicurezza nei reattori nucleari
• Capitolo 27: Incidente di Three Mile Island
• Capitolo 28: Incidente di Chernobyl
• Capitolo 29: Reattori di IV generazione
• Capitolo 30: Reazioni nucleari di fusione, sezioni d'urto, reaction rate medio
• Capitolo 31: Bilancio di potenza generico in un reattore a fusione
• Capitolo 32: Bilancio di potenza in un plasma: Ignition e Ideal Ignition
• Capitolo 33: Physics and Engineering factor

Introduzione

In questo testo verranno riportati gli appunti presi durante le lezioni del corso di laurea "Fondamenti e Applicazioni dell'Energia Nucleare", tenuto dal professore E. Ghedini durante l'anno 2022/2023. Gli appunti sono integrati con riassunti e approfondimenti tratti dai libri di testo consigliati. Personalmente, questi appunti sono risultati sufficienti per affrontare l'esame con votazione massima.

Capitolo 1: L'energia di legame per nucleone

Definizione: il difetto di massa "^Δ" è espresso come:

^Δ = Zm_P + Nm_N - m_A

Il difetto di massa rappresenta la differenza tra la massa dell'atomo (m_A) e la somma delle masse dei protoni e dei neutroni (m_P e m_N) se contati singolarmente. Si verifica sperimentalmente che ^Δ > 0. È noto dalla teoria della relatività generale:

E = mc²

Se si moltiplica per la costante c², si ottiene l'energia di legame totale. Il difetto di massa è legato quindi all'energia che tiene insieme protoni e neutroni in una configurazione più stabile rispetto a quella in cui questi sono isolati. L'energia di legame rappresenta l'energia che andrebbe spesa per portare tutti i nucleoni ad una distanza infinita l'uno dall'altro o, al contrario, l'energia che verrebbe liberata se i nucleoni si riunissero a formare l'atomo.

Graficando l'andamento ^Δ/A (A numero di massa):

^Δ/A è detta energia di legame per nucleone.

Un atomo può raggiungere una configurazione più stabile (^Δ/A più elevato) rilasciando energia in due modi:

• Fissione: l'atomo si divide in frammenti con A minore
• Fusione: due atomi si uniscono in un elemento più pesante

Capitolo 2: Leggi del decadimento radioattivo

La variazione della quantità di un dato radioisotopo N(t) è proporzionale alla quantità stessa di radioisotopo presente al tempo t:

dN(t)/dt = -λN(t) (2.1)

da cui:

dN(t)/dt = -λN(t) (2.2)

λ è detta costante di decadimento. Ha unità di misura [s^-1]. Il prodotto λN(t) prende il nome di attività [A(t)] = [dec/s]. Un Bq (Becquerel) corrisponde ad un decadimento al secondo. In alternativa si utilizza il Ci (Curie):

1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq.

Integrando l'equazione (2.2) su [0,t] si ottiene:

N(t) = N₀ e^-λt (2.3)

N₀ indica la quantità di radionuclide al tempo t = 0. Se N₀ = 1:

N(t) = e^-λt (2.4)

L'equazione (2.4) indica la probabilità che il radionuclide sia "ancora vivo" al tempo t. Si può definire la probabilità p(t) che un radionuclide decada al tempo t in un intervallo dt come la probabilità che sia ancora vivo al tempo t meno la probabilità che sia vivo al tempo t + dt:

-p(t)dt = N(t) - N(t + dt) (2.5)

Vale infatti:

p(t) = -dN(t)/dt = λN(t) = λe^-λt (2.6)

∞∫λe^-λt dt = 1 (2.7)

Definizione: tempo di vita medio "t" [s]

∞∫λ te^-λt dt = 1/λ (2.8)

Definizione: tempo di dimezzamento "T_1/2" [s]

N(T_1/2) = N₀/2 (2.9)

ln 2

T_1/2 = λ (2.10)

In caso di più tipologie di decadimenti:

• dN₁ = -λ₁N₁ dt (2.11)
• dN₂ = -λ₂N₂ dt (2.12)
• dN = -(dN₁ + dN₂) = -(λ₁ + λ₂)N dt (2.13)

In caso di presenza di una sorgente R(t):

dN(t)/dt = -λN(t) + R(t) (2.14)

Tipologie di decadimenti radioattivi:

• α, He: Emissione tipica di nuclei pesanti, consiste nell'emissione di nuclei di He (2 protoni e 2 neutroni)
• β: Emissione tipica di nuclei con abbondanza neutronica. Un neutrone si trasforma in un protone con emissione di un elettrone e di un antineutrino
• β⁺: Emissione tipica di nuclei con abbondanza protonica. Un protone si trasforma in un neutrone con emissione di un positrone e di un neutrino
• γ: Emissione, il nucleo decade emettendo energia sotto forma di fotoni ad alta frequenza

