Fondamenti di Termoidraulica bifase

Fondamenti di termoidraulica bifase

Richiami sui flussi bifase

Introduzione

Lo studio dei flussi bifase è diventato sempre più importante nelle applicazioni ingegneristiche per la loro progettazione ottimale e il funzionamento in sicurezza. La natura complessa del flusso bifase o multifase ha origine dall’esistenza di interfacce multiple, deformabili e mobili, insieme alle discontinuità delle proprietà del fluido e di un campo di flusso complicato vicino l’interfaccia. Un flusso monofase può essere classificato in base alla struttura del moto: laminare, transitorio e turbolento. Al contrario, un flusso bifase può essere classificato in base alla struttura dell’interfaccia in diversi gruppi che possono essere chiamati regimi o modelli di flusso (separati, miscelati, dispersi).

La fisica dei flussi bifase è di natura multiscala, con effetti a cascata tra le varie scale, le quali sono:

• Scala di sistema (studio dei transitori e delle interazioni tra i componenti)
• Scala macroscopica (studio degli aspetti macrofisici come la struttura dell’interfaccia, il trasporto di massa, la quantità di moto ed energia)
• Meso-scala (correlata alle strutture locali)
• Scala microscopica (relativa alle strutture di trasporto fino a livello molecolare)

Classificazione dei flussi bifase

I flussi bifase si distinguono a seconda delle combinazioni delle due fasi ed in base alla struttura dell’interfaccia. Si considerano solo le prime tre fasi, quindi:

• Miscela gas-solido
• Miscela gas-liquido
• Miscela liquido-solido
• Miscela di liquidi immiscibili

Il flusso bifase può essere classificato in tre classi principali in base alla geometria delle interfacce:

• Flussi separati (le due fasi coesistono e sono facilmente identificabili)
• Flussi di transizione o misti (le due fasi sono grossolanamente separate, ma non del tutto)
• Flussi dispersi (le due fasi sono perfettamente miscelate)

All’interno di queste possiamo andare a vedere delle sottoclassi:

• Flussi separati: Film flow, Annular flow, Jet flow, Slung flow, Bubbly annular flow
• Flussi misti: Droplet flow, Bubbly droplet, Annular flow
• Flussi dispersi: Bubbly flow, Droplet flow, Particulate flow

Variabili e proprietà delle miscele bifase

Frazione di vuoto

In una miscela bifase viene subito in mente di calcolare le quantità di liquido e vapore presenti: la frazione di vuoto calcola la quantità di gas presente. Si consideri un canale in cui due fasi fluiscono contemporaneamente, il flusso è costante e unidimensionale: in qualsiasi istante di tempo un dato punto all’interno del canale può essere occupato dalla fase liquida mentre un istante dopo sarà occupato dalla fase gassosa.

Si definisce frazione di vuoto il rapporto tra l’area di passaggio mediamente occupata dal vapore e l’area di passaggio totale:

Il complemento ad uno della frazione di vuoto è la frazione di liquido:

Si potrebbe definire anche in maniera più pratica: conoscendo le portate volumetriche delle due fasi si potrebbe fare il rapporto tra esse. La frazione di vuoto dà un’idea volumetrica.

Titolo in massa (Quality)

Si definisce titolo in massa la frazione della portata massica in fase gassosa rispetto alla portata totale (quanto vapore c’è a livello di volume o di area o massa e portata rispetto al totale):

Il complemento ad uno del titolo di massa è la frazione della portata massica del liquido rispetto alla portata totale:

Il titolo in massa può assumere valori compresi tra 0 e 1.

Flusso di massa

Tipicamente nel bifase si lavora con la portata specifica (G) detta anche flusso di massa (portata in massa per unità di sezione di passaggio), indicati come:

Dove A è la sezione trasversale totale:

! = ! + !!

e G è la portata totale della miscela:

$ = $ + $!

Flusso volumetrico

Il flusso volumetrico (j) di una fase è il rapporto tra la portata volumetrica della fase e l’area di passaggio:

Dove:

% = % + %!