Capitolo 3: Stati eccitati e reazioni nucleari

Le leggi del decadimento radioattivo possono essere applicate anche agli atomi che si trovano in uno stato eccitato. In un atomo, ogni elettrone occupa un orbitale più o meno vicino al nucleo, ciascuno caratterizzato da un livello energetico. Allo stesso modo, all'interno del nucleo, ogni nucleone può occupare discreti livelli energetici differenti da quello base. Negli atomi con A ≥ 2, ogni livello energetico vibrazionale occupato da un nucleone mette in vibrazione i restanti nucleoni, facendo sì che l'energia vibrazionale di un livello sia condivisa da più nucleoni. Tanto più elevato è A, tanti più sono i nucleoni che possono vibrare, tanto maggiori e più fitti sono i livelli energetici. Se un elettrone riceve energia maggiore di quella di legame, verrà espulso dall'atomo. Un atomo può invece ricevere energia maggiore a quella di legame del suo nucleone "meno legato" senza che questo venga espulso. Si dice che l'atomo vive in uno stato eccitato.

Livelli virtuali si definiscono quelli per cui E_l > E_me, mentre si dicono livelli legati quelli per cui E_l < E_me (E_me energia di legame).

Dal principio di indeterminazione di Heisenberg:

ΔE × Δt ≈ ℏ

Segue che tanto più è precisa la variazione energetica del livello (vibrazione pura), tanto più sarà difficile che il nucleone venga espulso dall'atomo o la diseccitazione del nucleo.

Le reazioni nucleari sono reazioni che, a differenza di quelle di decadimento radioattivo, coinvolgono più particelle:

¹⁶O + n → ¹⁶N + p

In molte reazioni, affinché queste avvengano, la particella incidente deve avere un'energia almeno superiore all'energia di soglia Q. Immaginiamo che il neutrone, di massa m_n, colpisca il bersaglio fermo e si venga a formare il nucleo composto, di massa m_c. Per il principio di conservazione dell'energia:

1/2 m_nv_n² = Q + 1/2 m_cv_c²

Q è quindi l'energia acquisita, al netto di quella cinetica, dal nucleo composto. Per il principio di conservazione della quantità di moto:

m_nv_n = m_cv_c

Approssimando m_n ≈ m_c ≈ 1 e A ≈ A + 1:

E_n = 1/2 m_nv_n² > Q

Come si può osservare, l'energia cinetica che il neutrone deve possedere è in realtà maggiore rispetto a quella di soglia. Questo perché il nucleo composto riceverà sempre una certa quantità di energia cinetica. Se il neutrone possiede più energia di quella minima richiesta, l'eventuale eccesso si convertirà in energia d'eccitazione del nucleo composto e una sua ulteriore energia cinetica.

Capitolo 4: Reazioni di scattering e cattura

Di seguito sono riportate le reazioni che possono avvenire tra un neutrone e un atomo. Si ipotizza che il neutrone colpisca l'atomo fermo. Ponendosi in un sistema di riferimento fisso con il centro di massa, vedremmo il neutrone e l'atomo avvicinarsi tra loro fino alla collisione. L'energia fornita al nucleo composto sarà quindi l'energia cinetica delle particelle nel sistema di riferimento più l'energia di legame del neutrone nel nucleo composto stesso.

Scattering potenziale elastico

• Avviene quando l'energia acquisita dal nucleo composto è molto lontana dall'energia di un livello eccitato del nucleo composto, per cui la probabilità che tra i due avvenga la reazione è molto bassa. Tra i due si instaura un semplice urto elastico.

Scattering elastico di risonanza

• Avviene quando l'energia ricevuta dal nucleo composto è molto vicina a quella di un livello energetico eccitato. Dopo la formazione del nucleo composto, il neutrone viene espulso dall'atomo con la stessa energia cinetica che aveva prima dell'urto.

Scattering anelastico

• In questo caso il neutrone viene emesso con energia cinetica diversa da quella che aveva prima dell'urto. Il nucleo dopo l'urto è in uno stato eccitato, dal quale si diseccita generalmente con l'emissione di un fotone γ. L'energia del fotone è pari all'altezza del livello eccitato.

Cattura radiativa

• Il neutrone rimane intrappolato all'interno del nucleo composto, il quale si diseccita emettendo un fotone γ.

Capitolo 5: Reazione nucleare di fissione

Si può fare riferimento al modello "a goccia":

R ∝ A^1/3

L'atomo è visto come una goccia con raggio, con Z protoni e numero di massa A, energia a riposo:

2m_Ac²

Per deformare l'atomo bisogna fornire energia. Si ha la formazione di due lobi, con un nuovo equilibrio tra le forze attrattive (nucleari) e repulsive (coulombiane). Se l'energia fornita è sufficiente, si arriva ad un punto dove a prevalere sono le forze repulsive coulombiane. Queste allontanano all'infinito i due frammenti, ognuno con il suo numero atomico e di massa. L'energia cinetica dei due frammenti è proprio l'energia rilasciata dalla fissione. L'energia a riposo dei frammenti:

(m_A1 + m_A2)c²

Graficando l'andamento dell'energia del sistema in funzione della distanza tra i frammenti:

E_sep: fornendo energia al nucleo è possibile portarlo a livelli energetici vibrazionali superiori, deformando il nucleo in due lobi. Quando viene fornita E_sep, la deformazione porta i lobi ad una distanza r_sep. A tale distanza, le forze nucleari cessano immediatamente, si formano i due frammenti e le forze coulombiane li allontanano all'infinito.