Questa grandezza ha le dimensioni di una velocità, definita come velocità superficiale: velocità che avrebbe la fase se fluisse in tutta l’area di passaggio. Essa è sempre minore rispetto alla velocità reale della fase.

Relazioni tra le grandezze

Considerando che:

Avremo:

Slip ratio

La relazione che sussiste tra la frazione di vuoto e il titolo in massa è complessa in quanto coinvolge le velocità delle due fasi che in certe condizioni si possono assumere uguali, ma in realtà questo è raro poiché la fase più leggera aiutata dalla differenza di densità tende a viaggiare a velocità maggiore, inoltre c’è la possibilità che le velocità siano di verso opposto.

Allora si definisce una nuova variabile chiamata slip ratio (S):

Questo parametro può assumere sia valori positivi che negativi. La situazione ideale sarebbe quando le due velocità hanno stesso valore:

& = & → ( = 1!

In questo caso si dice che le due fasi sono in equilibrio meccanico, ossia non c’è trasferimento di moto tra una fase e l’altra in quanto viaggiano in maniera solidale.

Partendo dalle definizioni si può trovare una relazione tra la frazione di vuoto e il titolo in massa, dalla definizione di portata in massa si ottiene che:

Dalla definizione di titolo e frazione di vuoto si ottiene che:

Manipolando si può scrivere:

Questa è la relazione fondamentale che lega la frazione di vuoto al titolo.

Modelli di un flusso bifase

Esiste un’ambia varietà di possibilità per la scelta del modello di flusso bifase, generalmente man mano che il modello di flusso bifase diventa più complesso sono necessarie più equazioni costitutive per rappresentare le interazioni tra i fluidi.

Modelli omogeneo (HEM)

L’HEM è l’approccio più semplice al problema: si presume che il flusso bifase sia un flusso monofase ipotizzando che non ci sia alcuna velocità relativa tra le due fasi (flusso omogeneo) e che esse siano in equilibrio termodinamico. In questo caso le equazioni di massa, quantità di moto e bilancio energetico della miscela sono sufficienti a descrivere il flusso. Le ipotesi HEM sono limitanti, ma possono essere estese includendo lo slip tra le due fasi e gli effetti di non equilibrio termico.

Modelli di diffusione (DFM)

I modelli di miscele diversi dall’HEM aggiungono una certa complessità alla descrizione del flusso bifase: consentono alle due fasi di avere velocità diverse ma le vincolano comunque all’equilibrio termico. Un esempio è il drift-flux model (DFM) con equilibrio termico che consente alla velocità del vapore di essere diversa da quella del liquido fornendo una relazione algebrica per il differenziale tra le due fasi (DFM a tre equazioni).

Modelli multifluidi (2FM)

Questo è il caso più complesso in cui non è presente né equilibrio termico né meccanico. Si considerano le due fasi in maniera indipendente scrivendo le equazioni di conservazione per ogni fase e avere le relazioni di chiusura che esprimono tutti gli scambi di quantità di moto, energia e massa tra le due fasi attraverso le interfacce.

Richiami di termodinamica

Equilibrio

La termodinamica studia gli stadi di equilibrio. Le leggi della termodinamica si applicano a oggetti o sistemi in equilibrio con sé stessi e l’ambiente circostante. Per definizione, un sistema in equilibrio non è destinato a cambiare. L’equilibrio in senso lato richiede:

• Equilibrio meccanico
• Equilibrio termico
• Equilibrio fisico-chimico

N.B. Le grandezze termodinamiche possono essere:

• Intensive (non dipendono dalla quantità di massa che costituisce il sistema e non possiede proprietà additiva)
• Estensive (dipendono dalla quantità di sostanza che costituisce il sistema e godono della proprietà additiva, diventano intensive nella versione specifica ossia per unità di massa)