E_el: rappresenta l'energia (cinetica dei frammenti) ottenibile per effetto della repulsione coulombiana tra i nuclei. Può essere quantificata nel seguente modo:

Z₁e × Z₂e

E_el = r_sep

Dal bilancio di energia si ottiene il valore dell'energia netta ottenibile Q:

Q = E_el - E_sep = 2m_Ac² - (m_A1 + m_A2)c²

Ipotizzando che la fissione generi due frammenti simmetrici (condizione raramente verificata):

A₁ = A₂ = A/2

Z₁ = Z₂ = Z/2

Nel caso di ²³⁸U:

E_el = 219 MeV

Q = 214 MeV

E_sep = 5 MeV

In alcuni casi la fissione avviene anche senza che venga fornita energia al nucleo per "effetto tunnel" (particolarmente importante per esempio per il ²⁴⁰Pu, rendendolo inadatto per ordigni bellici). Nei reattori nucleari l'energia è fornita da un neutrone, il quale fornisce un'energia pari a quella cinetica (al netto dell'energia cinetica fornita al nucleo composto) più quella di legame.

E_A* = E_l + E_n

E_A+1* > E_sep

Se E_A* > E_l allora la reazione può avvenire. Per alcuni elementi (²³⁵U, ²³³Pu, ²³⁹Pu) fissili. Questi elementi sono detti fissili. Affinché avvenga la fissione, il neutrone deve essere solamente assorbito, senza che questo debba avere energia cinetica. Per tutti gli altri elementi, detti fissionabili, è necessario che il neutrone abbia una certa energia cinetica. Per un elemento fissile, la più alta probabilità di fissione si ha con bassi valori dell'energia cinetica del neutrone (maggiore tempo di permanenza del neutrone attorno al nucleo) mentre per gli elementi fissionabili la probabilità aumenta all'aumentare dell'energia cinetica ed è presente un valore di soglia. L'andamento del grafico non è quello effettivo (vedasi capitolo sulla sezione d'urto).

Durante una reazione di fissione possono essere prodotti, oltre ai frammenti di fissione, altri neutroni. Questi possono a loro volta innescare altre reazioni di fissione, con un procedimento a catena.

ν numero medio di neutroni prodotti per fissione. Questo valore dipende dall'energia del neutrone incidente.

ν = ν₀ + αE_n

Generalmente il numero di neutroni emesso per fissione è 2/3. Ogni neutrone emesso possiede una certa energia cinetica. I neutroni vengono divisi tra neutroni pronti (circa il 99%), che vengono emessi immediatamente in ogni reazione di fissione, e neutroni ritardati, i quali rimangono "intrappolati" nei prodotti di fissione e vengono emessi con un certo ritardo(fino a 1m).

χ(E). χ(E)dE: Spettro di fissione indica la probabilità che un neutrone venga emesso con energia E compresa in un intervallo [E, E+dE]. In figura viene riportato lo spettro di fissione dei neutroni pronti prodotti da fissione.

∞∫χ(E) dE = 1 (5.8)

Mentre il valore medio di energia (dal momento che, come si può notare dall'equazione (5.8), χ(E) è normalizzata):

∞∫χ(E)E dE = 1.98 MeV (5.9)

Nel caso di fissione di ²³⁵U: 193 MeV è energia termica recuperabile dall'energia cinetica dei prodotti di fissione e i loro decadimenti e dall'energia dei neutroni. 11 MeV è energia persa dovuta alla produzione di neutrini (prodotti da decadimenti β, non interagiscono con la materia).

Capitolo 6: Sezione d'urto e legge di attenuazione del fascio

Una sorgente di neutroni monoenergetici (tutti con stessa velocità v) genera un fascio con densità n. Il fascio attraversa un assorbitore di spessore d e viene rilevato successivamente. Il rilevatore permette di misurare l'intensità del fascio:

I = nv

[I]: intensità totale di interazione

A: sezione dell'assorbitore

Si osserva che questa quantità è proporzionale a N densità atomica dell'assorbitore. La costante di proporzionalità è detta sezione d'urto (microscopica).

−(I₀ - I)A = I₀NσdA (6.1)

Dall'analisi dimensionale dell'equazione (6.1) risulta che la sezione d'urto ha unità di misura [m²]. Generalmente viene espressa in barn.

1 b = 10^-24 cm²