Stati di equilibrio

Per un sistema contenente una sostanza pura ed isotropa, cioè all’equilibrio, senza alcuna reazione chimica e non influenzato da alcun campo di forze esterne, si può scrivere la seguente equazione di stato: La termodinamica è una scienza di equilibrio, qualunque processo termodinamico è indipendente dal tempo, cioè si suppone che il sistema vari il suo stato da uno iniziale ad uno finale, per questo ci sono le funzioni di stato che legano le tre variabili principali della termodinamica. Per il cambiamento di fase abbiamo la necessità di scrivere la relazione che esiste tra P e T lungo le linee di separazione tra due fasi. L’equazione che descrive l’equilibrio in cambiamento di fase è l’equazione di Clausius-Clapeyron, la quale si ottiene dicendo che, siccome le due fasi devono essere in equilibrio lungo la linea di separazione, l’energia libera di Gibbs delle due fasi deve essere la stessa:

L’energia libera di Gibbs è descritta come:

Calcolando una variazione infinitesima sia della P che della T, possiamo calcolare gli infinitesimi delle due energie libere di Gibbs percorrendo in maniera infinitesima la linea di equilibrio, per cui anche le variazioni infinitesime devono essere uguali:

Dalla definizione di g si può scrivere:

Dall’equazione di Gibbs si ha che:

Quindi:

Combinando le equazioni si ottiene che:

Diagramma P-V-T

Se per una sostanza pura conosco le tre variabili, per ogni sostanza esiste una funzione che le lega in maniera tale che si possa descrivere questo legame in un grafico 3D che dà tutti i possibili stati in cui la sostanza può esistere. In natura, tipicamente, i fluidi solidificano e si contraggono (diminuiscono il proprio volume), ma esistono alcuni che si comportano in maniera opposta, tra questi c’è l’acqua (diagramma a destra). Al confine tra le zone avviene il cambiamento di stato.

Dal punto di vista pratico, poiché esiste la funzione che lega P-v-T, è comodo vedere queste rappresentazioni su un diagramma 2D, proiettando una delle direzioni del 3D.

Il grafico P-T è rappresentato come:

Dove si riconoscono le zone di solido, liquido e vapore, le quali nel punto triplo coesistono contemporaneamente. Se mi trovo sopra la temperatura critica ho un fluido critico, se mi trovo sia sopra la temperatura critica che la pressione critica ho un fluido supercritico dove le due fasi non si distinguono più per cui la densità del liquido e del vapore sono le stesse e non c’è l’interfaccia.

Stati metastabili

Si parla di stato metastabile quando, nonostante le condizioni del sistema e ciò che descrive il diagramma di stato, il sistema si trova in una fase diversa rispetto a quella descritta. Noi sappiamo che immaginando una condizione di equilibrio, se ho un liquido che viene portato ad una temperatura superiore a quella di saturazione si deve cominciare a formare vapore. Nella realtà, si osservano delle condizioni in cui questo passaggio non avviene e impropriamente si dice che il liquido è in una condizione “surriscaldata”, ossia si trova allo stato liquido anche sopra la temperatura di saturazione. Viceversa, se il vapore si trova sotto la temperatura di saturazione si dice che è “sottoraffreddato”.

L’equilibrio metastabile è associato alla formazione di bolle all’interno di una massa liquida, ossia una nucleazione omogenea, la quale per avvenire devono essere presenti i cosiddetti “germi di nucleazione”, ossia aggregati molecolari che acquisiscono un’energia sufficiente di agitazione termica tale da essere caratteristica della fase vapore pur essendo in un liquido. Una bolla quando si forma passa da dimensioni molecolari a qualcosa di macroscopicamente più visibile, esiste però una forza che tende a far collassare la bolla, ossia la “tensione superficiale”. Essa è una grandezza fisica tipica della formazione delle interfacce ed è il lavoro necessario per aumentare di un’unità l’estensione dell’interfaccia. Maggiore è la tensione superficiale più sarà difficile che la bolla possa crescere. Questo è possibile se abbiamo un contributo energetico del liquido intorno al germe maggiore dell’energia prevista dall’equilibrio termodinamico, per cui dovremmo essere localmente in una condizione di liquido surriscaldato.

Il diagramma di stato cambia, ad una temperatura costante diminuendo la pressione si rimane in fase liquida o vapore raggiungendo il confine della campana (B), ossia la situazione di equilibrio liquido-vapore dove da lì in poi si può formare una miscela bifase.

In realtà, mantenendo costante la temperatura nelle condizioni di equilibrio rimarrebbe costante anche la pressione seguendo la linea B-F, ossia la pressione non riuscirebbe a scendere per via della formazione di vapore che la mantiene, per cui per la regola delle fasi di Gibbs pressione e temperatura sono legate e rimarrebbero costanti. Nella realtà, questo processo non è così immediato:

• B-C: arrivati al punto B continuando ad abbassare la pressione il fluido penetra all’interno della campana seguendo il tratto B-C rimanendo liquido, nonostante secondo la termodinamica dovrei avere presenza di vapore (equilibrio metastabile).
• C-E: arrivato al punto C il sistema si stanca di trovarsi in equilibrio metastabile e si avrà un’evaporazione improvvisa del sistema dal punto E.

Questo percorso lo posso fare per tante temperature e poi vedere qual è il luogo dei punti C, cioè il limite del liquido surriscaldato alle diverse temperature, e il luogo dei punti E che ci sono alle diverse temperature, tracciando le “linee spinoidali” che rappresentano il confine del possibile stato metastabile.

Leggi della termodinamica

Principio zero

Avendo due corpi che sono a contatto termico con un terzo corpo, all’equilibrio tutti e tre i corpi saranno alla stessa temperatura.

Primo principio

L’energia non si crea e non si distrugge, ma si conserva.

Secondo principio

Non si può trasformare tutta l’energia termica in lavoro meccanico, mentre posso fare il contrario. È impossibile costruire una macchina che opera con un ciclo il cui solo effetto sia di portare calore da un corpo freddo ad un corpo caldo.

Terzo principio

Non esiste processo, anche con una serie di passi successivi, che sia in grado di portare un sistema allo 0 assoluto (limite raggiungibile solo con infiniti cicli frigoriferi).

Gas ideali e reali

A volte può far comodo cercare di sfruttare delle funzioni di stato semplici, come quella dei gas ideali, per semplificare una miscela bifase. L’equazione di stato dei gas ideali è:

Si può caratterizzare un gas con la propria costante, chiamata “costante del gas”, dividendo la costante universale per il peso molecolare del gas:

Utilizzando la costante dei gas, trasformiamo la legge dei gas perfetti in:

Si nota che abbiamo volume e massa, ossia due grandezze estensive, per cui posso riscrivere l’equazione facendo apparire il volume specifico o la densità:

I gas reali non seguono la legge di stato, in quanto il gas ideale è tale poiché si trascura lo spazio occupato dalle molecole stesse, cioè nel computo del volume occupato da questo gas si ritiene nullo lo spazio occupato dalle stesse molecole, per cui concettualmente per il gas ideale ciascuna molecola ha a disposizione tutto il volume del recipiente. In realtà una piccola parte di questo volume è occupata da altre molecole. Nel gas ideale si trascurano anche le forze che nascono fra le diverse molecole. Allora, questa condizione ideale è applicabile praticamente quando:

• Le pressioni sono molto basse (gas più rarefatto)
• La temperatura è molto alta (agitazione termica delle molecole tale da renderle indipendenti l’una dall’altra)

La funzione di stato, in condizioni ambientali, è descritta dalla legge di Van der Waals:

Nella quale è presente l’equazione di stato dei gas perfetti con alcune modifiche:

• Il termine nb che si sottrae al volume, b rappresenta il volume occupato dalla molecola ed n è il numero di molecole, per cui è il volume che non è a disposizione di tutte le altre. Questo effetto riduce il volume, per cui a parità di numero di moli e temperature, la pressione sarebbe più alta.
• Il termine sottrattivo che rappresenta l’effetto della forza di attrazione delle molecole.

Miscele

Regola delle fasi di Gibbs

La regola delle fasi di Gibbs definisce il numero di parametri necessari per descrivere lo stato di un sistema:

Dove:

• V = varianza (grado di libertà)
• C = numero di componenti puri presenti
• F = numero delle fasi presenti

Con questa formula riesco a capire quante variabili devo fissare in maniera indipendente per ottenere quella situazione.